中考数学总复习压轴题精选2.docx
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中考数学总复习压轴题精选2
中考数学压轴题精选2
1.若抛物线L:
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的同一点,且抛物线L的顶点在直线l上,则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系,并且将直线l叫做抛物线L的“路线”,抛物线L叫做直线l的“带线”.
(1)若“路线”l的解析式为y=2x-4,它的“带线”L的顶点的横坐标为-1,求“带线”L的解析式;
(2)如果抛物线y=mx2-2mx+m-1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系,求m,n的值;
(3)设
(2)中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点,当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时,求出点P的坐标.
2.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),且抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:
当x1<x2<0时,(x1-x2)(y1-y2)>0;当0<x1<x2时,(x1-x2)(y1-y2)<0.以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且B在C的左侧,△ABC有一个内角为60°.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若MN与直线y=-2x平行,且M,N位于直线BC的两侧,y1>y2,解决以下问题:
①求证:
BC平分∠MBN;
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围.
3.如图,过点B(4,0)作直线l∥y轴,⊙A的直径为BO,以直线l为对称轴的抛物线经过点A,与x轴另一交点为C,抛物线的顶点为点E,CO=2BE.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作⊙A的切线CD,D为切点,求CD的长;
(3)在切线CD上是否存在点F,使△BFC与△CAD相似?
若存在,求出CF的长;若不存在,请说明理由.
4.如图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数解析式;
(2)抛物线上是否存在点P,使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过抛物线上动点Q作QE垂直y轴于点E,交直线BC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,直接写出△DEF外接圆的最小直径.
5.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=-x+2经过点A,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线AC上方抛物线上一动点.
①连接PO,交AC于点E,求的最大值;
②过点P作PF⊥AC,垂足为点F,连接PC,是否存在点P,使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.解:
(1)∵“带线”L的顶点横坐标是-1,且它的“路线”l的解析式为y=2x-4,
∴y=2×(-1)-4=-6,
∴“带线”L的顶点坐标为(-1,-6).
设L的解析式为y=a(x+1)2-6.
∵“路线”y=2x-4与y轴的交点坐标为(0,-4),
∴“带线”L也经过点(0,-4),将(0,-4)代入L的解析式,解得a=2,
∴“带线”L的解析式为y=2(x+1)2-6=2x2+4x-4.
(2)∵直线y=nx+1与y轴的交点坐标为(0,1),
∴抛物线y=mx2-2mx+m-1与y轴的交点坐标也为(0,1),将(0,1)代入抛物线解得m=2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-4x+1,其顶点坐标为(1,-1),
∴直线y=nx+1经过点(1,-1),解得n=-2,
∴m,n的值分别为2,-2.
(3)设抛物线的顶点为B,则点B坐标为(1,-1),
如图,过点B作BC⊥y轴于点C,连接PA交x轴于点D.
∵点A坐标为(0,1),
∴AO=1,BC=1,AC=2.
∵“路线”l是经过点A,B的直线,且⊙P与“路线”l相切于点A,
∴PA⊥AB,
显然Rt△AOD≌Rt△BCA,
∴OD=AC=2,D点坐标为(-2,0),
则经过点D,A,P的直线解析式为y=x+1.
∵点P为直线y=x+1与抛物线y=2x2-4x+1的交点,
解方程组得
(即点A舍去)
即点P的坐标为(,).
2.解:
(1)∵抛物线过点A(0,2),∴c=2.
当x1<x2<0时,x1-x2<0,由(x1-x2)(y1-y2)>0,得到y1-y2<0,
∴当x<0时,y随x的增大而增大.
同理,当x>0时,y随x的增大而减小,
∴抛物线的对称轴为y轴,且开口向下,即b=0.
∵如图,以O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,连接OB,OC,
∴△ABC为等腰三角形.
∵△ABC中有一个角为60°,
∴△ABC为等边三角形,且OC=OA=OB=2.
设线段BC与y轴的交点为点D,则有BD=CD,且∠OBD=30°,
∴BD=OB·cos30°=,OD=OB·sin30°=1.
∵B在C的左侧,∴B的坐标为(-,-1).
∵B点在抛物线上,且c=2,b=0,
∴3a+2=-1,解得a=-1,
则抛物线解析式为y=-x2+2.
(2)①由
(1)知,点M(x1,-x12+2),N(x2,-x22+2).
∵MN与直线y=-2x平行,
∴设直线MN的解析式为y=-2x+m,则有-x12+2=-2x1+m,
即m=-x12+2x1+2,
∴直线MN解析式为y=-2x-x12+2x1+2.
把y=-2x-x12+2x1+2代入y=-x2+2,
解得x=x1或x=2-x1,
∴x2=2-x1,即y2=-(2-x1)2+2=-x12+4x1-10.
如图,作ME⊥BC,NF⊥BC,垂足分别为E,F.
