最新中学数学竞赛中常用的几个重要定理资料.docx
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最新中学数学竞赛中常用的几个重要定理资料
数学竞赛中几个重要定理
1、梅涅劳斯定理:
如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线,则=1
2、梅涅劳斯定理的逆定理:
如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F,且满足=1,则D、E、F三点共线.
【例1】已知△ABC的重心为G,M是BC边的中点,过G作BC边的平行线AB边于X,交AC
边于Y,且XC与GB交于点Q,YB与GC交于点P.
证明:
△MPQ∽△ABC
【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆,分别与边AB,AC交于点D和E,分别过点D,E作BC的垂线,垂足依次为F,G,线段DG和EF交于点M.求证:
AM⊥BC
【例3】四边形ABCD内接于圆,其边AB,DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,过Q作该圆的两条切线,切点分别为E,F.求证:
P,E,F三点共线.
【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M,过M作AD的平行线分别交AB,CD于点E,F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心,以OM为半径的圆上一点.
求证:
∠OPF=∠OEP
【练习2】在△ABC中,∠A=900,点D在AC上,点E在BD上,AE的延长线交BC于F.
若BE:
ED=2AC:
DC,则∠ADB=∠FDC
塞瓦定理:
设O是△ABC内任意一点,AO、BO、CO分别交对边于N、P、M,则
塞瓦定理的逆定理:
设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上,且满足,则AN、BP、CM相交于一点.
【例1】BE是△ABC的中线,G在BE上,分别延长AG,CG交BC,AB于点D,F,
过D作DN∥CG交BG于N,△DGL及△FGM是正三角形.求证:
△LMN为正三角形.
【例2】在△ABC中,D是BC上的点=,E是AC中点.AD与BE交于O,CO交AB于F
求四边形BDOF的面积与△ABC的面积的比
【练习1】设P为△ABC内一点,使∠BPA=∠CPA,G是线段AP上的一点,直线BG,CG分别交边AC,AB于E,F.求证:
∠BPF=∠CPE
【练习2】在△ABC中,∠ABC和∠ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点,且AD平分∠BAC,过点D作垂线DP⊥AB于P,DQ⊥AC于Q,CP于BQ相交于K.求证:
AK⊥BC
托勒密定理:
四边形ABCD是圆内接四边形,则有AB·CD+AD·BC=AC·BD
【例1】已知在△ABC中,AB>AC,∠A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点E,过E作EF⊥AB,垂足为F.求证:
2AF=AB-AC
【例2】经过∠XOY的平分线上的一点A,任作一直线与OX及OY分别相交于P,Q.
求证:
+为定值
【例3】解方程+=
【练习1】设AF为⊙O1与⊙O2的公共弦,点B,C分别在⊙O1,⊙O2上,且AB=AC,∠BAF,∠CAF的平分线交⊙O1,⊙O2于点D,E.求证:
DE⊥AF
【练习2】⊙O为正△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,在弧BC上任取一点P(与B,C不重合).设E,F分别为△PAB,△PAC的内心.证明:
PD=∣PE-PF∣
西姆松定理:
点P是△ABC外接圆周上任意一点,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,D、E、F为垂足,则D、E、F三点共线,此直线称为西姆松线.
【例1】过正△ABC外接圆的弧AC上点P作PD⊥直线AB于D,作PE⊥AC于E,作PF⊥BC于F.
求证:
+=
【练习1】设P为△ABC外接圆周上任一点,P点关于边BC,AC所在的直线的对称点分别为P1,P2.求证:
直线P1P2经过△ABC的垂心.
三角形的五心
内心
【例1】设点M是△ABC的BC边的中点,I是其内心,AH是BC边上的高,E为直线IM与AH的交点.求证:
AE等于内切圆半径r
【例2】在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=5,∠A的平分线AD交△ABC的外接圆于K.O,I分别为△ABC的外心,内心.求证:
OI⊥AK
【练习】在△ABC中,∠BAC=300,∠ABC=700,M为形内一点,∠MAB=∠MCA=200
求∠MBA的度数.
外心
【例1】锐角△ABC的外心为O,线段OA,BC的中点为M,N,∠ABC=4∠OMN,
∠ACB=6∠OMN.求∠OMN
【例2】在等腰△ABC中,AB=BC,CD是它的角平分线,O是它的外心,过O作CD的垂线交BC于E,再过E作CD的平行线交AB于F,证明:
BE=FD.
