高二数学导数中的恒成立问题专题学案(含答案).doc
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第讲导数中的恒成立问题
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年月日刘满江老师学生签名:
一、兴趣导入
二、学前测试
§1.函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是.
§2.几种常见函数的导数
①=;②;③;④;
⑤;⑥;⑦;⑧
§3.导数的运算法则
(1).
(2).(3).
§4.复合函数求导法则
复合函数的导数和函数的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
解题步骤:
分层—层层求导—作积还原.
§5.函数的极值
(1)极值定义:
极值是在附近所有的点,都有<,则是函数的极值;
极值是在附近所有的点,都有>,则是函数的极值.
(2)判别方法:
①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极值;
②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极值.
三、方法培养
一、单参数放在不等式上型:
【例题1】设函数.若对所有都有,求的取值范围.
解:
令,则,
(1)若,当时,,故在上为增函数,
∴时,,即.
(2)若,方程的正根为,
此时,若,则,故在该区间为减函数.
∴时,,即,与题设相矛盾.
综上,满足条件的的取值范围是.
说明:
上述方法是不等式放缩法.
【针对练习1】设函数,当时,,求的取值范围.
解:
【例题2】设函数在及时取得极值.
(1)求、的值;
(2)若对于任意的,都有成立,求的取值范围.
解:
(1),
∵函数在及取得极值,则有,.
即,解得,.
(2)由
(1)可知,,.
当时,;当时,;当时,.
∴当时,取得极大值,又,.
则当时,的最大值为.
∵对于任意的,有恒成立,∴,解得或,
因此的取值范围为.
最值法总结:
区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值.
【针对练习2】已知函数在处取得极值,其中
、、为常数.
(1)试确定、的值;
(2)讨论函数的单调区间;
(3)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.
解:
【针对练习3】已知函数,其中.若在区间上,
恒成立,求的取值范围.
解:
【例题3】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式对任意的都成立(其中是自然对数的底数),求的最大值.
解:
(1)函数的定义域是,
.
设.
则,令,则.
当时,,在上为增函数,
当时,,在上为减函数.∴在处取得极大值,
而,∴,函数在上为减函数.
于是当时,,当时,.
∴当时,在上为增函数.
当时,,在上为减函数.
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)不等式等价于不等式,由知,
.设,,则
.
由
(1)知,,即.
∴,,于是在上为减函数.
故函数在上的最小值为.∴a的最大值为.
小结:
解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法,此类方法的解题步骤是:
①分离变量;②构造
函数(非变量一方);③对所构造的函数求最值(一般需要求导数,有时还需求两次导数);④写出变
量的取值范围.
【针对练习4】已知,若,求的取值范围.
解:
【针对练习5】若对所有的都有成立,求实数的取值范围.
解:
二、单参数放在区间上型:
【例题4】已知三次函数图象上点处的切线经过点,并且在
处有极值.
(1)求的解析式;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
解:
(1)∵,∴,
于是过点处的切线为,
又切线经过点,∴,①
∵在处有极值,∴,②
又,③
∴由①②③解得:
,,,∴.
(2),由得,.
当时,,单调递增,∴;
当时,,单调递减,∴.
∴当时,在内不恒成立,当且仅当时,在内恒
成立,∴的取值范围为.
【针对练习6】(07陕西文)已知在区间上是增函数,在区间,
上是减函数,又.
(1)求的解析式;
(2)若在区间上恒有成立,求的取值范围.
解:
三、双参数中知道其中一个参数的范围型:
【例题5】已知函数,其中,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
解:
(1).
当时,显然.这时在,上内是增函数.
当时,令,解得.
当变化时,,的变化情况如下表:
0
-
0
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
∴在,内是增函数,在,内是减函数.
(2)法一:
化归为最值.
由
(2)知,在上的最大值为与的较大者
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