因式分解全章教案和练习题.docx
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因式分解全章教案和练习题
因式分解全章教案
一,概念理解:
多项式的因式分解,就是把一个多项式化为几个整式的积.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.
二,因式分解的方法:
(1)提公因式法
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式,m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式
例题讲解:
(1)2ab2+4abc
(2)-m2n3-3n2m3
(3)2x(x+y)2+6x2(x+y)2
学生练习:
1、3x2+6=
2、7x2-21x=
3、8a3b2-12ab2c+ab=
4、-24x3-12x2+28x=
5、-5ab2+20a2b-15ab3=
6、am-am-1=()(a-1)
7、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab,那么另一个因式是()
8、多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是()
9、-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.1410、30.5×768.3-768.3×20.5
拓展与探究
1、已知n为非零的自然数,先将2n+4-2n分解因式,再说明2n+4-2n能否被30整除.
2、若a=-2,a+b+c=-2.8,求a2(-b-c)-3.2a(c+b)的值。
3、说明能被45整除。
(2)运用公式法。
(1)a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
下面再补充几个常用的公式:
(适度讲解)
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数.
例题讲解:
1、1-x2
2、若x2+mx+25是一个完全平方式,则m的值是( )
3、一块边长为a的正方形广场,扩建后的正方形边长比原来长2米,问扩建后的广场面积增加了多少?
学生练习:
1、x-42、x2-x+3、9m2-6m+2n-n2
4、多项式a2+4ab+2b2,a2-4ab+16b2,a2+a+,9a2-12ab+4b2中,能用完全平方公式分解因式的有几个?
5、已知正方形的面积是(x>0,y>0),利用分解因式,写出表示该正方形的边长的代数式。
6、一个多项式分解因式的结果是,那么这个多项式是()
7、在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为,而乙同学因看错了常数项而将其分解为,试将此多项式进行正确的因式分解。
8、已知,求的值。
9、大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米,它们的面积相差960平方厘米。
求这两个正方形的边长。
(3)十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q,a+b=p的a,b,如有,则对于一般的二次三项式寻找满足
a1a2=a,c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1,a2,c1,c2,如有,则
例题讲解:
a2-a-6
学生练习:
1、2、
3、4、
5、若x2+mx+n能分解成(x+2)(x–5),则m=,n=;
6、若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解,则m=;
7、若x2+kx-6有一个因式是(x-2),则k的值是;
8、关于X的二次三项式x2-4x+c能分解成两个整系数的一次的积式,那么c可取下面四个值中的( )
(A)-8(B)-7(C)-6(D)-5
(4)换元法
例题讲解:
1、设(x+y)(x+2+y)-15=0,则x+y的值是( )
2、分解因式x6+14x3y+49y2.
学生练习:
1、(x+y)(x+y-1)-12
2、
3、(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2
4(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
(5)拆项法和添项法
例题讲解:
分解因式:
x3-9x+8
x2+2ax-3a2
(6)双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如:
分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为:
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)
因式分解的应用
知识点一:
用因式分解法求某些代数式的值和进行简单多项式的除法
例题讲解:
1、不论a为何值,代数式-a2+4a-5值( )
(A)大于或等于0 (B)0 (C)大于0 (D)小于0
2、若
4、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b=。
5、是△ABC的三边,且,那么△ABC的形状是()
A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形
6、计算:
学生练习:
1、已知,则的值是
2、
3、已知三个连续奇数的平方和为251,求这三个奇数
4、已知多项式能被整除。
(1)求;
(2)求;(3)若a,b,c为整数,且c≥a>1,试确定a,b,c的值。
5、计算
6、已知是△ABC的三边的长,且满足,试判断此三角形的形状。
知识点二:
用因式分解解简单的方程
例题讲解:
1、
2、求方程的整数解
学生练习:
1、方程的解是?
2、
3、
因式分解练习题
一、填空题:
2.(a-3)(3-2a)=_______(3-a)(3-2a);
12.若m2-3m+2=(m+a)(m+b),则a=______,b=______;
15.当m=______时,x2+2(m-3)x+25是完全平方式.
