北师版七年级数学下册教案第4章 三角形3 探索三角形全等的条件文档格式.docx
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,一条边为3cm;
(2)三角形的两个内角分别为30°
和50°
;
(3)三角形的两条边分别为4cm,6cm.
3.(教材P97“议一议”)如果给出三个条件画三角形,你能说出有哪几种可能的情况?
解:
三条边;
三个角;
两条边和一个角;
两个角和一条边.
4.(教材P98“做一做”)
(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°
60°
和80°
你能画出这个三角形吗?
把你画的三角形与同伴画出的进行比较,它们一定全等吗?
(2)已知一个三角形的三条边分别为4cm,5cm和7cm,你能画出这个三角形吗?
(1)三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.
(2)三边分别相等的两个三角形全等,简称为“边边边”或“SSS”.通常写成下面的格式:
在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(SSS).
5.2017年11月5日19时45分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星.这两颗卫星属于中国地球轨道卫星,是我国北斗三号第一、二颗组网卫星,开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代.如图所示,在发射运载火箭时,运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形,这样做的原因是:
三角形具有稳定性.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图,已知AB=DE,AC=DF,点E、C在直线BF上,且BE=CF.求证:
△ABC≌△DEF.
【互动探索】
(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等,同一直线上的一组边相等,可考虑用“SSS”证明△ABC≌△DEF.
【证明】因为BE=CF,
所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
【互动总结】
(学生总结,老师点评)判定两个三角形全等,先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法,然后再根据判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
【例2】如图,已知AB=AD,DC=BC,∠B与∠D相等吗?
为什么?
(引发学生思考)要判断角相等,可考虑用三角形全等证明,需添加辅助线AC构造三角形进行证明.
【解答】∠B=∠D.理由如下:
连结AC.
在△ADC和△ABC中,因为
所以△ADC≌△ABC(SSS),
所以∠B=∠D.
(学生总结,老师点评)要证∠B与∠D相等,可证这两个角所在的三角形全等,而现有的条件并不满足,可以考虑添加辅助线证明.
【例3】要使下列木架稳定,可以在任意两个点之间钉上木棍,各图至少需要钉上多少根木棍?
(引发学生思考)三角形具有稳定性,怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢?
【解答】如图1,四边形木架至少需要钉上1根木棍;
如图2,五边形木架至少需要钉上2根木棍;
如图3,六边形木架至少需要钉上3根木棍.
图1 图2 图3
(学生总结,老师点评)n边形沿一个顶点的对角线添加(n-3)条木棍后就具有稳定性.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.下列实际情景运用了三角形稳定性的是( C )
A.人能直立在地面上
B.校门口的自动伸缩栅栏门
C.古建筑中的三角形屋架
D.三轮车能在地面上运动而不会倒
2.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:
如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合,过角尺顶点C作射线OC.由做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS.
3.如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.
求证:
(1)∠D=∠B;
(2)AE∥CF.
证明:
(1)在△ADE和△CBF中,
所以△ADE≌△CBF(SSS),
所以∠D=∠B.
(2)因为△ADE≌△CBF,
所以∠AED=∠CFB.
因为∠AED+∠AEO=180°
∠CFB+∠CFO=180°
所以∠AEO=∠CFO,
所以AE∥CF.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
1.“边边边(SSS)”:
三边分别相等的两个三角形全等.
2.三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性.
练习设计
请完成本课时对应练习!
第2课时 “角边角(ASA)”和“角角边(AAS)”
1.掌握三角形全等的“ASA”“AAS”条件,并会进行简单的应用.
2.经历探索三角形全等“两角一边”的过程,体会通过操作、归纳获得数学结论的趣味.
应用三角形全等的“ASA”“AAS”条件.
探索三角形全等条件“两角一边”.
阅读教材P100~P101的内容,完成下面练习.
1.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.通常写成下面的格式:
在△ABC与△DEF中,
所以△ABC≌△DEF.
2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.通常写成下面的格式:
3.能确定△ABC≌△DEF的条件是( D )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠E
B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E
C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
4.如图,已知点F、E分别在AB、AC上,且AE=AF,请你补充一个条件:
∠B=∠C,使得△ABE≌△ACF.(只需填写一种情况即可)
教师点拨:
此题答案不唯一,还可以填AB=AC或∠AEB=∠AFC.
【例1】如图,已知AD∥BC,BE∥DF,AE=CF,求证:
△ADF≌△CBE.
(引发学生思考)回忆我们学过的判定三角形全等的条件,结合已知中的平行线段,可考虑利用“ASA”证明△ADF≌△CBE.
【证明】因为AD∥BC,BE∥DF,
所以∠A=∠C,∠DFA=∠BEC.
因为AE=CF,
所以AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△ADF和△CBE中,
所以△ADF≌△CBE(ASA).
(学生总结,老师点评)在“ASA”中,包含“边”和“角”两种元素,是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等,应用时要注意区分.在“ASA”中,“边”必须是“两角的夹边”.
【例2】如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F.若BF=AC,求证:
△ADC≌△BDF.
