湖南省郴州市学年高一上学期期末考试数学试题Word文档下载推荐.docx
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14.《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著,其第五卷《商功》中有如下问题:
“今有圆堡,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?
这里所说的圆堡就是圆柱体,其底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,问它的体积是多少,若π取3,请你估算该圆堡的体积是______立方尺(1丈等于10尺)
15.点P(x,y)是直线kx+y+3=0上一动点,PA,PB是圆C:
x2+y2-4y+3=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB面积的最小值为2,则k的值为______.
三、解答题(本大题共5小题,共40.0分)
16.计算下列各式子的值.
(1)25++8;
(2)log43•log964-ln.
17.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA=PD=2,AD=2,AB=4,平面PAD⊥平而ABCD.O为BD的中点,E为PC的中点.
(1)求证:
OE∥平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
18.已知点A(1,0),B(-1,0),圆C的方程为x2+y2-6x-8y+16=0,点P为圆上的动点,过点A的直线l被圆C截得的弦长为2.
(1)求直线l的方程;
(2)求△PAB面积的最大值.
19.为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长10%.
(1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?
(参考数据lg0.11≈-0.959,lgl.1≈0.041,lgl1≈1.041,lg2≈0.301)
20.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足:
f(-1)=3,f
(1)=1,f()=f(+x).且x≠0时,g(x)=.
(1)若方程g(x)+2m=0在x∈[,3]时有解,求实数m的取值范围;
(2)是否存在实数t使函数h(x)=4x-2t(g(2x)+1)+4-x在[1,+∞)上的最小值为-2?
若存在,则求出实数t的值;
若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解:
∵M={1,2,3,4},N={x|x≥3};
∴M∩N={3,4}.
故选:
D.
可解出集合N,然后进行交集的运算即可.
考查描述法、列举法的定义,以及交集的运算.
2.【答案】B
幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,4),
则2a=4,解得a=2;
∴f(x)=x2,
∴f(
)=
=
.
B.
根据幂函数的图象过点(2,4)求出函数解析式,再计算f(
)的值.
本题考查了幂函数的定义与应用问题,是基础题.
3.【答案】A
要使f(x)有意义,则:
;
解得x≥-3,且x≠-1;
∴f(x)的定义域为:
{x|x≥-3,且x≠-1}.
A.
可看出,要使得函数f(x)有意义,则需满足
,解出x的范围即可.
考查函数定义域的定义及求法,描述法表示集合的方法.
4.【答案】B
在同一个坐标系中分别画出函数f(x)=2x的图象与函数g(x)=-x+6的图象,
如图所示,
结合图象可得它们的图象的交点个数为1,
在同一个坐标系中分别画出函数f(x)=2x的图象与函数g(x)=-x+6的图象,数形结合可得它们的图象的交点个数.
本题主要考查正弦函数的图象特征,体现了数形结合的数学思想,属于基础题.
5.【答案】A
∵0=log21<a=log23.4<log24=2,
b=log20.3<log21=0,
c=23.1>23=8,
∴b<a<c.
利用有理指数幂及对数的运算性质分别比较a,b,c与0和2的大小得答案.
本题考查对数值的大小比较,考查有理指数幂及对数的运算性质,是基础题.
6.【答案】A
直线l1:
(m-1)x+2y-8=0,
若l1⊥l2,则1×
(m-1)+2m=0,
解得m=
根据两条直线垂直的条件,列方程求出m的值.
本题考查了直线方程垂直的应用问题,是基础题.
7.【答案】D
A
如图可否定A;
B
如图可否定B;
C
如图可否定C;
利用图示容易否定A,B,C,故选D.
此题考查了线面位置关系,难度较小.
8.【答案】B
根据题意,设圆C的半径为R,
圆x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,其圆心为(2,0),半径r=1,设M(2,0),
若圆C圆M外切,则有R+r=|MC|=3,
则R=4,
则要求圆的方程为(x+1)2+y2=4;
根据题意,设圆C的半径为R,分析圆x2+y2-4x+3=0的圆心与半径,结合圆与圆的位置关系分析可得答案.