二、选择题:
1.下列各式的因式分解结果中,正确的是
[ ]
A.a2b+7ab-b=b(a2+7a)
B.3x2y-3xy-6y=3y(x-2)(x+1)
C.8xyz-6x2y2=2xyz(4-3xy)
D.-2a2+4ab-6ac=-2a(a+2b-3c)
2.多项式m(n-2)-m2(2-n)分解因式等于
[ ]
A.(n-2)(m+m2) B.(n-2)(m-m2)
C.m(n-2)(m+1) D.m(n-2)(m-1)
3.在下列等式中,属于因式分解的是
[ ]
A.a(x-y)+b(m+n)=ax+bm-ay+bn
B.a2-2ab+b2+1=(a-b)2+1
C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)
D.x2-7x-8=x(x-7)-8
4.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是
[ ]
A.a2+b2 B.-a2+b2
C.-a2-b2 D.-(-a2)+b2
5.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,那么m的值是
[ ]
A.-12 B.±24
C.12 D.±12
6.把多项式an+4-an+1分解得
[ ]
A.an(a4-a) B.an-1(a3-1)
C.an+1(a-1)(a2-a+1) D.an+1(a-1)(a2+a+1)
7.若a2+a=-1,则a4+2a3-3a2-4a+3的值为
[ ]
A.8 B.7
C.10 D.12
8.已知x2+y2+2x-6y+10=0,那么x,y的值分别为
[ ]
A.x=1,y=3 B.x=1,y=-3
C.x=-1,y=3 D.x=1,y=-3
9.把(m2+3m)4-8(m2+3m)2+16分解因式得
[ ]
A.(m+1)4(m+2)2 B.(m-1)2(m-2)2(m2+3m-2)
C.(m+4)2(m-1)2 D.(m+1)2(m+2)2(m2+3m-2)2
10.把x2-7x-60分解因式,得
[ ]
A.(x-10)(x+6) B.(x+5)(x-12)
C.(x+3)(x-20) D.(x-5)(x+12)
11.把3x2-2xy-8y2分解因式,得
[ ]
A.(3x+4)(x-2) B.(3x-4)(x+2)
C.(3x+4y)(x-2y) D.(3x-4y)(x+2y)
12.把a2+8ab-33b2分解因式,得
[ ]
A.(a+11)(a-3) B.(a-11b)(a-3b)
C.(a+11b)(a-3b) D.(a-11b)(a+3b)
13.把x4-3x2+2分解因式,得
[ ]
A.(x2-2)(x2-1) B.(x2-2)(x+1)(x-1)
C.(x2+2)(x2+1) D.(x2+2)(x+1)(x-1)
14.多项式x2-ax-bx+ab可分解因式为
[ ]
A.-(x+a)(x+b) B.(x-a)(x+b)
C.(x-a)(x-b) D.(x+a)(x+b)
15.一个关于x的二次三项式,其x2项的系数是1,常数项是-12,且能分解因式,这样的二次三项式是
[ ]
A.x2-11x-12或x2+11x-12
B.x2-x-12或x2+x-12
C.x2-4x-12或x2+4x-12
D.以上都可以
16.下列各式x3-x2-x+1,x2+y-xy-x,x2-2x-y2+1,(x2+3x)2-(2x+1)2中,不含有(x-1)因式的有
[ ]
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
17.把9-x2+12xy-36y2分解因式为
[ ]
A.(x-6y+3)(x-6x-3)
B.-(x-6y+3)(x-6y-3)
C.-(x-6y+3)(x+6y-3)
D.-(x-6y+3)(x-6y+3)
18.下列因式分解错误的是
[ ]
A.a2-bc+ac-ab=(a-b)(a+c)
B.ab-5a+3b-15=(b-5)(a+3)
C.x2+3xy-2x-6y=(x+3y)(x-2)
D.x2-6xy-1+9y2=(x+3y+1)(x+3y-1)
19.已知a2x2±2x+b2是完全平方式,且a,b都不为零,则a与b的关系为
[ ]
A.互为倒数或互为负倒数 B.互为相反数
C.相等的数 D.任意有理数
20.对x4+4进行因式分解,所得的正确结论是
[ ]
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