小学数学奥数解题技巧2最值规律Word文档下载推荐.docx

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6=24；

　　4.5+5.5=10→4.5×

5.5=24.75；

　　5+5=10→5×

5=25；

　　5.5+4.5=10→5.5×

4.5=24.75；

　　9+1=10→9×

1=9；

　　…………→…………

　　由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；

只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。

　　三个或三个以上的数也是一样的。

由于篇幅所限，在此不一一举例。

　　由“积最大规律”，可以推出以下的结论：

　　结论1所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。

　　例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。

　　例题：

用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？

　　解设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得

　　（a+b）×

2=24

　　即a+b=12

　　由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为

　　6×

6=36（平方厘米）。

　　（注：

正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。

）

　　结论2在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。

用12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？

　　解设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得

　　（a+b+c）×

4=12

　　即a+b+c=3

　　由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。

最大体积为

　　1×

1×

1=1（立方米）。

（2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。

　　例如，将自然数8拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。

怎么办呢？

　　我们可将各种拆法详述如下：

　　分拆成8个数，则只能是8个“1”，其积为1。

　　分拆成7个数，则只能是6个“1”，1个“2”，其积为2。

　　分拆成6个数，可得两组数：

（1，1，1，1，1，3）；

（1，1，1，1，2，2）。

它们的积分别是3和4。

　　分拆成5个数，可得三组数：

（1，1，1，1，4）；

（1，1，1，2，3）；

（1，1，2，2，2）。

它们的积分别为4，6，8。

　　分拆成4个数，可得5组数：

（1，1，1，5）；

（1，1，2，4）；

（1，1，3，3）；

（1，2，2，3）；

（2，2，2，2）。

它们的积分别为5，8，9，12，16。

　　分拆成3个数，可得5组数：

（1，1，6）；

（1，2，5）；

（1，3，4）；

（2，2，4）；

（2，3，3）。

它们的积分别为6，10，12，16，18。

　　分拆成2个数，可得4组数：

（1，7）；

（2，6）；

（3，5）；

（4，4）。

它们的积分别为7，12，15，16。

　　分拆成一个数，就是这个8。

　　从上面可以看出，积最大的是

　　18=3×

3×

2。

　　可见，它符合上面所述规律。

　　用同样的方法，将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和，可发现

　　6=3+3时，其积3×

3=9为最大；

　　7=3+2+2时，其积3×

2×

2=12为最大；

　　14=3+3+3+3+2时，其积3×

2=162为最大；

　　由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。

　　【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。

用字母表达，就是如果a1×

an=c（c为常数），

　　那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an有最小值。

　　例如，a1×

a2=9，

9=9→1+9=10；

　　3×

3=9→3+3=6；

　　由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；

当两数差为0时，它们的和为最小。

用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？

　　解设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得a×

b=16。

　　要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b要最小。

根据“和最小规律”，取

　　a=b=4（分米）

　　时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。

　　推论由“和最小规律”可以推出：

在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。

　　例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；

而

　　的周长小于正方形的周长。

　　【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。

为0.433×

6=2.598（平方分米）。

方形的面积。

　　推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：

　　在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。

　　例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；

而周长为4分米的圆，

于和它周长相等的正方形面积。

　　【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。

　　例如，表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。

而表面积为8平方厘米

长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。

显然，正方体体积大于正四面体体积。

　　推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：

　　在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。

　　例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；

表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；

而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。

可见上面的结论是正确的。

　　【排序不等式】对于两个有序数组：

　　a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn，

　　则a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）

　　T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（乱序）≥a1b

　　n+a2bn-1+……+a>

nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n

　　为b1、b2、……、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn时，式中等号成立。

）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。

例题：

设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。

水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。

问：

如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？

这个总费时至少是多少分钟？

　　解设每人水桶注满时间的一个有序数组为：

1，2，3，……，9，10。

　　打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成

　　1，2，3，……，9，10。

　　根据排序不等式，最小积的和为倒序，即

10+2×

9+3×

8+4×

7+5×

6+6×

5+7×

4+8×

3+9×

2+10×

1

　　=（1×

6）×

2

　　=（10+18+24+28+30）×

　　=220（分钟）

　　其排队顺序应为：

根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。