浙江专版高中数学第一章导数及其应用132函数的极值与导数学案新人教A版选修22Word格式.docx
- 文档编号:21403643
- 上传时间:2023-01-30
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:121.21KB
浙江专版高中数学第一章导数及其应用132函数的极值与导数学案新人教A版选修22Word格式.docx
《浙江专版高中数学第一章导数及其应用132函数的极值与导数学案新人教A版选修22Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《浙江专版高中数学第一章导数及其应用132函数的极值与导数学案新人教A版选修22Word格式.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
①y=x3;
②y=x2+1;
③y=|x|;
④y=2x,其中在x=0处取得极小值的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①③
B
3.已知函数y=|x2-1|,则( )
A.y无极小值,且无极大值
B.y有极小值-1,但无极大值
C.y有极小值0,极大值1
D.y有极小值0,极大值-1
C
4.函数f(x)=x+2cosx在
上的极大值点为( )
A.0 B.
C.
D.
运用导数解决函数的极值问题
题点一:
知图判断函数的极值
1.已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)( )
A.在(-∞,0)上为减函数 B.在x=0处取极小值
C.在(4,+∞)上为减函数D.在x=2处取极大值
解析:
选C 由导函数的图象可知:
x∈(-∞,0)∪(2,4)时,f′(x)>
0,x∈(0,2)∪(4,+∞)时,f′(x)<
0,因此f(x)在(-∞,0),(2,4)上为增函数,在(0,2),(4,+∞)上为减函数,所以x=0取得极大值,x=2取得极小值,x=4取得极大值,因此选C.
题点二:
已知函数求极值
2.求函数f(x)=x2e-x的极值.
解:
函数的定义域为R,
f′(x)=2xe-x+x2·
e-x·
(-x)′
=2xe-x-x2·
e-x
=x(2-x)e-x.
令f′(x)=0,得x(2-x)·
e-x=0,
解得x=0或x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
-
+
f(x)
极小值0
极大值4e-2
因此当x=0时,f(x)有极小值,
并且极小值为f(0)=0;
当x=2时,f(x)有极大值,并且极大值为f
(2)=4e-2=
.
题点三 已知函数的极值求参数
3.已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(0,1)D.(-1,0)
选D 若a<
-1,∵f′(x)=a(x+1)(x-a),
∴f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增,∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符;
若-1<
a<
0,则f(x)在(-1,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减,从而在x=a处取得极大值.
若a>
0,则f(x)在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,与题意矛盾,∴选D.
4.已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±
1处的极大值为4,极小值为0,试确定a,b,c的值.
f′(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b).
由题意,f′(x)=0应有根x=±
1,故5a=3b,
于是f′(x)=5ax2(x2-1)
(1)当a>0,x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
极大值
无极值
极小值
由表可知:
又5a=3b,解之得:
a=3,b=5,c=2.
(2)当a<0时,同理可得a=-3,b=-5,c=2.
1.求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解方程f′(x)=0得方程的根.
(4)利用方程f′(x)=0的根将定义域分成若干个小开区间,列表,判定导函数在各个小开区间的符号.
(5)确定函数的极值,如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正),则f(x)在x0处取得极大(小)值.
2.已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
函数极值的综合应用
[典例] 已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
[解] 因为f(x)在x=-1处取得极值且f′(x)=3x2-3a,
所以f′(-1)=3×
(-1)2-3a=0,所以a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
当x<
-1时,f′(x)>
0;
当-1<
x<
1时,f′(x)<
当x>
1时,f′(x)>
0.
所以由f(x)的单调性可知,
f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,
在x=1处取得极小值f
(1)=-3.
作出f(x)的大致图象如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
[一题多变]
1.[变条件]若本例中条件改为“已知函数f(x)=-x3+ax2-4”在x=
处取得极值,其他条件不变,求m的取值范围.
由题意可得f′(x)=-3x2+2ax,由f′
=0,
可得a=2,所以f(x)=-x3+2x2-4,
则f′(x)=-3x2+4x.
令f′(x)=0,得x=0或x=
,
-4
作出函数f(x)的大致图象如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,所以m的取值范围是
2.[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何?
改为“一个交点”呢?
由例题解析可知:
当m=-3或m=1时,直线y=m与y=f(x)的图象有两个不同的交点;
当m<
-3或m>
1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.
(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题,一般地,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标.
(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
层级一 学业水平达标
1.当函数y=x·
2x取极小值时,x=( )
A.
B.-
C.-ln2D.ln2
选B 由y′=2x+x·
2xln2=0,得x=-
2.设函数f(x)=
+lnx,则( )
A.x=
为f(x)的极大值点
B.x=
为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
选D 由f′(x)=-
=
=0可得x=2.当0<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增.故x=2为f(x)的极小值点.
3.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
A.(2,3)B.(3,+∞)
C.(2,+∞)D.(-∞,3)
选B 因为函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,又f′(x)=6x2+2ax+36,所以f′
(2)=0解得a=-15.令f′(x)>0,解得x>3或x<2,所以函数的一个递增区间是(3,+∞).
4.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
选C 由题意可得f′(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,此时xf′(x)>0;
排除B、D,当x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,此时若x∈(-2,0),xf′(x)<0,若x∈(0,+∞),xf′(x)>0,所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.
5.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为( )
,0B.0,
C.-
,0D.0,-
选A f′(x)=3x2-2px-q,
由f′
(1)=0,f
(1)=0得,
解得
∴f(x)=x3-2x2+x.
由f′(x)=3x2-4x+1=0得x=
或x=1,易得当x=
时f(x)取极大值
.当x=1时f(x)取极小值0.
