椭圆学案.docx
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椭圆学案.docx
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椭圆学案
2-1椭圆的标准方程
复习1:
过两点,的直线方程.
复习2:
方程表示以为圆心,为半径的.
新授:
取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个.
如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?
思考:
移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?
经过观察后思考:
在移动笔尖的过程中,细绳的保持不变,即笔尖等于常数.
新知1:
我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
反思:
若将常数记为,为什么?
当时,其轨迹为 ;
当时,其轨迹为 .
试试:
已知,,到,两点的距离之和等于8的点的轨迹是.
小结:
应用椭圆的定义注意两点:
①分清动点和定点;
②看是否满足常数.
思考:
如何求轨迹的方程?
(引导学生推导椭圆的标准方程)
形式一:
()
说明:
此方程表示的椭圆焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0),其中c2=a2-b2.
形式二:
()
说明:
此方程表示的椭圆焦点在y轴上,焦点是F1(0,-c),F2(0,c),其中c2=a2-b2.
典型例题
例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
⑴,焦点在轴上;
⑵,焦点在轴上;
⑶.
变式:
方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的范围.
例2:
已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2,0)、(-2,0),并且椭圆经过点,求它的标准方程。
例3:
已知,,到,两点的距离之和等于10的点的轨迹方程。
例4.一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程式,并说明它是什么曲线.
动手试试
1、焦点坐标为(0,-4)、(0,4),a=5的椭圆的标准方程为()
A.B.C.D.
2、与椭圆共焦点,且过点(3,-2)的椭圆方程是()
A.B.C.D.
3、方程表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是()
A、-16<k<25B、-16<k<C、<k<25D、k>
4、若方程表示的曲线是椭圆,则k的取值范围是()
A.(3,5)B.(3,4)∪(4,5)C.(-∞,3)D.(5,+∞)
5、若C、D是以F1、F2为焦点的椭圆上两点,CD过点F1,则△F2CD的长()
A.20B.16C.12D.10
6.如果点在运动过程中,总满足关系式,点的轨迹是 ,它的方程是 .
7.椭圆两焦点间的距离为,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和,则椭圆的标准方程是.ddcca
2-2椭圆及其简单几何性质
问题1:
椭圆的标准方程,它有哪些几何性质呢?
图形:
范围:
:
:
对称性:
椭圆关于轴、轴和都对称;
顶点:
(),(),(),();长轴,其长为;短轴,其长为;
离心率:
刻画椭圆程度.椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率,记,且.
试试:
椭圆的几何性质呢?
范围:
:
:
对称性:
椭圆关于轴、轴和都对称;
顶点:
(),(),(),();长轴,其长为;短轴,其长为;
离心率:
=.
反思:
或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?
典型例题
例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
变式:
若椭圆是呢?
小结:
①先化为标准方程,找出,求出;
②注意焦点所在坐标轴.
例2点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数,求点的轨迹.
小结:
到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于1)的点的轨迹是椭圆.
动手试试
练.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
⑴焦点在轴上,,;
⑵焦点在轴上,,;
⑶经过点,;
⑷长轴长等到于,离心率等于.
达标训练、巩固提升(时量:
5分钟满分:
10分)计分:
1.若椭圆的离心率,则的值是().
A.B.或C.D.或
2.若椭圆经过原点,且焦点分别为,,则其离心率为().
A.B.C.D.
3.短轴长为,离心率的椭圆两焦点为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为().A.B.C.D.
4.已知点是椭圆上的一点,且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于,则点的坐标是.
5.某椭圆中心在原点,焦点在轴上,若长轴长为,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是.
6.设定点,,动点满足条件,则点的轨迹是().
A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段
7.与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是.
2-3椭圆习题(学生专用)
一、选择题
1.椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到中心的距离为3,则椭圆的标准方程是( )
A.或
B.或
C.或
D.无法确定
2.过点且与有相同焦点的椭圆方程是( )
A.B.
C.D.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为,过作垂直于轴的直线与椭圆相交,一个交点为,则( )
A.B.C.D.
4.椭圆的半焦距为,若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,当的面积为1时,( )
A.0B.1C.2D.
6.椭圆焦点坐标为( )
A.B.
C.D.
二、填空题
7.椭圆的一个焦点将长轴长分成两部分,则这个椭圆的离心率为 .
8.椭圆的焦点分别为,点为其上的动点,当为钝角时,点的横坐标的取值范围是 .
9.椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,是面积为的正三角形,则的值是 .
10.动点到点的距离与到定直线的距离之比是,则动点的轨迹方程是 .
11.一动圆过定点且与定圆相切,那么动圆圆心的轨迹方程是 .
12.点是椭圆上任意一点,自作轴的垂线(为垂足),是线段的中点,则点的轨迹方程是 .
三、解答题
13.已知椭圆,求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
14.已知是椭圆内的一点,是椭圆上的动点,求的最大值与最小值.
15.已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点,与共线.求椭圆的离心率.
2-3椭圆习题(教师专用)
一、选择题
1.椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到中心的距离为3,则椭圆的标准方程是( )
A.或
B.或
C.或
D.无法确定
答案:
B
2.过点且与有相同焦点的椭圆方程是( )
A.B.
C.D.
答案:
A
3.已知椭圆的左、右焦点分别为,过作垂直于轴的直线与椭圆相交,一个交点为,则( )
A.B.C.D.
答案:
C
4.椭圆的半焦距为,若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
答案:
D
5.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,当的面积为1时,( )
A.0B.1C.2D.
答案:
A
6.椭圆焦点坐标为( )
A.B.
C.D.
答案:
A
二、填空题
7.椭圆的一个焦点将长轴长分成两部分,则这个椭圆的离心率为 .
答案:
8.椭圆的焦点分别为,点为其上的动点,当为钝角时,点的横坐标的取值范围是 .
答案:
9.椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,是面积为的正三角形,则的值是 .
答案:
10.动点到点的距离与到定直线的距离之比是,则动点的轨迹方程是 .
答案:
11.一动圆过定点且与定圆相切,那么动圆圆心的轨迹方程是 .
答案:
12.点是椭圆上任意一点,自作轴的垂线(为垂足),是线段的中点,则点的轨迹方程是 .
答案:
三、解答题
13.已知椭圆,求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
解:
设组平行弦与椭圆交于,中点为,则,,
由与,相减得,
又,
所以斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是.
14.已知是椭圆内的一点,是椭圆上的动点,求的最大值与最小值.
解:
易知为椭圆的右焦点,设左焦点为,
由知,,
因此,
问题转化为“求椭圆上一点到两点距离之差的最大
与最小值”,连并延长交椭圆于两点,
其一使最大,
另一个使最小,即最大值为,最小值为.
15.已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点,与共线.求椭圆的离心率.
解:
设椭圆方程为,.
则直线的方程为,代入,
化简得,
设,
则,.
由,,
与共线,得,
解得,即,
所以,所以,
故离心率.
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