本题考查圆与圆的位置关系,注意两圆外切时,圆心距与半径的关系,属于基础题.
9.【答案】C
如下图所示,
由题意知,A(-1,1,0)、B(-1,0,2)、C(0,1,2),且MA、MB、MC两两垂直,
由于MB∩MC=M,∴MA⊥平面MBC,
直角△MBC的外接圆直径为
,
所以,三棱锥M-ABC的外接球直径为
因此,三棱锥M-ABC的外接球的表面积为4πR2=π×
(2R)2=6π.
C.
作出图形,根据得出A、B、C三点的坐标,证明MA⊥平面MBC,利用勾股定理计算出△MBC的外接圆直径BC,再利用公式
可计算出外接球的直径,最后利用球体表面积公式可得出答案.
本题考查球体表面积的计算,解决本题的关键在于找出合适的模型计算球体的半径,考查计算能力与推理能力,属于中等题.
10.【答案】A
对任意实数x1,x2(x1≠x2),都有
>0成立,
∴函数f(x)在R上为增函数,
∴当x>0时,f(x)=loga(x+1),则a>1,且f(x)>f(0)=0,
当x≤0时,f(x)=-|x+2a-4|,
当2a-4>0时,即a>2时,函数f(x)的对称轴x=4-2a<0,此时函数f(x)在(-∞,4-2a)上单调递增,在(4-2a,0]单调递减,不满足题意,
当2a-4<0时,即0<a≤2且a≠1时,函数f(x)的对称轴x=4-2a>0,此时函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,
即f(x)max=f(0)=-|2a-4|=2a-4≤0,解得0<a≤2且a≠1,
综上所述a的值范围为(1,2],
由题意可得函数f(x)为增函数,再求出每段函数的上的最值即可求出a的范围.
本题考查的知识点是分段函数的应用,正确理解分段函数的单调性,是解答的关键.
11.【答案】-1
∵f(x)=(x-1)(x-a)为偶函数
∴f(x)=f(-x),即f(x)=(x-1)(x-a)=(-x-1)(-x-a)
得a=-1
故答案为:
-1
根据函数f(x)=(x-1)(x-a)为偶函数,则f(x)=f(-x),建立等式,使之恒成立,求出a的值.
本题主要考查函数的奇偶性的运用,直接利用f(x)=f(-x)进行求解,属基础题.
12.【答案】60°
连接A1C1,BC1,∵AD1∥BC1,∴∠A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角,
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设棱长为1,则A1C1=BC1=BA1=
∴△A1BC1为等边三角形,∴∠A1BC1=60°
故答案是60°
连接BC1,证明∠A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角,在△A1BC1中求∠A1BC1.
本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法,根据异面直线所成角的定义,寻找平行线是解决本题的关键.
13.【答案】-2
∵函数f(x)=
∴f(-
)=(-
)2=
f(f(-
))=f(
=-2.
-2.
推导出f(-
,从而f(f(-
),由此能求出结果.
本题考查函数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
14.【答案】2112
∵今有圆堡,周四丈八尺,高一丈一尺,
即圆柱体底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,
∴2πR=48,解得R=
=8(尺),
∴估算该圆堡的体积:
V=πR2×
11=3×
64×
11=2112(尺).
2112.
由圆柱体底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,得到2πR=48,求出R=
=8(尺),由此能估算该圆堡的体积.
本题考查圆堡的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
15.【答案】±
2
∵圆C:
x2+(y-2)2=1,C(0,2),半径AC=1
∴SPACB=2SPAC=2×
|PA|•||AC|=|PA|=
∴|PC|的最小值是圆心到直线的距离d=
∴(
)2-1=4,解得k=±
2,
±
2.