6.函数y=
的极大值为________,极小值为_______.
y′=
,令y′>0得-1<x<1,令y′<0得x>1或x<-1,∴当x=-1时,取极小值-1,当x=1时,取极大值1.
1 -1
7.已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点,则a的取值范围是________.
令f′(x)=3x2-3=0,得x=±
1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f
(1)=-2,y=f(x)的大致图象如图,观察图象得-2<a<2时恰有三个不同的公共点.
(-2,2)
8.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0).如图,则下列说法中不正确的是________.(填序号)
①当x=
时,函数f(x)取得最小值;
②f(x)有两个极值点;
③当x=2时函数值取得极小值;
④当x=1时函数取得极大值.
由图象可知,x=1,2是函数的两极值点,∴②正确;
又x∈(-∞,1)∪(2,+∞)时,y>0;
x∈(1,2)时,y<0,∴x=1是极大值点,x=2是极小值点,故③④正确.
①
9.设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求f(x)的单调区间与极值.
由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(-∞,ln2)
ln2
(ln2,+∞)
单调递减↘
2(1-ln2+a)
单调递增↗
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞);
且f(x)在x=ln2处取得极小值.
极小值为f(ln2)=2(1-ln2+a),无极大值.
10.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±
1时取得极值,且f
(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值;
(2)试判断x=±
1时函数取得极小值还是极大值,并说明理由.
(1)由已知,f′(x)=3ax2+2bx+c,
且f′(-1)=f′
(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.
又f
(1)=-1,∴a+b+c=-1.
∴a=
,b=0,c=-
(2)由
(1)知f(x)=
x3-
x,
∴f′(x)=
x2-
(x-1)(x+1).
-1或x>
0,
∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上为减函数.
∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1;
当x=1时,函数取得极小值f
(1)=-1.
层级二 应试能力达标
1.下列函数中,x=0是极值点的是( )
A.y=-x3 B.y=cos2x
C.y=tanx-xD.y=
选B y=cos2x=
,y′=-sin2x,x=0是y′=0的根且在x=0附近,y′左正右负,∴x=0是函数的极大值点.
2.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( )
A.(-1,2)B.(-3,6)
C.(-∞,-3)∪(6,+∞)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
选C f′(x)=3x2+2ax+a+6,
∵f(x)有极大值与极小值,∴f′(x)=0有两不等实根,∴Δ=4a2-12(a+6)>
0,∴a<
-3或a>
6.
3.对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:
①f(x)是增函数,无极值;
②f(x)是减函数,无极值;
③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2);
④f(0)=0是极大值,f
(2)=-4是极小值.
其中正确的命题有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
选B f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)>0,得x>2或x<0,令f′(x)<0,得0<x<2,所以f(x)的极大值为f(0)=0,极小值为f
(2)=-4,故①②错误,③④正确.
4.已知函数f(x)=ex(sinx-cosx),x∈(0,2017π),则函数f(x)的极大值之和为( )
B.
选B f′(x)=2exsinx,令f′(x)=0得sinx=0,∴x=kπ,k∈Z,当2kπ<
2kπ+π时,f′(x)>
0,f(x)单调递增,当(2k-1)π<
2kπ时,f′(x)<
0,f(x)单调递减,∴当x=(2k+1)π时,f(x)取到极大值,∵x∈(0,2017π),∴0<
(2k+1)π<
2017π,∴0≤k<
1008,k∈Z.∴f(x)的极大值之和为S=f(π)+f(3π)+f(5π)+…+f(2015π)=eπ+e3π+e5π+…+e2015π=
,故选B.
5.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m等于______.
y′=-3x2+12x=-3x(x-4).由y′=0,得x=0或4.且x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,y′<0;
x∈(0,4)时,y′>0,∴x=4时取到极大值.故-64+96+m=13,解得m=-19.
-19
6.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为______.
由题意,f′(x)=3x2+2x-a,
则f′(-1)f′
(1)<
0,即(1-a)(5-a)<
0,解得1<
5,另外,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)没有极值点.故实数a的范围为[1,5).
[1,5)
7.设函数f(x)=
x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.
由f(x)=
x3+bx2+cx+d得f′(x)=ax2+2bx+c,
∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4.
则
(*)
(1)当a=3时,由(*)式得
解得b=-3,c=12.
又∵曲线y=f(x)过原点,∴d=0.
故f(x)=x3-3x2+12x.
(2)由于a>0,所以“f(x)=
x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”.
由(*)式得2b=9-5a,c=4a.
又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),
∴
解得1≤a≤9.
即a的取值范围是[1,9].
8.已知f(x)=2ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.
(1)求实数a的值.
(2)若关于x的方程f(x)+b=0的区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.
(1)f′(x)=
-2x-1,当x=0时,f(x)取得极值,
所以f′(0)=0,解得a=2,检验知a=2符合题意.
(2)令g(x)=f(x)+b=2ln(x+2)-x2-x+b,
则g′(x)=
-2x-1=-
(x>-2).
g(x),g′(x)在(-2,+∞)上的变化状态如下表:
(-2,0)
(0,+∞)
g′(x)
g(x)
2ln2+b
由上表可知函数在x=0处取得极大值,极大值为2ln2+b.
要使f(x)+b=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,
只需
即
所以-2ln2<b≤2-2ln3.
故实数b的取值范围是(-2ln2,2-2ln3].
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 浙江 专版 高中数学 第一章 导数 及其 应用 132 函数 极值 新人 选修 22
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/21403643.html