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基础比较好的考生可不必看这部分内容,或者只用本部分的习题对自己进行一次测试.
(1)基本概念矩阵是描写事物形态的数量形式的发展.由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn型矩阵.这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.
两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.
(2)线性运算和转置
力叭减)法:
两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).
数乘:
一个mn的矩阵A与应该数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A
的每个元素乘c.
这两种运算统称为先性运算,它们满足以下规律
1加法交换律
2加法结合律
3加乘分配律
4数乘结合律
A+B=B+A.
(A+B)+C=A+(B+C).
c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.c(d)A=(cd)A.
5cA=0c=0或A=0.
转置:
把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作AT(或A).有以下规律:
1(AT)T=A.
2(A+B)T=AT+BT.
TT
3(cA)T=(cA)T.
(3)n阶矩阵几个特殊矩阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.
n阶矩阵A的相应的行列式记作|A|,称为A的行列式•
把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线.(其上的运算行列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们但是考试大纲中要求掌握的•
对角矩阵:
主对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.
单位矩阵:
主对角线外的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).
数量矩阵:
主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.
0的n阶矩阵.
位的元素和(j,i)位的元素总是相
(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和
上(下)三角矩阵:
主对角线下(上)的的元素都为对称矩阵:
满足At=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)等的n阶矩阵.
反对称矩阵:
满足A=-A矩阵.也就是对任何i,j,总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.
(4)矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵的初等行变换有以下三种:
1交换两行的上下位置
2用一个非0的常数乘某一行的各元素•
3把某一行的倍数加到另一行上•
类似地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了•初等行变换与初等列变换统称初等变换•
阶梯形矩阵:
一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:
1如果它有零行,则都出现在下面•
2每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增•
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵•这种运算是在线性代数的各类计算题中
频繁运用的基本运算,必须十分熟练•
(1)基本概念
向量是另一种描述事物形态的数量形式•
由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量•
书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是ai,a2,,an的向量可表示成
ari>
(ai,a2,,an)或a2,
I
an
请注意,作为向量它们并没有区别[但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边n1是矩阵)•习惯上把它们分别称为行向量和列向量•请注意它与矩阵的行向量和列向量的区别•
一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;
每一列是一个m维向量,
称为它的列向量•常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为
1,2,,n时(它们都是表示为列的形式!
)可记A=(1,2,,n)•
矩阵的许多概念也可对向量来规定,如向量的相等,零向量等等•这里从略•
(2)线性运算和线性组合
向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全一样的运算规律,这里也不来复
述了•
向量组的线性组合:
设1,2,,s是一组n维向量,c1,c2,,cs是一组数,则称
C11+c22+,+css为
1,2,,s的(以c1,c2,,cs为系数的)线性组合•它也是n维向量•
3.线性方程组
线性方程组的一般形式为:
a11X1+a12X2++a1nXn=b1,
a21X计a22X2++a2nXn=b2,
彳
amX1+amX2++amnXn=bm,
其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等•分别称矩阵
a
厂11a
12
厂11a12
a1n
br\
A=
a21a
22
a2n
和(A|
)=
a21a22
b2
^3m1a
m2
a_m^
^^3m1am2
amn
bm^>
为方程组的系数矩阵和增广矩阵•
如果b1=b2==bm=0,则称为齐次线性方程组•把一个非齐次线性方程组的每个方程的常
数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组.
线性方程组的解是一个n维向量(kl,k2,,kn),它满足:
当每个方程中的未知数Xi都用
ki替代时都成为等式.
线性方程组的解的情况有三种:
无解,唯一解,无穷多解.
n维零向量总是齐次线性方程组的解,因此齐次线性方程组的解情况只有两种:
唯一解
(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).
线性方程组的同解变换有三种:
1交换两个方程的上下位置•
2用一个非0的常数乘某个方程•
3把某方程的倍数加到另一方程上•
以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换
线性方程组的基本求解方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法
写出方程组的增广矩阵(对齐次方程组用系数矩阵),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵,再
写出所代表的阶梯形方程组(它是原方程组的同解方程组),用它求解.
第二章行列式
1.形式和意义
形式:
用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式•
如果行列式的列向量组为1,2,,n,则此行列式可表示为|1,2,,n|.
意义:
是一个算式,把n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的
值•
请注意行列式和矩阵在形式和意义上的区别
当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号!
(不必形式一样,甚至阶数可不同•)
每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.
2.定义(完全展开式)
2阶和3阶行列式的计算公式:
aiia12
a2ia22=ana22-a12821•
ana12a13
821a22a23=a11822833+a12823331+a13a21a32-a13822831-a11823832+a12a21a33・
a31a32a33
一般地,一个n阶行列式
a11a12a1n
821a22a2n
8n18n28nn
的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式
:
a1j1a2j2anjn,这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j1j2jn构
成1,2,,n的一个全排列(称为一个n元排列),一共有n!
个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!
个项••
所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(jIj2jn)为全排列jij2jn的逆序
数(即小数排列在大数后面的现象出现的个数,例如6元排列231645有4个逆
序:
21,31,64,65,因此(231645)=4),则所乘的是
(1)(jlj2jn)
an1an2ann
这里表示对所有n元排列求和•称上式为n阶行列式的完全展开式
j1j2jn
3•性质
行列式有以下性质:
1把行列式转置值不变,即IAJ|=|a.