依题意分析得PC⊥l,PC为圆心到直线l的距离时,四边形的面积最小.
本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题.
16.【答案】解:
(1)25++8
=5+2+
=.
(2)log43•log964-ln
=-
=1.
利用指数、对数的性质、运算法则直接求解.
本题考查指数式、对数式化简求值,考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
17.【答案】证明:
(1)连结AC,∵底面ABCD中矩形,O为BD的中点,
∴AC与BD交于O点,且O为AC的中点,
∵E是PC的中点,∴OE∥PA,
又PA⊂平面PAD,OE⊄平面PAD,
∴OE∥平面PAD.
(2)取AD的中点F,连结PF,
∵PA=PD,∴PF⊥AD,
∵平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PF⊥平面ABCD,
∴PF为四棱锥P-ABCD的高,
又PA=PD=2,∴PF=,
∴四棱锥P-ABCD的体积:
==.
(1)连结AC,推导出OE∥PA,由此能证明OE∥平面PAD.
(2)取AD的中点F,连结PF,推导出PF⊥平面ABCD,PF为四棱锥P-ABCD的高,由此能求出四棱锥P-ABCD的体积.
本题考查圆锥的体积的求法及应用,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
18.【答案】解:
(1)①当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,易知此直线满足题意;
②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1),
(x-3)2+(y-4)2=9的圆心C(3,4),半径r=3,∴2=,解得k=,
所以所求的直线方程为3x-4y-3=0;
综上所述,所求的直线方程为3x-4y-3=0或x=1
(2)由题意|AB|=2,点P到AB的距离得最大值为7,
∴△PAB的面积的最大值为7.
(1)先讨论直线l的斜率是否存在,利用2
=2
(R为圆的半径,d为圆心到直线的距离)列方程解得直线l的斜率,再由点斜式写方程;
(2)|AB|=2为定值,只需求出点P到直线AB的最大值即可.
19.【答案】解:
(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,
第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,
第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式y=100(1+10%)x万元,
其定义域为{x∈N*|x≤10}
(2)由100(1+10%)x>200可得1.1x>2,即x>≈≈7.3,
即企业从第8年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元.
(1)根据题意可得y=100(1+10%)x万元,其定义域为{x∈N*|x≤10},
(2)由100(1+10%)x>200,解得即可.
本题考查了函数的应用,对数的运算性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
20.【答案】解:
(1)∵f(x)满足:
f(-1)=3,f
(1)=1,f()=f(+x).
∴函数的对称轴为x=,
即,得,即f(x)=x2-x+1,
g(x)==x+-1,
若方程g(x)+2m=0在x∈[,3]时有解,
则x+-1=2m即x+2m+1,在x∈[,3]时有解,
∵y=x+在[,1]上递减,则[1,3]上递增,
则x+∈[2,],
即1-2m∈[2,],得m∈[-,].
(2)由
(1)知,g(x)=x+-1,
∴h(x)=4x-2t(2x+2-x)+4-x=(2x+2-x)2-2t(2x+2-x)-2
∵x≥1,∴2x≥2,2x+2-x≥.
设n=2x+2-x,则n≥.
则h(x)等价为φ(n)=n2-2tn-2=(n-t)2-2-t2,
①若t≤,φ(n)min=φ()=-5t-2=-2,得t=,满足条件.
②若t>,φ(n)min=φ(t)=-2-t2=-2,此时方程无解,
综上存在实数t=,使函数h(x)=4x-2t(g(2x)+1)+4-x在[1,+∞)上的最小值为-2.
(1)利用待定系数法求出函数f(x)的解析式,结合方程有解进行转化求最值即可.
(2)求出函数h(x)的解析式,利用换元法结合一元二次函数最值的性质进行求解判断即可.
本题主要考查函数与方程的应用,利用待定系数法求出函数的解析式,以及利用换元法转化为一元二次函数,借助一元二次函数最值性质是解决本题的关键.
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