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)
C[解析1根据题意得,
兀>
(log2)2-l>
0,解得
x>
〜1故选C.
2或xV/.
U(2,+oo)D.(0,|U[2,+s)
B2反函数
6、函数y=J(x)的图像与函数y=g(兀)的图像关于直线x+y=0对称,则y=flx)的反函数是()
A.y=g(x)B.y=g(—x)
C.y=~g(x)D.y=—g(~x)
D[解析]设(丸,yo)为函数y=/U)的图像上任意一点,其关于直线兀+)=0的对称点为(一旳,一也).根据题意,点(一yo,—xo)在函数y=g(x)的图像上,又点(也,为)关于直线y=兀的对称点为Ob,兀0),且仇,必)与(一为,一必)关于原点对称,所以函数y=/U)的反函数的图像与函数y=g(兀)的图像关于原点对称,所以一y=g(—兀),即y=—g(—兀)・
B3函数的单调性与最值
8、设7U)是定义在R上的周期为2的函数,当炸[一1,1)时,沧)=
—4x2+2,—IWxvO,
x,OWxvl,
则彳1)=
1设函数人兀)的定义域为D,则“人兀)GA”的充要条件是“WWR,3a^D^f{d)=b^;
2函数JIQGB的充要条件是/U)有最大值和最小值;
3若函数/U),g(x)的定义域相同,且g(x)WB,则/U)+g(x)年B;
X
4若函数f(x)=a\n(x+2)—2,qER)有最大值,则J(x)eB.
其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)
①③④[解析]若/WEA,则九)的值域为R,于是,对任意的XR,—定存在aED,使得他i)=b,故①正确.
取函数/(a)=x(-Kx<
1),其值域为(-1,1),于是,存在M=l,使得人兀)的值域包含于[一M,=11,但此时./U)没有最大值和最小值,故②错误.
当f(x)^A时,由①可知,对任意的bWR,存在使得Ha)=b,所以,当g(x)^B吋,对于函数/W+g(x),如果存在一个正数M,使得/W+g(X)的值域包含于[—M,M],那么对于该区间外的某一个b()WR,—定存在一个d()w£
>
使得y(d())=/7—g(Q()),即y(d())+g(d())=/?
()年[―M,M],故③正确.
对于Xx)=dn(x+2)+-V^Y(x>
-2),当d>
0或。
<
0时,函数几无)都没有最大值.要
使得函数/U)有最大值,只有a=0,此时yw=齐7(兀〉一2).
易知/(兀)丘|,所以存在正数M=g,使得/U)W[—M,M1,故④正确.
11、已知函数J(x)=e-a^-bx-lf其中d,bWR,e=2.71828…为自然对数的底数.⑴设攻兀)是函数yw的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若夬1)=0,函数yu)在区I'
可(0,1)内有零点,求a的取值范围.
解:
⑴由fix)=e—OK1—bx—1,得g(x)=f(x)—^—2ax~b.
所以^x}=e-2a.
当兀e[0,1]时,g‘a)W[l-2a,e-2a].
当aW*时,g©
)30,所以g⑴在[0,1]±
单调递增,
因此Mr)在[0,1]上的最小值是规0)=1—缺
当a纹时,gQ)W0,所以g(x)在[0,1]上单调递减,
因此g(0在[0,1]上的最小值是g
(1)=e—2g—b;
p
当㊁5<
迈时,令gTx)=O,得x=ln(2d)W(0,1),所以函数g(x)在区间[0,ln(2d)]上单调递减,在区I'
可(ln(2a),1]上单调递增,
于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=la—2aln(2a)—b.
综上所述,当dW*时,gd)在[0,1]上的最小值是g(0)=l—b;
当押<
|时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(}n(2a))=2a-2a\n(2a)~b;
当卓时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(l)=e-2a—b・
(2)设xo为沧)在区间(0,1)内的一个零点,
则rti.A0)=M)=0可知,./W在区间(0,也)上不对能单调递增,也不可能单调递减.
则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.
故g(x)在区间(0,心)内存在零点兀|・
同理以朗在区间(心,1)内存在零点兀2・
故£
(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.
由⑴知,当gW*时,g(x)在[0,1]上单调递增,故曲:
)在(0,1)内至多有一个零点;
当心号时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.
此时g(x)在区间[0,ln(2«
)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.
因此兀00,ln(2a)],x2e(ln(2«
),1),必有
g(0)=l—b>
0,g(l)=e-2a—Q0.
由7
(1)=0得d+b=e—1<
2,
则g(0)=a—e+2>
0,g(l)=1—a>
解得e—2<
tz<
l.
当e-2svl时,g(x)在区间[0,1|内有最小值g(ln(2d)).
若g(ln(2a))M0,则ga)NO(0O,1]),
从而7U)在区间[0,1]内单调递增,这与几0)=川)=0矛盾,所以g(ln(2a))<
0.
