棱锥习题典例docxWord格式.docx
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分析:
对照定义,构造反例.
如图所示,S-ABC是正三棱锥,两相邻侧棱所成之角相等,两相邻侧面所成之角相等.在SB,SC±
分别取异于B,C的点B”C”连AB”AC”则三棱锥S—ABQ均满足命题⑴、
(2)的条件,但显然不是正三棱锥,所以命题⑴、命题
(2)为假命题.命题(3)中,侧棱与底面所成之角相等,顶点在底面的射影是底面多边形的外心.外心不一定是中心,所以底面不一定是止多边形,因此命题(3)也是假命题.在命题(4)中,侧面与底面所成之角相等,顶点在底面的射影是底面多边形的内心,而内心不一定是中心,所以命题(4)也是假命题.因此选择答案D.
nn
三棱锥S-ABC中,ZASB=ZASC=y,ZBSC=—,且SA=a,SB=b,
SC=c,求三棱锥的体积.
选择ASBC作底面,使底面积和高都易于计算.
兀
VZASB=y,「.AS丄SB,
同理AS丄SC,
.•.AS丄平面SBC.
贝IJ=|sAX1SBxscxsinZBSC=^abc.
1.本题是利用三棱锥为四面体,无论哪个面作为底面都是三棱锥的性质计算其体
2.遇到三棱锥求体积,应分析条件,选择适当的面作底面,使底面积和高都易于计算,本题选择ASBC为底面,SA就是高,这样可以直接计算了.若三条侧棱两两垂
直,其长分别为a、b、c的三棱锥,不论选择哪个侧面作底面都方便,就是不能用原底面,否则高还需作出,底面面积还不易求.
例4
三棱锥的一条棱长为4,其余各棱长均为3,求它的体积.
求高和底面积f求体积.
解1:
如图,设三棱锥P-ABC中BC=4,其余棱长均为3,作P0丄底面ABC于0.
VPA=PB=PC=3,
.•.0为AABC的外心.
延长A0交BC于D,则AD丄BC
■/AD=V32~22
•••Sgc=*BC・AD=26
•/sinZBAD=^=4
AB3
/2厉4厉
..sinZBAC=sin2ZBAD=2*—*――———
339
p
解2
由解1所设,有BC丄平面PAD.
■/PA=3,PD=AD=V5
13I33
••-s沁=5阿•DE=討(酉2_(尹=才TH
=£
s^・BD+*SaMCD
i]3
=3SiAPD•BC=-•4=^11.
评注:
用体积分割法,我们不难证明:
若四面体ABCD中,过AB的截面
ABE丄CD
于E,则%砂
^SiABE-CD.这是求三棱锥体积的一种特殊方法.
如图,设正三棱锥S-ABC的每一条棱长均为3,若AD=1,AE=2,求三棱锥A-CDE的体积与三棱锥S-ABC的体积的比.
分别求出两个三棱锥的体积,再求体积的比.显然,三棱锥S-ABC的体积很好求,关键是要想方设法求出三棱锥A-CDE的体积,求ACDE的面积,再求A点到平面CDE的距离,但比较困难.于是想到重新选择底面.
求AACD的面积,再求E点到平面ACD的距离.这明显要简单些,因
1亠亠?
的面积是ZXABC面积的斗,而E点到査DC的距离是S到ABC距离的?
AACD33
从这里我们发现,能否不求出体积而直接求出其体积之比呢?
选择公共的顶点
S
这样两个三棱锥有相同的高,于是只要知道严就可以了.
解法1:
丄.丄.?
Va-cde^e-acd33赵32
===—
ABC^S-ABC•h9
3%cn
解法2:
c丄AE•AD•sinZ^A1vnn
氷皿=2=IX2=2
S^bIaS*AB*anZA3X3
2
认识三棱锥时,不要认为三棱锥的底面总是水平放置,高总是竖直放置的.三棱锥的题型之所以比较“活泼”,其主要原因就是它的任何一个面都可以看作是它的底,因而善于从不同角度去观察几何体,选择适当的底面,常常会给我们解决问题带来方便.
对于锥体,同底或等底面积的两个锥体的体积之比等于它们高的比,同高或等高的两个锥体的体积的比等于它们面积的比.