2某一行(列)的公因子可提出•
3对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之
和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式
4把两个行(列)向量交换,行列式的值变号•
5如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.
6如果把一个行(列)向量的倍数加到另一个行(列)向量上,则行列式的值不变•
把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij的余子式,记作M■称Aj=(-1)i+jM为aij的代数余子式.
7行列式可对某一行(列)展开,即行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式
乘积之和.
8某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.
9
a1,a2,a3,,an所决定,它的值等于
如果A与B都是方阵(不必同阶),则
A*
=
AO
=|A|+
OB
*
B
范德蒙行列式
形如
11
1
1a
2a
3
2
aa2
n-i
1a2a
3an
的行列式(或其转置).它由
B|.
ij(ajai).
因此范德蒙行列式不等于0a1,a2,a3,,an两两不同.
4.计算
行列式的核心问题是值的计算.
(1)用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少
数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于
主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.
(2)化零降阶法:
取定一行(列),先用性质⑥把这行(列)的元素消到只有一个或很少几个不为0,再用⑦,对这行(列)展开•例如设4阶行列式
11
D=-2
3-
取第1行,把第2,3,4行各减去第一行,得到
n(即系数矩阵为n阶矩阵)时,(D1/D,D2/D,,Dn/D),这里D是
(3)利用性质简化计算,主要应用于元素有规律的行列式
5.克莱姆法则
克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数
如果它的系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为
系数行列式的值,Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值两点说明:
1按法则给的公式来求解计算量太大,没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上
(实际求解方法:
对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时变为解.)
2法则的改进,事实上系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.
练习题一
1•计算行列式
(1)2
a2
3.计算n阶行列式
(1)123…n-1n
-123…n-1n
-1—3…n-1n
-1~2~3…1-nn
(2)1-2-2
2-2
4.设4阶矩阵
…-2-2
…-2
A=(,
-2
5.一个三阶行列式的值为A22=-1,A23=1,贝Ua=().
6.x
7.
(3
8,
n-1n-2
3),B=(,
它的第二行的元素是
-31-32x+2
多项式f(x)=-75-2x1
X+3-
3x2-2
36-6
x-2x-1x-2
求多项式f(x)=2x-2
3x-33x-24x-53x-5
x-3
2x-12x-22x-3
求f(x)
4x4x-3
5x-74x-3
8.已知x
f(x)=5x-80
-3a-14
的根为X1,x
bx+1
9.求行列式
-1
0…
10.
已知行列式
cd
x-1-yz+1
1-zX+3y
0z+3
y-2x+1
...0
……(n-1)-1
0
n
2,
它们的余子式依次为
1,2,a.
的次数,最高次项的系数和常数项
的次数•
2,x3,x4,求X1+X2+X3+X4.
的全部代数余子式的和
A21=2,
的代数余子式An=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.
参考答案
._4
1.
(1)把各列都加到第1列上,提出公因子.得(4a+2)(a-2)
(2)自下而上,各行减去上一行(作两次).得0.
2.用换行(列)的方法.得
(1)(ad-bc)|B|.(3)(a
1C2-a2C"
(b1d2-b2d"
.
得2n-1n!
第3到n行各减第二行.得(n+2)!
/4.
提示:
自下而上各行减去上行.得(-1)n-12n-2(n+1).
从第2行起,自上而下各行加上行.得1.
得40.
得8.
3.
(1)提示:
把第一行加到其它各行.
⑵
⑶
⑷
4.
6.最高次只出现在下面划线的4个元素的乘积一项中,常数项即f(0).得9,6,0.
7.2.
8.提示:
利用特征值的性质.得10.
9.提示:
利用伴随矩阵.得(-1)n-1(n+1)/2(n-1)L
10.x=0,y=3,z=-1.
第三章矩阵乘法和可逆矩阵
1.矩阵乘法的定义和性质
定义2.1当矩阵A的列数和B相等时,和A和B可以相乘,乘积记作ABAB的行数和A相等,列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:
1矩阵乘法有条件.
2矩阵乘法无交换律.
3矩阵乘法无消去律,即一般地
由AB=0推不出A=0或B=0.
由ABAC和A=0推不出或B=C(无左消去律)
由BA=CA和A=0推不出或B=C(无右消去律)
把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来,这是常见错误.
矩阵乘法适合以下法则:
1加乘分配律A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AGBC
2数乘性质(cA)B=c(AB>
3结合律(ABC=A(BC.
4(abt=btat.
2.n阶矩阵的方幕和多项式
任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.
(1)行列式性质|AB=IAlB|.
(2)如果AB=BA则说A和B可交换.
(3)方幕设k是正整数,n阶矩阵A的k次方幕Ak即k个A的连乘积.规定A°
=E.显然A的任何两个方幕都是可交换的,并且方幕运算符合指数法则:
1AkAh=Ak+h.
2(Ak)h=Akh.
但是一般地(ABkAkBk.
(3)n阶矩阵的多项式乘法公式
设f(x)=amXm+am-1Xm-1++a1x+a°
对n阶矩阵A规定
f(A)=amAm+am-1Am-1++a1A+a°
E.
称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E
一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如
222
(AB)=A2AB^BA和B可交换.
(A+B)(A-B)=A2-B2A和B可交换.
A和B可交换(不是!
)有二项公式:
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