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介绍本章的重要定理:
因式分解及唯一性定理和复系数、实系数多项式因式分解定理,并把有理系数多项式的因式分解问题归纳为整系数多项式的因式分解来讨论。
2、教学目的及要求:
通过本章学习,使学生掌握带余除法、因式分解定理、复系数与实系数的因式分解及有理系数多项式的有关结论。
3、教学重点:
以因式分解及唯一性定理和有理系数多项式为重点。
4、教学难点:
有理系数多项式为难点。
5、各章节教学时间分配及进度安排:
6、主要教学环节的组织:
§
1数域(2学时)
数集;
数域;
2一元多项式(2学时)
有关多项式的概念;
多项式的代数性质;
3整除的概念(3学时)
整除概念;
整除性几个常用性质;
不可约多项式;
4最大公因式(4学时)
最大公因式的定义及唯一性;
最大公因式的存在性及求法;
互素的概念;
最大公因式、互素概念的推广;
5因式分解定理(4学时)
不可约多项式及其性质;
因式分解唯一性定理;
6重因式(2学时)
一些概念:
重因式、单因式、微商等;
重因式的判别及求法;
去掉因式重数的方法;
7多项式函数(2学时)
多项式的根;
多项式的根的个数;
8复系数与实系数多项式的因式分解(1学时)
复数域上多项式的分解;
实数域上多项式的分解;
9有理系数多项式(4学时)
有理系数多项式的根:
1)本原多项式及Gauss引理,2)确定整系数多项式有理根的范围,3)求有理系数多项式根的方法;
Eisenstein判别法
10多元多项式(1学时)
基本概念;
多元多项式中单项式的排列次序;
两个结论(关于乘积首项和次数);
多元多项式函数
11对称多项式(1学时)
基本概念、对称多项式环、初等对称多项式;
对称多项式的基本定理;
一元多项式的判别式;
第二章 行列式(14学时)
定义了n阶行列式,给出行列式的七个性质和Gramer法则、Laplace定理。
2、教学目的和要求:
通过本章学习,使学生熟练掌握计算行列式的三种方法:
利用定义、利用性质、降阶,并会运用Gramer法则求线性方程组的解。
重点讲授n阶行列式的定义和一些计算技巧及关于Gramer法则应用要强调解方程组的前提条件。
Laplace定理,行列式乘法规则。
5、各章节教学时间分配及进度安排:
6、主要教学环节的组织:
1引言
2排列(2学时)
基本概念:
n级排列,逆序数,偶(奇)排列,对换;
排列的奇偶性;
3n级行列式(2学时)
一般行列式的定义;
行与列的地位是对称的;
4n级行列式的性质(2学时)
行列式的性质;
应用实例;
5行列式的计算(3学时)
矩阵的初等变换;
行列式计算;
6行列式按一行(列)展开(3学时)
行列式按一行展开的性质;
展开性质的应用;
7Cramer法则(1学时)
8Laplace定理、行列式乘法法则(1学时)
Laplace定理;
行列式乘法规则;
第三章 线性方程组(20学时)
通过引入向量和矩阵两种工具,本章完整地解决了一般线性方程组的存在及如何求解问题。
使学生掌握n维向量的线性运算及线性方程组的求解方法。
以线性相关性概念及线性方程组有解判定定理为重点。
线性相关性理论和线性方程组解的理论为难点。
1消元法(2学时)
方程组的初等变换;
方程组的有解判别;
2n维向量空间(2学时)
n维向量概念;
n维向量的运算;
3线性相关性(4学时)
一些概念:
线性组合、向量组等价、线性相关(无关);
线性相关性的判定;
极大线性无关组及向量组的秩;
4矩阵的秩(4学时)
矩阵的秩;
矩阵秩的求法;
5线性方程组有解判定定理(4学时)
有解判定定理;
线性方程组解的求法;
6线性方程组的结构(4学时)
齐次线性方程组解的结构;
一般线性方程组解的结构;
线性方程组解的几何意义;
7二元高次方程组(1学时)
两个多项式的结式;
二元高次方程组的解法;
第四章 矩阵(25学时)
引入矩阵和初等变换的概念、基本运算,对逆矩阵和分块矩阵进行了详尽描述。
使学生熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用。
矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法要重点掌握。
理解初等变换与矩阵乘法的联系和几种求逆矩阵的方法。
5、各章节教学时间分配进度安排:
1矩阵的概念(2学时)
2矩阵的运算(4学时)
3矩阵乘积的行列式与秩(2学时)
4矩阵的逆(4学时)
可逆矩阵;
可逆矩阵的性质;
可逆矩阵的两个应用;
5矩阵的分块(4学时)
分块矩阵的乘积;
分块矩阵的应用;
6初等矩阵(4学时)
初等矩阵与初等变换;
逆矩阵的求法;
7分块乘法的初等变换及应用举例(3学时)
分块乘法的初等变换;
应用举例;
8广义逆矩阵(2学时)
广义逆的定义;
广义逆与线性方程组解的关系;
第五章 二次型(14学时)
通过二次型和正定二次型的概念的讲解,全面讨论二次型化标准形的方法和正定二次型的判定。
使学生掌握用非退化线性替换,化二次型为标准形及判断二次型的正定性。
