全国各地中考数学解析汇编66规律探索型问题Word文档格式.docx
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1
22kk
【点评】本题是一道规律探索题目,考查了用代数式表示一般规律,难度较小.
18.(2012年四川省巴中市,18,3观察下列面一列数:
1,-2,3,-4,5,-6,„根据你发现的规律,第2012个数是___________
【解析】观察知:
下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第2012个数的绝对值是2012,值偶数项是负数,故填-2012.【答案】-2012
【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.
20.(2012贵州省毕节市,20,5分在下图中,每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成,照此规律,第10个图案中共有个小正方形。
解析:
观察图案不难发现,图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布,写出第n个图案的正方形的个数,然后利用求和公式写出表达式,再把n=10代入进行计算即可得解.
答案:
解:
第1个图案中共有1个小正方形,第2个图案中共有1+3=4个小正方形,第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形,„,第n个图案中共有1+3+5+„+(2n-1=2
121(-+nn=n2
个小正方形,所以,第10个图
案中共有102
=100个小正方形.故答案为:
100.
点评:
本题是对图形变化规律的考查,根据图案从上到下的正方形的个数成奇数列排布,得到第n个图案的正方形的个数的表达式是解题的关键.
18.(2012贵州六盘水,18,4分图7是我国古代数学家杨辉最早发现的,称为“杨辉三角形”.它的发现比西方要早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!
“杨辉三角形”中有许多规律,如它的每一行的数字正好对应了(n
ab+(n为非负整数的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数.例如2
2
(2abaabb+=++展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字;
再入,
33223(33abaababb+=+++展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此
图,写出4
(ab+的展开式.
4
(ab+=
分析:
该题属规律型,通过观察可发现第五行的系数是:
1、4、6、4、1,再根据例子中字母的排列规律即得到答案.
解答:
由题意,4
3
22
(464abaabababb+=++++,故填432234464aabababb++++.
本题考查了数字的变化规律,从整体观察还要考虑字母及字母指数的变化规律,从而得到答案.
17.(2012山东莱芜,17,4分将正方形ABCD的各边按如图所示延长,从射线AB开始,分别在各射线上标记点321,,AAA„.,按此规律,则点A2012在射线.【解析】
根据表格中点的排列规律,可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环,2012=16×
125+12,所以点A2012所在的射线和点12A所在的直线一样。
因为点12A所在的射线是射线AB,所以点点A2012在射线AB上.【答案】AB
【点评】本题是一个规律探索题,可以列出点的排列规律从中得到规律,在变化的点中找到其排列直线的不变的规律,此类问题的排列通常是具有周期性,按照周期循环,本题难度适中.
16、(2012,黔东南州,16如图,第(1个图有2个相同的小正方形,第(1个图有2个相同的小正方形,第(2个图有6个相同的小正方形,第(3个图有12个相同的小正方形,第(4个图有20个
相同的小正方形,„„,按此规律,那么第(n个图有个相同的小正方形。
(1(2(3(4解析:
因为
((((1445420,1334312,122326,111212+⨯=⨯=+⨯=⨯=+⨯=⨯=+⨯=⨯=,故第(n个
图有nn+2
个小正方形.答案:
nn+2或n(n+1
本题是探索规律题,解题的关键是从已知图形中找规律,难度中等.
15.(2012,湖北孝感,15,3分2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会,今年的奥运会将在英国伦敦举行,奥运会的年份与届数如下表所示:
表中n等于__________.
【解析】有表格可知,每四年举办一次奥运会,由此可得(2012-1896÷
4+1=30【答案】30
【点评】考查了规律型:
数字的变化,此题属于规律性题目,解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律,按照此规律再进行计算即可.
16.(2012·
湖北省恩施市,题号16分值4观察下表:
根据表中数的排列规律,B+D=_________.
【解析】B所在行的规律是每个数字等于前两个数字的和,所以A=3,B=8;
D所在行的规律是关于数字20左右对称,即D=15,所以B+D=23.
【答案】23
【点评】本题主要考查了学生观察和归纳能力,会从所给的数据和表格中寻求规律进行解题.找规律的问题,首先要从最基本的几个数字或图形中先求出数值,并进一步观察具体的变化情况,从中找出一般规律.此类问题“横看成岭侧成峰”,随着观察角度的不同可有不同的规律寻求途径,但最总结果应“殊途同归”。
(2012河北省17,3分17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏,规则是:
从前面第一位同学开始,每位同学依次报自己顺序的倒数加1,第1位同学报⎪⎭⎫⎝⎛+111
第2位同学报⎪⎭
⎫
⎝⎛+121,„这样得到的20个数的积为_________________.
