插值法与数据拟合法.docx
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插值法与数据拟合法
第七讲插值方法与数据拟合
§7.1引言
在工程和科学实验中,常常需要从一组实验观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)揭示自变量x与因变量y之间的关系,一般可以用一个近似的函数关系式y=f(x)来表示。
函数f(x)的产生办法因观测数据与要求的不同而异,通常可采用两种方法:
插值与数据拟合。
§7.1.1插值方法
1.引例1已经测得在北纬32.3︒海洋不同深度处的温度如下表:
表7.1.1
深度x(m)
466
714
950
1422
1634
水温y(C︒)
7.04
4.28
3.40
2.54
2.13
根据这些数据,我们希望能合理地估计出其它深度(如500米、600米、1000米…)处的水温。
解决这个问题,可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决,这是一个被称为插值的问题。
2.插值问题的基本提法
对于给定的函数表
x
x0
x1
…
xn
y=f(x)
y0
y1
…
yn
其中f(x)在区间[a,b]上连续,x0,x1,…,xn为[a,b]上n+1个互不相同的点,要求在一个性质优良、便于计算的函数类{P(x)}中,选出一个使
P(xi)=yi,i=0,1,…,n(7.1.1)
成立的函数P(x)作为f(x)的近似,这就是最基本的插值问题(见图7.1.1)。
为便于叙述,通常称区间[a,b]为插值区间,称点x0,x1,…,xn为插值节点,称函数类{P(x)}为插值函数类,称式(7.1.1)为插值条件,称函数P(x)为插值函数,称f(x)为被插函数。
求插值函数P(x)的方法称为插值法。
§7.1.2数据拟合
1.引例2在某化学反应中,已知生成物的浓度与时间有关。
今测得一组数据如下:
表7.1.2
时间t(分)
1
2
3
4
5
6
7
8
浓度y⨯10-3
4.00
6.40
8.00
8.80
9.22
9.50
9.70
9.86
时间t(分)
9
10
11
12
13
14
15
16
浓度y⨯10-3
10.00
10.20
10.32
10.32
10.50
10.55
10.58
10.60
根据这些数据,我们希望寻找一个y=f(t)的近似表达式(如建立浓度y与时间t之间的经验公式等)。
从几何上看,就是希望根据给定的一组点(1,4.00),…,(16,10.60),求函数y=f(t)的图象的一条拟合曲线。
2.数据拟合问题的基本提法
对于给定的函数表
x
x0
x1
…
xn
y=f(x)
y0
y1
…
yn
其中f(x)在区间[a,b]上连续,x0,x1,…,xn为[a,b]上n+1个互不相同的点,要求找一个简单合理的函数近似表达式ϕ(x),使ϕ(x)与f(x)在某种准则下最为接近,这就是最基本的数据拟合问题(见图7.1.2)。
通常,我们称ϕ(x)为给定数据点的拟合函数。
图7.1.1插值问题示意图图7.1.2数据拟合问题示意图
§7.1.3插值方法与数据拟合的基本理论依据
插值方法与数据拟合的基本理论依据,就是数学分析中的Weierstrass定理:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则对∀ε>0,存在多项式P(x),使得
。
即:
有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。
§7.1.4实际应用中两种方法的选择
在实际应用中,究竟选择哪种方法比较恰当?
总的原则是根据实际问题的特点来决定采用哪一种方法。
具体说来,可从以下两方面来考虑:
1.如果给定的数据是少量的且被认为是严格精确的,那么宜选择插值方法。
采用插值方法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处完全相等。
2.如果给定的数据是大量的测试或统计的结果,并不是必须严格遵守的,而是起定性地控制作用的,那么宜选用数据拟合的方法。
这是因为,一方面测试或统计数据本身往往带有测量误差,如果要求所得的函数与所给数据完全吻合,就会使所求函数保留着原有的测量误差;另一方面,测试或统计数据通常很多,如果采用插值方法,不仅计算麻烦,而且逼近效果往往较差。
§7.2一维数据的基本插值方法简介
插值函数类的取法很多,可以是代数多项式,也可以是三角多项式或有理函数;可以是[a,b]上任意光滑函数,也可以是分段光滑函数。
在此介绍最基本、最常用的两种插值方法:
分段多项式插值与三次样条插值,及其Matlab实现。
§7.2.1一维数据的分段多项式插值
对于给定的一维数据
x
x0
x1
…
xn
y=f(x)
y0
y1
…
yn
分段多项式插值就是求一个分段(共n段)多项式P(x),使其满足P(xi)=yi(i=0,1,…,n)或更高的要求。
一般地,分段多项式插值中的多项式都是低次多项式(不超过三次)。
1.分段线性插值y
分段线性插值函数P1(x)是一个分段一次多项式(分段线f(x)
性函数)。
在几何上就是用折线代替曲线,如图7.2.1,故分段
线性插值亦称为折线插值。
其插值公式为P(x)
,x∈[xi,xi+1](7.2.1)0x0x1xn-1xnx