(引发学生思考)观察图形,要证△ADC≌△BDF,只需∠DAC=∠DBF即可.由在Rt△ADC与Rt△BDF中,利用等角的余角相等即可得∠DAC=∠DBF.
【证明】因为AD⊥BC,BE⊥AC,
所以∠ADC=∠BDF=∠BEA=∠BEC=90°
.
又因为∠AFE=∠BFD,
所以∠DAC=∠DBF.
在△ADC和△BDF中,
所以△ADC≌△BDF(AAS).
(学生总结,老师点评)在解决三角形全等的问题时,要注意挖掘题中的隐含条件,如:
对顶角、公共边、公共角等.
1.完成教材P102“习题4.7”第1~3题.
2.如图,点B在线段AD上,BC∥DE,AB=ED,∠A=∠E.求证:
BC=DB.
因为BC∥DE,
所以∠ABC=∠EDB.
在△ABC和△EDB中,
所以△ABC≌△EDB(ASA),
所以BC=BD.
1.“角边角(ASA)”:
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
2.“角角边(AAS)”:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
第3课时 “边角边(SAS)”
1.经历画图比较,得出判定三角形全等的“SAS”条件.
2.能够利用“SAS”判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由.
3.在探索三角形全等及其应用的过程中,能够进行有条理地思考并进行简单推理.
通过画图比较,得出“SAS”结论的过程及应用.
探索“边边角”能否用于判定全等.
阅读教材P102~P104的内容,完成下面练习.
1.
(1)两边及夹角,三角形两边分别为2.5cm,3.5cm,它们所夹的角为40°
你画的三角形与同桌画的一定全等吗?
(2)以2.5cm,3.5cm为三角形的两边,长度为2.5cm的边所对的角为40°
情况又怎样?
动手画一画,你发现了什么?
(1)与同桌画的是全等的(如图1).
(2)与同桌画的不一定全等(如图2).
图1
图2
总结:
(1)两边及其一边所对的角对应相等,两个三角形不一定全等;
(2)三角形全等的判定方法4:
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.通常写成下面的格式:
2.如图,已知BD=CD,要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD,则还需添加的条件是∠ADB=∠ADC.
【例1】如图,A、D、F、B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.求证:
△AEF≌△BCD.
(引发学生思考)由题意可知,如果∠A=∠B就可证△AEF≌△BCD.由AE∥BC可得∠A=∠B.
【证明】因为AE∥BC,所以∠A=∠B.
因为AD=BF,所以AD+DF=DF+FB,即AF=BD.
在△AEF和△BCD中,
所以△AEF≌△BCD(SAS).
(学生总结,老师点评)判定两个三角形全等时,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
【例2】如图,BC∥EF,BC=BE,AB=FB,∠1=∠2,若∠1=60°
求∠C的度数.
(引发学生思考)已知两组边对应相等,可考虑证明△ABC≌△FBE,从而得出∠C=∠BEF.又由BC∥EF可得∠BEF=∠1,进而解决问题.
【解答】因为∠1=∠2,所以∠1+∠ABE=∠2+∠ABE,即∠ABC=∠FBE.
在△ABC和△FBE中,
所以△ABC≌△FBE(SAS),
所以∠C=∠BEF.
又因为BC∥EF,
所以∠C=∠BEF=∠1=60°
(学生总结,老师点评)
(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具;
(2)学会挖掘题中的已知条件,如“公共边”“公共角”等.
1.如图,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件( A )
A.∠1=∠2 B.∠B=∠C
C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD
2.下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF的是( C )
A.AB=DE,∠B=∠E,BC=EF
B.AB=DE,∠A=∠D,AC=DF
C.BC=EF,∠B=∠E,AC=DF
D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
3.如图,已知AB=AD,若AC平分∠BAD,问AC是否平分∠BCD?
AC平分∠BCD.理由如下:
因为AC平分∠BAD,
所以∠BAC=∠DAC.
在△ABC和△ADC中,
所以△ABC≌ADC(SAS),
所以∠ACB=∠ACD,
所以AC平分∠BCD.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连结AE、CG.求证:
(1)AE=CG;
(2)AE⊥CG.
(1)观察图形,证明△ADE≌△CDG,即可得出AE=CG;
(2)结合全等三角形的性质和正方形的性质即可得AE⊥CG.
【证明】
(1)因为四边形ABCD、DEFG都是正方形,
所以AD=CD,GD=ED,∠CDA=∠GDE=90°
因为∠CDG=90°
+∠ADG,∠ADE=90°
+∠ADG,
所以∠CDG=∠ADE.
在△ADE和△CDG中,
所以△ADE≌△CDG(SAS),
所以AE=CG.
(2)设AE与DG相交于点M,与CG相交于点N.
由
(1)得△ADE≌△CDG,
所以∠CGD=∠AED.
因为∠GMN=∠DME,∠DEM+∠DME=90°
所以∠CGD+∠GMN=90°
所以∠GNM=90°
所以AE⊥CG.
(学生总结,老师点评)正方形的四条边相等,四个角都等于90°
利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质即可解决问题.
1.“边角边(SAS)”:
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
2.利用全等三角形的判定和性质可以证明角或线段相等.
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