专题12二次函数与动点综合问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版文档格式.docx
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x+c经过点A、C、D,连接AB、AC.
(1)求抛物线的表达式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)E为直线AC上方的抛物线上一点,且tan∠ECA=
,求点E的坐标;
(4)N为线段AC上的动点,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N,再以每秒
个单位长度的速度沿线段NC运动到点C,又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动,当点P运动到点O后停止,请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标.
【例4】
(2020•随州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1的对称轴为直线x
,其图象与x轴交于点A和点B(4,0),与y轴交于点C.
(1)直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数;
(2)动点M,N同时从A点出发,点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动,点N以每秒
个单位的速度在线段AC上运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t(t>0)秒,连接MN,再将线段MN绕点M顺时针旋转90°
,设点N落在点D的位置,若点D恰好落在抛物线上,求t的值及此时点D的坐标;
(3)在
(2)的条件下,设P为抛物线上一动点,Q为y轴上一动点,当以点C,P,Q为顶点的三角形与△MDB相似时,请直接写出点P及其对应的点Q的坐标.(每写出一组正确的结果得1分,至多得4分)
【例5】
(2020•邵阳)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C(8,0),B(0,6),CD=5,抛物线y=ax2
x+c(a≠0)过B,C两点,动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动.动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动,到达C点后,立即返回,向CO方向运动,到达O点后,又立即返回,依此在线段OC上反复运动,当点M停止运动时,点N也停止运动,设运动时间为t.
(2)求点D的坐标;
(3)当点M,N同时开始运动时,若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B,O,N为顶点的三角形相似,求t的值;
(4)过点D与x轴平行的直线,交抛物线的对称轴于点Q,将线段BA沿过点B的直线翻折,点A的对称点为A'
,求A'
Q+QN+DN的最小值.
【例6】
(2020•重庆)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),且A点坐标为(
,0),直线BC的解析式为y
x+2.
(2)过点A作AD∥BC,交抛物线于点D,点E为直线BC上方抛物线上一动点,连接CE,EB,BD,DC.求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标;
(3)将抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)向左平移
个单位,已知点M为抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上一动点,点N为平移后的抛物线上一动点.在
(2)中,当四边形BECD的面积最大时,是否存在以A,E,M,N为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,直接写出点N的坐标;
若不存在,请说明理由.
【题组一】
1.(2021•长沙模拟)在一个三角形中,如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍,则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”.
(1)已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4,6,m﹣1,求m的值.
(2)已知Rt△ABC是“调和三角形”,它的三边长分别为a,b,c,且a<b<c.
①求a:
b:
c的值;
②若△ABC周长的数值与面积的数值相等,求a,b,c的值.
(3)在
(2)的条件下,动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线A→B→C运动,动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒,设y=PQ2.
①求y关于t的函数关系式;
②求y的最小值.
2.(2021•广东模拟)如图1,在平面直角坐标系中,已知△ABC中,∠ABC=90°
,B(4,0),C(8,0),tan∠ACB=2,抛物线y=ax2+bx经过A,C两点.
(1)求点A的坐标及抛物线的解析式;
(2)如图2,过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D,动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动,速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,过点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG取得最大值?
最大值是多少?
②连接EQ,在点P,Q运动过程中,t为何值时,使得△CEQ与△ABC相似?
3.(2020•密云区二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:
y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.点B的坐标为(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后,恰好经过B、C两点.
(1)求k的值和点C的坐标;
(2)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标;
(3)已知点E是点D关于原点的对称点,若抛物线C2:
y=ax2﹣2(a≠0)与线段AE恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.
4.(2021•武汉模拟)如图,已知二次函数y=ax2+
x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.
(1)请直接写出二次函数的表达式;
(2)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出此时点N的坐标;
(3)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.
【题组二】
5.(2020•香洲区校级一模)如图1,矩形OBCD的边OD,OB分别在x轴和y轴上,且B
(0,8),D(10,0).点E是DC边上一点,将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠,使点D恰好落在BC边上的点A处.
(1)若抛物线y=ax2+bx经过点A,D,求此抛物线的解析式;
(2)若点M是
(1)中抛物线对称轴上的一点,是否存在点M,使△AME为等腰三角形?
若存在,直接写出点M的坐标;
若不存在,说明理由;
(3)如图2,动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动,动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动,两点同时出发,当一点运动到终点时,另一点也随之停止,过动点P作直线l⊥x轴,依次交射线OA,OE于点F,G,设运动时间为t(秒),△QFG的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.(t的取值应保证△QFG的存在)
6.(2021•饶平县校级模拟)如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;
(3)△APD能否构成直角三角形?
若能,请直接写出所有符合条件的点P坐标;
若不能,请说明理由.
7.(2020•山西模拟)综合与实践
如图,抛物线y=
与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),交y轴于点C.点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动,设运动的时间为t秒.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)求t为何值时,△BDE是等腰三角形;
(3)在点D和点E的运动过程中,是否存在直线DE将△BOC的面积分成1:
4两份,若存在,直接写出t的值;
8.(2020•雁塔区校级模拟)将抛物线C1:
y=﹣x2+3沿x轴翻折,得抛物线C2.
(1)请求出抛物线C2的表达式;
(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;
将抛物线C2向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D、E.在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?