【练习】1、⊙O1与⊙O2相交于P,Q,⊙O1的弦PA与⊙O2相切,⊙O2的弦PB与⊙O1相切.
设△PAB的外心为O,求证:
OQ⊥PQ
重心
【例1】在△ABC中,G为重心,P是形内一点,直线PG交直线BC,CA,AB于F,E,D.
求证:
++=3
【例2】已知△ABC的重心G和内心I的连线GI∥BC,求证:
AB+AC=2BC
【练习】1、设M为△ABC的重心,且AM=3,BM=4,CM=5,求△ABC的面积.
2、设O是△ABC的外心,AB=AC,D是AB的中点,G是△ACD的重心,求证:
OG⊥CD
垂心
三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.
【例1】△ABC的外接圆为⊙O,∠C=600,M是弧AB的中点,H是△ABC的垂心.
求证:
OM⊥OH
【例2】已知AD,BE,CF是锐角△ABC的三条高,过D作EF的平行线RQ,RQ分别交AB和AC于R,Q,P为EF与CB的延长线的交点.证明:
△PQR的外接圆通过BC的中点M.
旁心
【例1】在锐角∠XAY内部取一点,使得∠ABC=∠XBD,∠ACB=∠YCD.
证明:
△ABC的外心在线段AD上.
【例2】AD是直角△ABC斜边BC上的高(AB △AI1I2的外接圆⊙O分别交AB,AC于E,F,直线FE与CB的延长线交于点M. 证明: I1,I2分别是△ODM的内心与旁心. 相交两圆的性质与应用 【例1】证明: 若凸五边形ABCDE中,∠ABC=∠ADE,∠AEC=∠ADB.证明: ∠BAC=∠DAE 【例2】已知⊙O1与⊙O2相交于A,B,直线MN垂直于AB且分别与⊙O1与⊙O2交于M,N,P是线段MN的中点,Q1,Q2分别是⊙O1与⊙O2上的点,∠AO1Q1=∠AO2Q2求证: PQ1=PQ2 【练习】梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,K,M分别是腰AD,CB上的点,∠DAM=∠CBK,求证: ∠DMA=∠CKB 其他的一些数学竞赛定理 1、广勾股定理的两个推论: 推论1: 平行四边形对角线的平方和等于四边平方和. 推论2: 设△ABC三边长分别为a、b、c,对应边上中线长分别为ma、mb、mc 则: ma=;mb=;mc= 2、三角形内、外角平分线定理: 内角平分线定理: 如图: 如果∠1=∠2,则有 外角平分线定理: 如图,AD是△ABC中∠A的外角平分线交BC的延长线与D, 则有 3、三角形位似心定理: 如图,若△ABC与△DEF位似,则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P 4、正弦定理、在△ABC中有(R为△ABC外接圆半径) 余弦定理: a、b、c为△ABC的边,则有: a2=b2+c2-2bc·cosA; 五、创业机会和对策分析b2=a2+c2-2ac·cosB;c2=a2+b2-2ab·cosC; 送人□有实用价值□装饰□ 据统计,上海国民经济持续快速增长。 03全年就实现国内生产总值(GDP)6250.81亿元,按可比价格计算,比上年增长11.8%。 第三产业的增速受非典影响而有所减缓,全年实现增加值3027.11亿元,增长8%,增幅比上年下降2个百分点。 §8-4情境因素与消费者行为2004年3月20日 (二)创业弱势分析 (3)个性体现5、欧拉定理: △ABC的外接圆圆心为O,半径为R,内切圆圆心为I,半径为r,记OI=d,则有: d2=R2-2Rr. (二)大学生对DIY手工艺品消费态度分析 标题: 大学生“负债消费“成潮流2004年3月18日 我们熟练的掌握计算机应用,我们可以在网上搜索一些流行因素,还可以把自己小店里的商品拿到网上去卖,为我们小店提供了多种经营方式。 2、传统文化对大学生饰品消费的影响 6、巴斯加线定理: 圆内接六边形ABCDEF(不论其六顶点排列次序如何),其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线.
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