广东省梅州市五华县届高三第一次质检数学文试题.docx
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广东省梅州市五华县届高三第一次质检数学文试题
广东省梅州市五华县2019届高三上学期第一次质检
数学(理)试题
本试卷满分150分,考试时间150分,考试用时120分钟
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式:
锥体的体积公式:
(其中S是锥体的底面积,h是锥体的高)
球的表面积,体积公式:
(R是半径)
一、选择题:
本大题8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的。
1.已知集合,集合则为()
A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}
2.复数()
A.B.C.D.
3.如右图,是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A.
B.
C.
D.
4.“”是“函数有零点”的()
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
5.若曲线在点(0,1)处的切线方程是,则()
A.a=-1,b=-1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=1,b=1
6.已知向量·则是()
A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数
7.有5名班委进行分工,其中A不适合做班长,B只适合做学习委员,则不同的分工方案种数为()
A.18B.24C.60D.48
8.对于任意x,[x]表示不超过x的最大整数,如[1,1]=1[-2,1]=-3,定义R上的函数若,则A中所有元素的和为()
A.55B.58C.63D.65
二、填空题:
(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分,每小题5分,满分30分)
9.计算。
10.如图所示的流程图中,输出的结果是。
11.在等差数列中,有,则此数列的前13
项之和为。
12.展开式中,常数项是。
13.设变量x,y满足约束条件,则目标函数的
最小值为。
(二)选做题:
第14、15题为选做题,考生只能选做其中一题,两题全答的,
只计前一题的得分。
14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy中,已知曲线为参数)与曲线为参数,)有一个公共点在X轴上,则a= 。
15.(几何证明选讲选做题)如图3,PAB、PCD为⊙0的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则BD等于。
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)已知函数的最大值是1,其图像经过点。
(1)求的解析式;
(2)已知求的值
17.(本小题满分13分)
第30届夏季奥运会将于2019年7月27日在伦敦举行,当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。
将这20名志愿者的身高编成如上茎叶图(单位:
cm):
若身高在180cm以上(包括180cm)定义为“高个子”,身高在180cm以下(不包括180cm)定义“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。
(Ⅰ)如果用公层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽了5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?
(Ⅱ)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望。
18.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD,ACAD,PA=AD=2,AC=1。
(Ⅰ)证明PCAD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值
19.(本小题满分14分)设正项等比数列的首项前n项和为,且
(Ⅰ)求的通项;
(Ⅱ)求的前n项。
20.(本小题满分14分)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右项点D(2,0),设点。
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值。
21.(本小题满分14分)已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ若不等式在区间上恒成立,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)求证:
参考答案
一、选择题:
(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)
1.C2.A3.D4.C5.D6.A7.A8.B
3.【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积。
故选D
8.【解析】,,
,,,
,,
所以A中所有元素的和为58
二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分)
9、810、12011、5212、6013、-414、15、6
13、
【解析】做出不等式对应的可行域如图,
由得,由图象
可知当直线经过点时,
直线的截距最大,而此时
最小为。
14、【解析】曲线:
直角坐标方程为,与轴交点为;
曲线:
直角坐标方程为,其与轴交点为,
由,曲线与曲线有一个公共点在X轴上,知.
15、【解析】由得又
三、解答题:
16、解:
(1)依题意知A=1 .........1分
,又;.........3分
∴即 .........4分
因此 .........5分
(2),且
∴, .........9分
..........12分
17、解:
(Ⅰ)根据茎叶图,有“高个子”8人,“非高个子”12人,用分层抽样的方法,每
个人被抽中的概率是,所以选中的“高个子”有人,“非高个子”有
人.…3分
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件表示“没有一名“高
个子”被选中”, 则.因此,至少有一人是“高个子”的概率是.…………6分
(Ⅱ)依题意,所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为.
, , ,
因此,X的分布列如下:
X
…………11分
所以X的数学期望…………13分
18、解:
方法一:
(1)以为正半轴方向,建立空间直角左边系…………1分
则…………3分
…………6分
(2),设平面的法向量
则取…………10分
是平面的法向量…………11分
得:
二面角的正弦值为…………13分
方法二:
(1)证明,由平面,可得,…………2分
又由,故平面,…………5分
又平面,所以.…………6分
(2)解:
如图,作于点,连接,由,可得平面.因此,,从而为二面角的平面角.…………9分
在中,,由此得,………10分
由
(1)知,故在中,
………12分
因此,所以二面角
的正弦值为.……13分
19、解:
(Ⅰ)由得……2分
即
可得 ……………………4分
因为,所以解得, …………………………5分
因而 ……………………………………6分
(Ⅱ)因为是首项、公比的等比数列,故
…………………8分
则数列的前n项和…………9分
……………11分
前两式相减,得…………12分
即…………14分
20、解:
(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. ………………2分
又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为……………………3分
(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),
由
x=
得
x0=2x-1
y=
y0=2y-
……………………5分
由,点P在椭圆上,得, ……………………6分
∴线段PA中点M的轨迹方程是……………………7分
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1. ………………8分
当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(-,-), ………………10分
则,又点A到直线BC的距离d=, ………………11分
∴△ABC的面积S△ABC= ………………12分
于是S△ABC=
由≥-1,得S△ABC≤,其中,当k=-时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是. ………………………14分
21、解:
(Ⅰ),故其定义域为…………1分
…………2分
令>0,得;令<0,得…………3分
故函数的单调递增区间为单调递减区间为…………4分
(Ⅱ)
令,又,令解得…………6分
当x在内变化时,,变化如下表
x
)
+
0
-
↗
↘
由表知,当时函数有最大值,且最大值为所以,………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
…………11分
…………13分
即…………14分
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