一般地,在三棱锥P-ABC中,A,,B,,G是三条侧棱上的点,则有
Vp-A]B]C]PA]•PBj•PC】
Vp_^c=PA-PB-PC
证明设ZAPB=a,作CH丄面PAB,H为垂足.设ZCPH=0,则
S(ipAB=2PA*PB*sina
CH=PC•sinP
-■-Vabc=vc-pab=訐3朋*CH=6PA*PB*PC*sina*sinP
同理
Vp_A]B]C]=+•PA]•PB]•PC]•ana•sin®
・Vp-ABc
.=
PA•PB•PCPAX•PB】•PC】
例6
已知:
正n棱锥(n》3,n^N)的高是a,底面边长为2a,试求侧面和底面所成的二面角、侧棱及斜高的长.
作出关键的图形,解直角三角形.
如图,设AB是正n棱锥的底面一边,P0是高,PM是斜高,则
PM丄AB,AM=MB
.•.0M丄AB,ZPMO为侧面与底面所成二面角的平面角.
../180°
.PO=a,AB=2a,ZAOM
n
z180°
・・OM=AMcotZAOM=acot
在RtAPOM中
VPO=OMtanZPMO
/a180°
.7180°
…tanZ^PMO=—=tan…Z^PMO=
180nn
a•cot
1on°
故侧面与底面所成二面角为——n
AM
180°
sin
止棱锥的高和底面内任意一条直线都垂直,所以高、斜高和斜高在底面上的射影(即底面的边心距)组成一个直角三角形,这个直角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角.同样,高、侧棱和侧棱在底面上的射影(即底面外接圆的半径)组成一个直角三角形,这个直角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角.
例7
如图,四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形,BA丄AD,CD丄AD,侧面PAD丄底面ABCD.
(1)求证平面PCD丄平面PAD.
(2)若AB=2,CD=4,侧面PBC是一边长等于10的正三角形,求对角线AC与侧面PCD所成的角的正弦函数值.
(1)两个平面垂直的判定定理一两个平面垂直.
(2)构造线面角一解直角三角形.
(1)证明:
•.•侧面PAD丄底面ABCD,面PADA面ABCD=AD
CD1AD,CDu平面ABCD
.•.CD丄平面PAD.
又TCDu平面PCD
平面PCD丄平面PAD
(2)解:
作AE丄PD于E,连结CE,
•.•平面PAD丄平面PCD
.•.AE丄平面PCD.
所以ZACE就是AC与平面PCD所成之角.在直角梯形BADC中.AB=2,BC=10,
CD=4,
AD2=BC2—(CD—AB尸=100—4=96
AC=VAD2+DC2=796+16=a/H2=4历
在RtACDP中,
PD=VPC2-CD2=7102-42=784
在RtAPAB中,
PA=^^Br-AB2=7102-22=7%
AP=AD,在等腰AAPD中,
AE=JaD?
-(岁2=J96-21=5,疗ezace=^=務=寥・
例8
已知正四棱锥侧棱和底面所成的角等于a,相邻两个侧面所成的角等于e
分析:
可以引进适当的参数,把cose,COSa表示出来,然后再证明结论成立.然而,引进不同的参数就有不同的解法•
方法1:
以底边长为参数一作出Za,ZB—解.AOEC,AOEB-以0E为桥梁得到a,0的关系式.
方法2:
以0B=x,OE=y为参数一用x,y表示,cosa,cosB—证明结论.
证法1:
如图.设正四棱锥P-ABCD底面边长为a,P0为高,连结AC,则ZPCO=a,作BE丄PC于E,连结DE,贝IJ
ABCE^ADCE
.-.ZCED=ZCEB=90°
ADE丄PC,PC丄平面BED,ZBED=B
R连结OE,则PC1OE,且ZOEB=y.
J2
在RtZXCOE中,OE=OCsina=予asina
在RtZXBOE中,OE=OB
P72P
cot—=—-a♦cot—
222
由
(1)、⑵得
两边平方得
sin=cot—
sin2a
=cot2
1—cos2a=
1+cosP
1-cosP
解得
cosP=
cos2Q
cos2CL-2
证法2:
如图(作图、证明同证明1)・设OB=x,OE=y,在RtZiCOE中,有sinQ=—,
x
・2c“•2c1yx~y
・・cosci=I—sinCl=l——=2——
xx
在RtZXEOB中,tan£
==—
2OEy
.al_tan2T7y2-x
・・COSp=h=r=~2
xy+x]+p
y
l+tan
22
x-y
x2=x-y=y-x
2cc2222c22丄2
cosCL-2x-yx-y-2xy+x
52
cos2a
X
•'
•COSp=—2—―-cosa一2
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