又g(0)=a—e+2>
故此时g⑴在(0,ln(2d))和(ln(2a),1)内各只有一个零点q和疋・
由此可知.心)在[0,兀J上单调递增,在(兀],功上单调递减,在1]上单调递增.
所以夬讪0)=0,/te)勺⑴=0,
故夬兀)在(七,疋)内有零点.
综上可知,a的取值范围是(e-2,1).
B4函数的奇偶性与周期性
13、已知/U),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且(兀)=丘+/+1,则./U)+g(l)=()
A.-3B.-1C.1D.3
C[解析]因为人兀)是偶函数,g(兀)是奇函数,
所以y(i)+^(i)=y(-i)-^(-i)=(-i)3+(-i)2+i=i.
14、设函数/W,gd)的定义域都为R,且7U)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()
A./U)g(x)是偶函数
B.|/W|g(兀)是奇函数
c.ywig(兀)|是奇函数
D.阳)g(兀)|是奇函数
C[解析1由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之枳为奇函数,故正确选项为C.
15、己知偶函数ZU)在[0,+8)单调递减,人2)=0,若人兀一1)>
0,则x的取值范圉是
•
(一1,3)[解析]根据偶函数的性质,易知fix)>
0的解集为(一2,2),若夬兀一1)>
0,则一2<
x-l<
2,解得一l<
x<
3.
B5二次函数
16、若函数夬x)=cos2x+asinx在区间(*,今)是减函数,则a的取值范围是.
(―8,2][解析]/(x)=cos2x+asinx=—2sin2x+6/sinx+1,令sinx=t,则/(x)=—
2,+a/+l・因为兀丘备,所以圧(+,1),所以«
/W=—2,+m+l,/丘岸,1)因为几丫)=cos2x+asinx在区间(*,剳是减函数,所以fix)=~2t2+at+\在区间(£
,1)上是减函数,
又对称轴为兀=手,••冷W*,所以aW(—°
°
,2J.
B6指数与指数函数
AB
CD
图1-2
B[解析]由函数y=lo&
&
的图像过点(3,1),得a=3.
选项A中的函数为y=(£
f,则其函数图像不正确;
选项B中的函数为则其函数图像正确;
选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;
选项D中的函数为y=10g3(-X),则其函数图像不正确.
18、已知函数/x)=5W,g(x)=ax1-x(a^R),若Mg⑴]=1,则0=()
A.1B.2C.3D.-1
A[解析]g(l)=a-l,由/[g⑴]=1,得5刊=1,所以|°
一1|=0,故a=l.
19^已知口=2—*,/?
=log2|,
c=log23,则()
A.a>
b>
cB.a>
c>
b
C.c>
a>
bD.c>
a
C[解析]因为0<
«
=2—1<
1,b=log2*0,c=log||>
log||=l,所以c>
b.
20、设集合A={x||x-l|<
2},B={y\y=2\兀曰0,2]},则AAB=()
A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)
C[解析1根据己知得,集合A={x|-l<
3},B={):
|lWyW4},所以AQB=[x\\^x<
3}.故选C・
21、已知实数兀,y满足/<
”(0<
d<
l),则下列关系式恒成立的是()
A.B.ln(x2+l)>
ln(/+l)
C.sinx>
sinyD.x3>
y3
D[解析]因为6/<
av(0<
1),所以x>
yf所以sinx>
siny,ln(x2+l)>
ln^y2+1),都不i定正确,故选D.
x十1y十1
22、下列函数中,满足"
沧+刃=/(兀)•〃)”的单调递增函数是()
a.妙=冷b.
c../«
=({)D.Xx)=3A
B[解析|由于J(x+y)=j(x)fiy),故排除选项A,C.又=为单调递减函数,所以排除选项D.
23、己知4"
=2,lgx=o,则x=.
.y[W[解析]由4"
=2,得a=£
代入lgx=a,得lgx=|,那么x=l()|=y[W
B7对数与对数函数
24若等比数列{琳}的各项均为正数,且。
]画1+砂12=2上则Ind!
|+lna2Ina2o
50[解析]本题考查了等比数列以及対数的运算性质•Ta}为等比数列,且Gog+a9Qi2=2e‘,
ci\(}Ci\|+cigci]2=\()cii]=2e‘,Qi()di]=e"
•Mndi+lnInt/2o=1n(«
i***^20)=
ln(^](/7n)10=ln(e5)I0=lne〉°
=50.
27、已知a=2—*,Z?
c=log23,贝“)
C[解析]因为0s=2—#V1,b=log2*vO,c=log||>
28函数/(x)=log|(x2—4)的单调递增区间为()
A.(0,+°
B.(—8,0)
C.(2,+8)
D.(—8,—2)
兀2—4>
D[解析]要使.心)单调递增,需有c解得2.