若存在,请求出此时m的值;
【题组三】
9.(2020•邵阳)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C(8,0),B(0,6),CD=5,抛物线y=ax2﹣
10.(2020•丹东)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于A,B两点,A点坐标为(﹣2,0),与y轴交于点C(0,4),直线y=﹣
x+m与抛物线交于B,D两点.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)求m的值和D点坐标.
(3)点P是直线BD上方抛物线上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为H,交直线BD于点F,过点D作x轴的平行线,交PH于点N,当N是线段PF的三等分点时,求P点坐标.
(4)如图2,Q是x轴上一点,其坐标为(﹣
,0).动点M从A出发,沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动,设M的运动时间为t(t>0),连接AD,过M作MG⊥AD于点G,以MG所在直线为对称轴,线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′,点M在运动过程中,线段A′Q′的位置也随之变化,请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围.
11.(2020•香洲区校级一模)如图1,矩形OBCD的边OD,OB分别在x轴和y轴上,且B(0,8),D(10,0).点E是DC边上一点,将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠,使点D恰好落在BC边上的点A处.
(2)若点M是
(1)中的抛物线对称轴上的一点,点N是坐标平面内一点,是否存在M,N使以A,M,N,E为顶点的四边形为菱形?
12.(2020•清江浦区二模)在平面直角坐标系中,Rt△ABC,∠ACB=90°
,AB∥x轴,如图1,C(1,0),且OC:
OA=AC:
BC=1:
2.
(1)A点坐标为 (0,2) ,B点坐标为 (5,2) ;
(2)求过A、B、C三点的抛物线表达式;
(3)如图2,抛物线对称轴与AB交于点D,现有一点P从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一点Q从点D与点P同时出发,以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动.当点P到达B点时,点P、Q同时停止运动,问点P、Q运动到何处时,△PQB面积最大,试求出最大面积.
【题组四】
13.(2019•西宁)如图①,直线y
x+2
与x轴,y轴分别交于A,B两点,以A为顶点的抛物线经过点B,点P是抛物线上一点,连接OP,AP.
(2)若△AOP的面积是3
,求P点坐标;
(3)如图②,动点M,N同时从点O出发,点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动,点N以
个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动,当其中一个动点停止运动时,另一个动点也随之停止运动,过点N作NE∥x轴交直线AB于点E.若设运动时间为t秒,是否存在某一时刻,使四边形AMNE是菱形?
若存在,求出t的值;
14.(2019•乐山)如图,已知抛物线y=a(x+2)(x﹣6)与x轴相交于A、B两点,与y轴交于C点,且tan∠CAB
.设抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N.
(2)P为抛物线的对称轴上一点,Q(n,0)为x轴上一点,且PQ⊥PC.
①当点P在线段MN(含端点)上运动时,求n的变化范围;
②在①的条件下,当n取最大值时,求点P到线段CQ的距离;
③在①的条件下,当n取最大值时,将线段CQ向上平移t个单位长度,使得线段CQ与抛物线有两个交点,求t的取值范围.
15.(2019•兰州)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.
(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;
(2)连接BD,当t
时,求△DNB的面积;
(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标;
(4)当t
时,在直线MN上存在一点Q,使得∠AQC+∠OAC=90°
,求点Q的坐标.
16.(2018•扬州)如图1,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),点P从点O出发,沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动,同时点Q从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,线段PQ的中点坐标为 (
,2) ;
(2)当△CBQ与△PAQ相似时,求t的值;
(3)当t=1时,抛物线y=x2+bx+c经过P,Q两点,与y轴交于点M,抛物线的顶点为K,如图2所示,问该抛物线上是否存在点D,使∠MQD
∠MKQ?
若存在,求出所有满足条件的D的坐标;
若不存在,说明理由.
【题组五】
17.(2020•项城市三模)如图,抛物线
经过A(﹣3,0),C(5,0)两点,点B为抛物线顶点,抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(2)动点P从点B出发,沿线段BD向终点D作匀速运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t,过点P作PM⊥BD,交BC于点M,以PM为正方形的一边,向上作正方形PMNQ,边QN交BC于点R,延长NM交AC于点E.
①当t为何值时,点N落在抛物线上;
②在点P运动过程中,是否存在某一时刻,使得四边形ECRQ为平行四边形?
若存在,求出此时刻的t值;
18.(2020•市中区一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4经过A(﹣3,0)、B(4,0)两点,且与y轴交于点C,D(4﹣4
,0).动点P从点A出发,沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动,同时动点Q从点C出发,沿线段CA以某一速度向点A移动.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若经过t秒的移动,线段PQ被CD垂直平分,求此时t的值;
(3)在第一象限的抛物线上取一点G,使得S△GCB=S△GCA,再在抛物线上找点E(不与点A、B、C重合),使得∠GBE=45°
,求E点的坐标.
19.(2020•南充一模)如图,抛物线y
(x+1)(x﹣n)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,△ABC的面积为5.动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动,过P作PN⊥x轴交BC于M,交抛物线于N.
(2)当M在线段BC上,MN最大时,求运动的时间;
(3)经过多长时间,点N到点B、点C的距离相等?
20.(2020•潮州模拟)如图1,已知抛物线y
x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=2OA=4.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)设P是
(1)中抛物线上的一个动点,当直线OC平分∠ACP时,求点P的坐标;
(3)如图2,点G是线段AC的中点,动点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,动点F从点B出发,以每秒
个单位长度的速度向终点C运动,若E、F两点同时出发,运动时间为t秒.则当t为何值时,△EFG的面积是△ABC的面积的
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