国开放大学离散数学本离散数学作业2问题详解Word文档格式.docx
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2,2>
3,1>
3,2>
}.
2.设集合A有10个元素,那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024.
3.设集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},R是A到B的二元关系,
则R的有序对集合为 {<
2,2>
2,3>
3.2>
3.3>
} .
4.设集合A={1,2,3,4},B={6,8,12},A到B的二元关系
R=
那么R-1={<
6,3>
8,4>
5.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={<
a,b>
<
b,a>
b,c>
c,d>
},则R具有的性质是 反自反性 .
6.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={<
a,a>
b,b>
},若在R中再增加两个元素 <
c,b>
,<
d,c>
,则新得到的关系就具有对称性.
7.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有2个.
8.设A={1,2}上的二元关系为R={<
x,y>
|xA,yA,x+y=10},则R的自反闭包为{<
,2,2}.
9.设R是集合A上的等价关系,且1,2,3是A中的元素,则R中至少包含<
1,1>
2.2>
等元素.
10.设A={1,2},B={a,b},C={3,4,5},从A到B的函数f={<
1,a>
2,b>
},从B到C的函数g={<
a,4>
b,3>
},则Ran(gf)={<
}or{<
1,b>
2,a>
}.
二、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)
1.若集合A={1,2,3}上的二元关系R={<
1,1>
2,2>
1,2>
},则
(1)R是自反的关系;
(2)R是对称的关系.
解:
(1) 结论不成立. 因为关系R要成为自反的,其中缺少元素<
3, 3>
.
(2) 结论不成立. 因为关系R中缺少元素<
2, 1>
2.设A={1,2,3},R={<
1,1>
1,2>
,<
},则R是等价关系.
不是等价关系。
因为3是A的一个元素,但<
3,3>
不在关系R中。
等价关系R必须有:
对A中任意元素a,R含<
a,a>
3.若偏序集<
A,R>
的哈斯图如图一所示,
则集合A的最大元为a,最小元不存在.
错误,按照定义,图中不存在最大元和最小元
4.设集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},,判断下列关系f是否构成函数f:
,并说明理由.
(1)f={<
1,4>
2,2,>
4,6>
1,8>
};
(2)f={<
1,6>
3,4>
(3)f={<
2,6>
4,2,>
}.
(1) 不构成函数,因为它的定义域Dom(f)≠A
(2) 也不构成函数,因为它的定义域Dom(f)≠A
(3) 构成函数,首先它的定义域Dom(f) ={1, 2, 3, 4}= A,其次对于A中的每一个元素a,在B中都有一个唯一的元素b,使<
a,b>
f
三、计算题
1.设
,求:
(1)(AB)~C;
(2)(AB)-(BA)(3)P(A)-P(C);
(4)AB.
解:
(1)(AB)~C={1}{1,3,5}={1,3,5}
(2)(AB)-(BA)={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}
(3)P(A)-P(C)={φ,{1},{4},{1,4}}-{φ,{2},{4},{2,4}}
={{1},{1,4}}
(4)AB=(A-B)(B-A)={4}{2,5}={2,4,5}
2.设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算
(1)(AB);
(2)(A∩B);
(3)A×
B.
解
(1)(AB)={{1},{2}}
(2)(A∩B)={1,2}
(3)A×
B={<
1},1>,{{1},2>,
3.设A={1,2,3,4,5},R={<
x,y>
|xA,yA且x+y4},S={<
|xA,yA且x+y<
0},试求R,S,RS,SR,R-1,S-1,r(S),s(R).
R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉},
S=φ
RS=φ
SR=φ
R-1={〈1,1〉,〈2,1〉,〈3,1〉,〈1,2〉,〈2,2〉,〈1,3〉}
S-1=φ
r(S)={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈4,4〉,〈5,5〉}
s(R)={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉}
4.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6}.
(1)写出关系R的表示式;
(2)画出关系R的哈斯图;
(3)求出集合B的最大元、最小元.
(1)R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈1,4〉,〈1,5〉,〈1,6〉,〈1,7〉,〈1,8〉,〈2,2〉,〈2,4〉,〈2,6〉,〈2,8〉,〈3,3〉,〈3,6〉,〈4,4〉,〈4,8〉,〈5,5〉,〈6,6〉,〈7,7〉,〈8,8〉}
(2)关系R的哈斯图
(3)集合B的没有最大元,最小元是2.
四、证明题
1.试证明集合等式:
A(BC)=(AB)(AC).
证明:
设任意x
A(BC),那么x
A或x
BC,
也就是x
B,且x
C;
由此得x
AB且x
AC,即x
(AB)(AC).
所以,A(BC)
(AB)(AC)
又因为对任意x
(AB)(AC),由x
AB且x
AC,
B,且x
A或x
得x
A或x
BC,即x
A(BC).
所以,(AB)(AC)
A(BC)
故A(BC)=(AB)(AC).
2.试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC).
证明:
设S=A∩(B∪C),T=(A∩B)∪(A∩C), 若x∈S,则x∈A且x∈B∪C,即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C,
也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ,即 x∈T,
所以S
T.反之,若x∈T,则x∈A∩B 或 x∈A∩C,
即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C,
即x∈S,所以T
S.
因此T=S
3.对任意三个集合A,B和C,试证明:
若AB=AC,且A,则B=C.
(1)对于任意〈a,b〉∈AB,其中a∈A,b∈B,因为AB=AC,必有〈a,b〉∈AC,其中b∈C,因此B
C。
(2)同理,对于任意〈a,c〉∈AC,其中a∈A,c∈C,因为AB=AC,必有〈a,c〉∈AB,其中c∈B,因此C
B。
由
(1)、
(2)得:
B=C.
4.试证明:
若R与S是集合A上的自反关系,则R∩S也是集合A上的自反关系.
若R与S是集合A上的自反关系,则任意x∈A,<x,x>∈R,<x,x>∈S,
从而<x,x>∈R∩S,注意x是A的任意元素,所以R∩S也是集合A上的自反关系。
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