兀vO,
g(x)=log“r的图像"
J能是(
29、在同一直角坐标系中,函数Xx)=Z(x>
0),
图1-2图1-2
D[解析J只有选项D符合,此时0<
€7<
1,幕函数/U)在(0,+8)上为增函数,且当兀丘(0,1)时,夬兀)的图像在直线),=兀的上方,对数函数g(x)在(0,+°
)上为减函数,故选
30>
函数yCr)=log2&
・lo畝(2%)的最小值为•
-鲁I解析]/W=log2眾・logV2(2x)=|log2x•2log2(2x)=log2x・(1+log2x)=(log2x)2+10gM=(10g2兀+*)—£
所以当兀=¥
时,函数夬兀)取得最小值一£
B8幕函数与函数的图像
31、已知函数沧)是定义在R上的奇函数,当兀$0吋,沧)=*(*—曲+*—2曲一3/).若
▽炸R,(兀),则实数a的取值范围为()
■1
r
6_
B.
「1
~y
3_
A.
C.
「—逅呵-6,6」
L3,3」
B[解析]
因为当兀2()时,J(x)=^(|x—6Z21+|x—2a21—3f/2),所以当0WxW/时,/(兀)
乳+2心2—兀一3d?
)=—兀;
当cr<
2cT吋,
7W=^(x—a2+2a2_兀一3,)=_/;
当x^lcT时,
fix)=^(x~a2+x~2cr—3/)=兀一3/
—x,OWxW/,
综上,yw=<
—j,c^<
2cr,
x~3cTjx^2a2.
因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数yu)在r上的人致图象如下,
观察图象可知,要使VMR,yu—l)WAx),则需满足2/—(一4/)0|,解得-晋WdW誓•故选B.
32、已知函数沧)=|兀一2|+1,g(x)=kx,若方程(兀)有两个不相等的实根,贝9实数R的取值范围是()
A.(0,B.(*,1)C.(1,2)D.(2,+呵
B[解析1画出函数心)的图像,如图所示.若方程有两个不相等的实数,
B9函数与方程
33、已知函数X-r)=^+eA—^(x<
0)与g(x)=/+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,
则a的取值范围是()
A.(—8,
B.(—8,&
则有/H2+e/z,—^=w2+1n(/?
?
+«
),解得m+a=ee即a=ee/z,——m(m>
0),可得
gW(一8,-^e).
34、已知函数/W=|/+3x|,xER.若方程J(x)-a\x-l\=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为•
(0,1)U(9,+8)懈析]在同一坐标系内分别作出y=/(x)与尸处一1|的图像如图
所示.当y=a\x~\\与y=/W的图像相切时,由’整理得^+(3~a)x+a
=0,则4=(3—a)?
—4a=/—10q+9=0,解得a=\或a=9.故当y=a|x—1|与y=/U)的图像有四个交点吋,Osvl或q>
9.
35、已知函数fix)=x3+cvr+bx+cf且0勺(一1)=夬一2)=人一3)W3,贝9()
A.cW3B.3<
cW6
C.6vcW9D.c>
9
[—1+a~b+c=—8+4a—2b+c,
C[解析]由LF—2)=AT)得[_8+4叶2用一27+9「3卄广
_7+3d_b=0,\a=6f
*,3则Av)=/+6f+llx+c,而0彳一1)W3,故0v—6+cW3
\9~5a+b=0[b=\\,
••.6vcW9,故选C.
B10函数模型及其应用
36、某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为“则该市这两年生产总值的年平均增长率为()
p+q
2
(p+1)
(g+1)—1
D[解析]设年平均增长率为X,则有(1+“)(1+q)=(l+兀尸,解得兀=yj(1+〃)~~—
37、如图1・2,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点4的水平距离10千米处
开始下降,己知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为
1
73.234
y=U5x~5XB*y=U5x'
~5x
D・尸_醫+条
[解析]设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+cl.因为函数的图像经过点(0,
0),所以〃=0,所以y=a^+b^+cx.又函数过点(一5,2),(5,一2),则该函数是奇函数,
故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(一5,2)得一1250—5。
=2.又由该函数的图像在点(一5,
2)处的切线平行于兀轴,#=3o?
+c,得当兀=_5时,w=75a+c=0.联立
—125a—5c=2,
75d+c=0,
a=n5f1〈3
3故该三次函数的解析式为尸越一訊
c=_5-
B11导数及其运算
38、设函数y(x)=l+(l+a)x-?
-x3,其中a>
(1)讨论/U)在其定义域上的单调性;
(2)当%e[0,1]时,求几丫)取得最大值和最小值时的x的值.
