高考全国卷.理科数学试题及答案.doc

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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（理工农医类）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：

三角函数的积化和差公式：

正棱台、圆台的侧面积公式

其中、分别表示

上、下底面周长，表示斜高或母线长.

球体的体积公式：

，其中R

表示球的半径.

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1．已知，0），，则（）

（A）（B）（C）（D）

2．圆锥曲线的准线方程是（）

（A）（B）（C）（D）

3．设函数，若，则的取值范围是（）

（A）（，1）（B）（，）

（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）

4．函数的最大值为（）

（A）（B）（C）（D）2

5．已知圆C：

（）及直线：

，当直线被C截得的弦长为时，则（）

（A）（B）（C）（D）

6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）

（A）（B）（C）（D）

7．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则（）

（A）1（B）（C）（D）

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）

（A）（B）（C）（D）

9．函数，的反函数（）

（A），1]（B），1]

（C），1]（D），1]

10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是（）

（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（D）（，）

11．（）

（A）3（B）（C）（D）6

12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）

（A）（B）（C）（D）

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（理工农医类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上

13．的展开式中系数是

14．使成立的的取值范围是

2

1

5

3

4

15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）

P

M

N

l

P

N

M

l

N

l

P

M

l

M

N

P

N

l

P

M

16．下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）

①②③④⑤

三、解答题：

本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求

D

E

K

B

C1

A1

B1

A

F

C

G

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G

（I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

（II）求点到平面AED的距离

19．（本小题满分12分）已知，设

P：

函数在R上单调递减Q：

不等式的解集为R

如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围

O

北

东O

y

线

岸

O

x

O

r（t）

P

海

20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21．（本小题满分14分）

O

P

A

G

D

F

E

C

B

x

y

已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？

若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由

22．（本小题满分12分，附加题4分）

（I）设是集合且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…

将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3

56

91012

————

…………

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求

（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）

设是集合，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求.

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（理工农医类）答案

一、选择题：

本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

1．D2．C3．D4．A5．C6．B7．C8．D9．D10．C11．B12．A

二、填空题：

本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

13．14．（-1，0）15．7216．①④⑤

三、解答题：

本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．解：

设，则复数由题设

18．（Ⅰ）解：

连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

（Ⅱ）解：

19．解：

函数在R上单调递减

不等式

20．解：

如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：

（1）台风中心P（）的坐标为

此时台风侵袭的区域是

其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

即

答：

12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）

直线OF的方程为：

①

直线GE的方程为：

②

从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程

整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长

当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值

当时，点P到椭圆两个焦点（0，的距离之和为定值2.

22．（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）解：

用（t,s）表示，下表的规律为

3（（0,1）=）

5（0,2）6（1,2）

9（0,3）10（1,3）12（2,3）

————

…………

（i）第四行17（0,4）18（1,4）20（2,4）24（3,4）

第五行33（0,5）34（1,5）36（2,5）40（3,5）48（4,5）

（ii）解法一：

因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以（8,14）＝＝16640

解法二：

设，只须确定正整数

数列中小于的项构成的子集为

其元素个数为

满足等式的最大整数为14，所以取

因为100－

（Ⅱ）解：

令

因

现在求M的元素个数：

其元素个数为：

某元素个数为

某元素个数为

另法：

规定（r,t,s），＝（3,7,10）

则＝（0,1,2）

依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3）

（0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4）

…………

（0,1,9）（0,2,9）…………（6,8,9）（7,8,9）

（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）……+4

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