以配方法和初等变换法化标准形和正定性的判别为重点。
化标准形和正定性的判别为难点。
1二次型的矩阵表示(3学时)
二次型及二次型矩阵;
替换前后二次型矩阵的关系;
2标准形(4学时)
二次型的标准形;
求标准形的方法:
1)、配方法,2)、初等变换法;
3唯一性(3学时)
二次型的秩;
实二次型的规范形;
复二次型的规范形;
4正定二次型(4学时)
正定二次型及其性质;
正定性的判别;
与正定二次型平行的几个类型;
第六章 线性空间(22学时)
通过介绍基本概念,引出基变换和坐标变换,对线性空间和子空间进行了详尽地分析。
以向量空间为几何模型帮助学生理解有关概念,让学生搞清线性空间的基本结构,会进行一些基本运算。
以线性空间维数和基的求解为重点。
难点为对同构和直和的理解。
1集合、映射(2学时)
2线性空间的定义及简单性质(4学时)
3维数、基与坐标(4学时)
线性相关性及几个结论;
维数、基与坐标;
4基变换与坐标变换(4学时)
基变换与坐标变换;
关于过渡矩阵的求法;
5线性子空间(2学时)
线性子空间及其判别;
生成子空间;
6子空间的交与和(3学时)
子空间的交与和定义;
维数公式;
子空间交与和的求法;
7子空间的直和(1学时)
8线性空间的同构(2学时)
同构的概念;
同构的性质;
第七章线性变换(24学时)
引入线性变换后,研究线性变换与矩阵的关系,矩阵对角化的方法并引入了线性变换的值域与核。
通过研究线性变换,要求学生在理解概念的基础上熟练掌握线性变换在某基下的矩阵的求解。
以线性变换在不同基下矩阵的关系,矩阵的对角化及不变子空间为重点。
线性变换在不同基下对应不同的矩阵,线性变换的值域与核,线性空间按特征值分解成不变子空间的直和,为本章难点。
1线性变换定义(2学时)
2线性变换的运算(3学时)
运算及运算规律;
线性变换多项式;
3线性变换矩阵(4学时)
线性变换在一组基下的矩阵:
1) 线性变换与其在一组基下矩阵的关系,2) 坐标变换公式;
线性变换在不同基下的矩阵:
1)
线性变换在不同基下的矩阵的关系,2)
相似矩阵的性质;
4特征值、特征向量的定义(4学时)
特征值、特征向量的求法;
特征多项式的性质;
5对角矩阵(3学时)
某组基下的矩阵为对角阵的线性变换;
相似对角阵及所对应基的求法;
6线性变换的值域与核(4学时)
值域与核的定义及其性质;
值域与核的求法;
7不变子空间(4学时)
不变子空间举例;
不变子空间与线性变换矩阵化简的关系;
V的分解;
8Jordan标准形介绍(1学时)
9最小多项式(1学时)
最小多项式及其基本性质;
最小多项式的求法;
利用最小多项式判别一个矩阵是否可对角化;
第八章λ-矩阵(6学时)
讨论复数域上任意矩阵的相似标准形推导过程以及λ-矩阵的有关理论。
掌握λ一矩阵的标准形唯一性和矩阵相似的条件。
化λ一矩阵成标准形及求不变因子。
Jordan标准形的理论推导为难点。
5、各章节教学时间分配进度安排:
1λ一矩阵(1学时)
2λ一矩阵在初等变换下的标准形(1学时)
3不变因子(1学时)
行列式因子;
标准形的唯一性;
不变因子;
λ一矩阵可逆、等价的充要条件;
4矩阵相似的条件(1学时)
5初等因子(1学时)
不变因子与初等因子的关系;
初等因子的求法;
6Jordan标准形的推导(1学时)
第九章欧几里得空间(15学时)
在线性空间引入内积,得到欧几里待空间,进而对欧几里得空间的结构及变换进行了讲解。
使学生掌握欧氏空间的度量性质,正交变换和对称变换。
以内积、标准正交基及利用正交变换化实对称矩阵为对角形为重点。
标准正交基的求法与用正交变换化实对称矩阵为对角形为难点。
1定义与基本性质(2学时)
一些概念;
度量矩阵;
2标准正交基(4学时)
标准正交基的存在性及求法;
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵;
3同构(1学时)
4正交变换(2学时)
5正交空间(1学时)
正交子空间的性质;
正交补;
6对称矩阵的标准形(2学时)
实对称矩阵与对称变换;
用正交矩阵化实对称矩阵为对角形;
二次型的化简及二次曲面分类;
7向量到子空间的距离,最小二乘法(2学时)
8酉空间介绍(1学时)
第十章双线性函数(4学时)
引入对偶空间,研究双线性函数和对称双线性函数在基下的度量矩阵。
使学生了解双线性出函数及有关问题。
以对偶空间、双线性函数及度量矩阵为重点。
难点为对非退化及对偶空间的理解。
1线性函数(1学时)
2对偶空间(1学时)
对偶空间,对偶基;
两组基的对偶基之间关系;
线性空间与其对偶空间的关系;
3双线性函数(1学时)
双线性函数及度量矩阵;
非退化双线性函数;
4对称双线性函数(1学时)
对称双线性函数;
二次齐次函数;
反对称双线函数。
三、教学参考书
1、张禾瑞、郝炳新的《高等代数》(第四版);
2、复旦大学的《高等代数》;
3、田孝贵等编的《高等代数》。
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- 高等代数 高等 代数 教学大纲 修订稿