(1)/U)的定义域为(一8,+oo),
f(x)=l+a—2x—3*
令/(沪0,得妒-1-怦,
—1+y)4+3a
兀2=Q,兀1<
%2,
所以才⑴=—3(兀一兀|)(x—也)•
当X<
X\或兀>
兀2时,/(x)<
o;
当Xi<
r<
V2时,f(x)>
故沧)在(一OO,丄軒马和(T+f莎+oo)内单调递减,
(2)因为a>
0,所以%1<
0,兀2>
1当心4时,兀2$1.
由⑴知,/U)在[0,1]上单调递增,
所以/U)在尤=0和x=\处分别取得最小值和最大值.
2当0SV4吋,x2<
由⑴知,.心)在[0,也]上单调递增,在血,1]上单调递减,
又夬0)=1,/(l)=a,
所以当0SV1时,他)在尸1处取得最小值;
当0=1时,夬兀)在x=0和x=\处同时取得最小值;
当l<
4时,/(兀)在x=()处取得最小值•
39、设实数c>
0,整数/?
1,
(1)证明:
当x>
—1且兀H0时,(\+x/>
\+px;
证明:
(1)用数学归纳法证明如下.
1当p=2时,(1+兀)2=1+2x+/>
l+2%,原不等式成立.
2假设p=k(k22,RUN)时,不等式(l+x)*>
l+也成立.
当p=k+\时,(1+x/+1=(1+x)(1+x/>
(l+jc)(1+Ax)=1+(jt+1)x+H2>
1+伙+1)尤.所以当p=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,当Q—1,兀工0时,对一切整数〃>
1,不等式(l+xf>
\+px均成立.
(2)方法一:
先用数学归纳法证明an>
A
①当”=1时,由题设矢口成立.
丄
②假设n=k(k2\,胆N*)时,不等式鸟>』成立.
由5+\=卩p%+》加"
易知色>0,«
eN\
当”=P+1时,_+-atip=
gPP
1+盼1)
由依>¥
>0得-1<-*鴉-1)<0.
由⑴屮的结论得(弩卜[1+狀-1)卜+p•黠T)裁因此加十1>C,即以+1>扌,
所以当n=k+1时,不等式Q"
>扌也成立.
综合①②可得,对一切正整数弘不等式“>*均成立.再由蛙p+KH可得蛙<「
即d”十
■、1*综上所述,a“>
a”+]>
»
nWN.
方法二:
设/U)=Pp\+討"
,则PMc,
所以加=宁+訣-加-巳1书>0.由此可得,y(x)在[卡,+°
)上单调递增,因而,当qc*吋,
2=口。
1+£
誌一"
=0]1
①当“=1时,由如>*>0,即冰>c可知
5,并且°
2=心])>专,从而可得di>a2>c^
故当/?
=1时,不等式a”>a“+i>扌成立.
②假设n=k(k^1,£
丘N"
)时,不等式以>如]〉卡成立,则当n=k+1时,用必/(如])初扌),即有以+i>以+2>扌,
所以当n=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,对一切正整数弘不等式“>偽+】>卡均成立.
40、已知函数f{x)=e-cix(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=J{x)在点A处的切线斜率为一1.
(1)求g的值及函数/U)的极值;
(2)证明:
0时,?
ev;
(3)证明:
对任意给定的正数c,总存在必,使得当xe(Xo,+<
-)时,恒有x2<
ce"
.
方法一:
⑴由/U)=e”一ar,得f\x)=^—a.
又广(0)=1—a=—1,得a=2.
所以Xx)=ev-2x,广⑴=ex-2.
令广(兀)=0,得兀=ln2.
当x<
ln2时,广(兀)<
0,夬x)单调递减;
当Qin2时,广(兀)>
0,./U)单调递增.
所以当x=ln2时,7U)取得极小值,
且极小值为2)=eln2-21n2=2—In4,
y(x)无极大值.
令g(x)=er—x2,则g\x)=^—2x.
由
(1)得,g'
(x)=/U)2/(ln2)=2—ln4>
故g(x)在R上单调递增,又g(0)=l>
所以当x>
0时,g(x)>
g(0)>
0,即x2<
eA.
(3)证明:
①若cM1,则e'
Wce'
.又由
(2)知,当x>
0时,x2<
故当x>
0时,x2<
cev.
取兀o=O,当xG(兀(),4-8)时,恒有x2<
cev.
②若0<
c<
l,令匸\1,要使不等式x2<
cex成立,只要成立.
而要使ex>
kx2成立,则只要x>
ln(A.v2),只要x>
21nx+lnk成立
2x—2
令h(x)=x—2\nx—Ink,则h\x)=1—一=—・
xx
所以当兀>
2时,丹(兀)>
0,力(兀)在(2,+8)内单调递增.
取兀()=16Q16,所以力(兀)在(x(),+8)内单调递增.
又/心())=16P—21n(16R)—InR=8伙一In2)+3伙一InQ+5R,
易知fc>
lnfc,Qin2,5fc>
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