2.分段二次插值图7.2.1分段线性插值示意图
分段二次插值函数P2(x)是一个分段二次多项式。
在几何上就是分段抛物线代替曲线y=f(x),故分段二次插值又称为分段抛物插值。
其插值公式为
,x∈[xi-1,xi+1](7.2.2)
3.三次Hermite插值
三次Hermite插值问题的基本提法一:
已知一维数据
x
x0
x1
y=f(x)
y0
y1
y'=f'(x)
m0
m1
求一个三次多项式P3(x),使之满足
P3(xi)=yi,P3'(xi)=mi,i=0,1(7.2.3)
构造三次插值基函数α0(x),α1(x),β0(x),β1(x),使之满足
(7.2.4)
利用这四个插值基函数,取三次多项式P3(x)为
P3(x)=α0(x)y0+α1(x)y1+β0(x)m0+β1(x)m1(7.2.5)
将插值条件(7.2.3)式代入,可推得:
(7.2.6)
(7.2.5)、(7.2.6)两式构成了三次Hermite插值基本提法一的插值公式。
三次Hermite插值问题的基本提法二:
已知一维数据
x
x0
x1
x2
y=f(x)
y0
y1
y2
y'=f'(x)
m1
求一个三次多项式P3(x),使之满足
P3(xi)=yi,i=0,1,2,P3'(x1)=mi(7.2.7)
构造三次插值基函数α0(x),α1(x),α2(x),β1(x),使之满足
(7.2.8)
利用这四个插值基函数,取三次多项式P3(x)为
P3(x)=α0(x)y0+α1(x)y1+α2(x)y2+β1(x)m1(7.2.9)
将插值条件(7.2.7)式代入,可推得:
(7.2.10)
(7.2.9)、(7.2.10)两式构成了三次Hermite插值基本提法二的插值公式。
§7.2.2一维数据的三次样条插值
上述介绍的分段多项式插值,其优点为计算简单、稳定性好、收敛性有保证,且易于在计算机上实现。
但它也明显存在着缺陷。
它只能保证在每个小区间段[xi,xi+1]内光滑,在各小区间连接点xi处连续,却不能保证整条曲线的光滑、光顺性,难以满足某些工程的要求。
对于象高速飞机的机翼形线,船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度,即有二阶连续导数。
而由60年代开始,首先起源与航空、造船业等工程设计的实际需要而发展起来的样条插值,既保留了分段多项式插值的各种优点,又提高了插值函数的光滑度。
在此,仅介绍应用最广且具有二阶连续导数的三次样条插值方法。
1.三次样条插值问题的基本提法
对于给定的一维数据
x
x0
x1
…
Xn
y=f(x)
y0
y1
…
Yn
求一个三次多项式S(x)满足条件
(1)S(xi)=yi,i=0,1,…,n;
(2)S(x)具有二阶连续导数,特别在节点xi上应满足连续性要求,即对i=0,1,…,n有
2.三次样条插值函数
给定区间[a,b]的一个划分∆:
a=x0 如果S(x)于[a,b]有二阶连续导数,且在每个小区间[xi,xi+1]上是三次多项式,则称S(x)是节点x0,x1,…,xn上的三次样条函数。 如果S(x)在节点xi上还满足插值条件 S(xi)=yi,i=0,1,…,n,(7.2.11) 则称S(x)为三次样条插值函数。 对应于划分∆的三次样条插值函数的表达式为 (7.2.12) 其中,。 3.边界条件 在式(7.2.12)给出的三次多项式中,共含有n+3个待定系数。 而由插值条件(7.2.11)式,可列出n+1个方程,方程组中未知数的个数比方程个数多2,还需附加2个条件才能进行求解。 通常可在区间端点x0=a和xn=b处各附加一个条件(称为边界条件或边值条件)去确定S(x)。 边界条件类型很多,较基本而又常见的有三类: (1)第一边值条件,即给出边界点的一阶导数值 S'(x0)=y0',S'(xn)=yn'(7.2.13) (2)第二边值条件,即给出边界点的二阶导数值 S"(x0)=y0",S"(xn)=yn"(7.2.14) 特别地,当S"(x0)=S"(xn)=0时,称为自然边界条件。 满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。 (3)第三边值条件(混合边值条件) (7.2.15) 其中α1、α2、β1、β2、γ1、γ2为定数。 当β1、β2为零时,则为第一边值条件,当α1、α2为零时,则为第二边值条件。 §7.2.3一维数据插值的Matlab实现 1.一维数据插值的Matlab实现 Matlab中一维数据的插值函数为: interp1()。 其调用格式为 yi=interp1(x,y,xi,'methos'), 其中 x,y——为插值节点,均为向量; xi——任取的被插值点可以是一个数值,也可以是一个向量; yi——为被插值点xi处的插值结果; 'methos'——为采用的插值方法: 'nearest': 表示最临近插值, 'linear': 表示线性插值, 'cubic': 表示三次插值, 'spline': 表示三次样条插值。 注意: (1)上述'methos'中所有的插值方法都要求x是单调的,并且xi不能超过x的取值范围; (2)三次样条插值函数的调用格式有两种,yi=interp1(x,y,xi,'spline')和yi=spline(x,y,xi),它们
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