∵M,N位于直线BC的两侧,且y1>y2,
则y2<-1<y1≤2,且-<x1<x2,
∴ME=y1-(-1)=-x12+3,BE=x1-(-)=x1+,
NF=-1-y2=x12-4x1+9,BF=x2-(-)=3-x1.
在Rt△BEM中,tan∠MBE===-x1,
在Rt△BFN中,tan∠NBF=====-x1.
∵tan∠MBE=tan∠NBF,∴∠MBE=∠NBF,
则BC平分∠MBN.
②∵y轴为BC的垂直平分线,
∴设△MBC的外心为P(0,y0),则PB=PM,即PB2=PM2,
根据勾股定理得3+(y0+1)2=x12+(y0-y1)2.
∵x12=2-y1,
∴y02+2y0+4=(2-y1)+(y0-y1)2,
即y0=y1-1,
由①得-1<y1≤2,∴-<y0≤0,
则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是-<y0≤0.
3.解:
(1)∵B(4,0),∴OB=4.
∵⊙A的直径为BO,
∴OA=AB=2,即A(2,0).
∵以直线l为对称轴的抛物线经过点A,与x轴另一交点为C,
∴BC=AB=2,∴C(6,0).
∵CO=2BE,
∴BE=3,
∴E(4,-3).
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
∴解得
∴抛物线解析式为y=x2-6x+9.
(2)如图,连接AD.
∵CD为⊙A的切线,
∴AD⊥CD.
∵AC=OC-OA=4,AD=2,
∴CD==2.
(3)如图,连接BF,
由
(2)可知,△ADC为直角三角形,
∴当△BCF和△CAD相似时,则有BF⊥CD或BF⊥x轴两种情况:
①当BF⊥CD时,如图,连接BF,则BF∥AD,
∴=,即=,解得CF=.
②当BF⊥x轴时,同理=,
即=,解得CF=.
综上可知,在切线CD上存在点F,使△BFC与△CAD相似,此时CF的长为或.
4.解:
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,
∴解得
∴经过A,B,C三点的抛物线的函数解析式为y=-x2+2x+3.
(2)当C为直角顶点时,如图,过点C作CP1⊥BC,交抛物线于点P1,过P1作P1H1⊥y轴于点H1.
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴△BOC为等腰直角三角形,∠BCO=45°,∴∠P1CH1=45°,
∴△P1H1C为等腰直角三角形,即P1H1=H1C.
设P1(a,-a2+2a+3),
则a=-a2+2a+3-3,
解得a1=1,a2=0(舍去),
此时-a2+2a+3=4,
∴P1坐标是(1,4).
当B为直角顶点时,如图,过点B作BP2⊥BC,交抛物线于点P2,交y轴于点G,过点P2作P2H2⊥y轴于点H2.
∵∠CBO=45°,
∴∠H2P2G=∠OBG=45°,
∴△BOG,△P2H2G为等腰直角三角形,
即OB=OG=3,P2H2=H2G.
设P2(a,-a2+2a+3),
则-a=a2-2a-3-3,
解得a1=-2,a2=3(舍去),
此时-a2+2a+3=-5,
∴P2的坐标是(-2,-5).
综上所述,点P的坐标是(-2,-5)或(1,4).
(3)△DEF的外接圆直径最小为.
5.解:
(1)对于直线y=-x+2,
当x=0时,y=2,即C(0,2),
当y=0时,x=4,即A(4,0),
将A,C点坐标代入函数解析式得
解得
抛物线的解析式为y=-x2+x+2.
(2)①如图,过点P向x轴做垂线,交直线AC于点M,交x轴于点N.
∵直线PN∥y轴,
∴△PEM∽△OEC,
∴=.
把x=0代入y=-x+2得y=2,即OC=2.
设点P(x,-x2+x+2),则点M(x,-x+2),
∴PM=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x
=-(x-2)2+2,
∴==.
∵0<x<4,
∴当x=2时,=有最大值为1.
②∵A(4,0),B(-1,0),C(0,2),
∴AC=2,BC=,AB=5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点D,
∴D(,0),∴DA=DC=DB=,
∴∠CDO=2∠BAC,
∴tan∠CDO=tan(2∠BAC)=.
情况一:
当∠PCF=2∠CAB时,
如图,过P作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延长线于G.
∵∠PCF=2∠CAB=∠PGC+∠CPG,
∴∠CPG=∠BAC,
∴tan∠CPG=tan∠BAC=,
即=.
令P(a,-a2+a+2),
∴PR=a,RC=-a2+a,
∴=,∴a1=0(舍去),a2=2,
∴xP=2,-a2+a+2=3,P(2,3).
情况二:
当∠FPC=2∠BAC时,
∵tan(2∠BAC)=,∴tan∠FPC=.
设FC=4k,∴PF=3k,PC=5k.
∵tan∠PGC==,∴FG=6k,∴CG=2k,PG=3k,
∴RC=k,RG=k,PR=3k-k=k,
∴==,
∴a1=0(舍去),a2=,
xP=,-a2+a+2=,即P(,).
综上所述,P点坐标是(2,3)或(,).
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