【解析】化简各位同学的报数,可得第1一位同学报2,第2位同学报23,第3位同学报34
„第20个同学报2021
根据观察得到的规律,便可求出它们的乘机。
【答案】21
【点评】本题是一道找规律的题型,在教学中,要让学生了解解题的过程,知道来龙去脉,才能增加自己的能力。
难度中等。
20.(2012珠海,20,9分观察下列等式:
12×
231=132×
21,13×
341=143×
31,23×
352=253×
32,34×
473=374×
43,62×
286=682×
26,
„„
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:
①52×
=×
25;
②×
396=693×
.
(2设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤ba+≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a、b,并证明.
【解析】观察上面的等式,发现“数字对称等式”基本特征,猜想并证明表示“数字对称等式”一般规律的
式子.
【答案】(1①275,572;
②63,36;
(2(10a+b=(10b+a
证明:
∵左边=(10a+b=11(10a+b(10b+a
右边=(10b+a=11(10a+b(10b+a
∴左边=右边,原等式成立.
【点评】本是规律探索题.考查学生阅读理解,观察发现,推理证明的学习能力.
14(2012云南省,14,3分分别表示三角形、正方形、五角星.若第一个图形是三角形,则第18个图形是(填图形名称
【解析】主要的是要看清只有三个基本的图形来组成一个规律,三个一组,而且五角星都在最后,前边两个相邻组之间它两的位置互换,三个一组,恰好18个是6组,第18个刚好是第6组最后一个,五角星。
【答案】五角星
【点评】主要考查考生的观察能力和细心程度,要素简单,但要很快找出规律,也要细心揣摩。
此题不难。
16.(2012山西,16,3分如图,是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n个图案中阴影小三角形的个数是.
【解析】解:
由图可知:
第一个图案有阴影小三角形2个.第二图案有阴影小三角形2+4=6个.第三个图案有阴影小三角形2+8=12个,那么第n个就有阴影小三角形2+4(n﹣1=4n﹣2个,
故答案为:
4n﹣2(或2+4(n﹣1
【答案】4n﹣2(或2+4(n﹣1
【点评】本题主要考查了图形有规律的变化,再由图形的规律变化挖掘出规律,解决此种类型的关键是分别数清每一个图形中的三角形个数,再由此猜想发现规律,从而写出最终结果.难度中等.
17.(2012山东东营,17,4分在平面直角坐标系xOy中,点
A,
A,„和
B,
B,„分别在直线ykxb
=+
和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,„都是等腰直角三角形,如果A1(1,1,
A2(
27,那么点nA的纵坐标是.【解析】把A1(1,1,A2(
23,27分别代入ykxb=+,可求得k=15,b=45,,所以14
55
yx=+,与x轴交点代坐标为(-4,0,设A3的纵坐标为m,则
141423mm
+=
+++,解得m=2
93(42=,同理可得A4的纵坐标为3
(2
„„,nA的纵坐标是1
23-⎪
⎭
⎝⎛n。
【答案】1
⎝⎛n
【点评】抓住坐标间的变化规律是解题的关键,解此类规律探索题一般可采用从特殊一般的归纳法。
21.(2012广东汕头,21,7分观察下列等式:
第1个等式:
a1=
=×
(1﹣;
第2个等式:
a2=
(﹣;
第3个等式:
a3=
第4个等式:
a4=
„
请解答下列问题:
(1按以上规律列出第5个等式:
a5
=
;
(2用含有n的代数式表示第n个等式:
an
(n
为正整数;
(3求a1+a2+a3+a4+„+a100的值.
专项二规律探索型问题
(2011山东省潍坊市,题号17,分值317、右图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:
(127531-+⋅⋅⋅++++n=.(
是正整数表示,用nn
考点:
数学归纳法,规律探索题
当2=n时:
(2
24122131==-⨯+=+
当3=n时:
3913231531==-⨯++=++
当4=n时:
4161425317531==-⨯+++=+++
猜想:
(127531-+⋅⋅⋅++++n=2
n
在求解规律探索问题时,常常通过特殊到一般,通过特殊值时的结论,总结一般的结论。
16.(湖南株洲市3,16一组数据为:
2,4,8,xxxx--观察其规律,推断第n个数据应为【解析】从一组数据第一个数据的系数是正数,第二个数据的系数是负数,字母的次数从1,2,3依次排列,所以1
1(12nnnx+--【答案】1
1(1
2nnnx+--
【点评】根据题目的条件列出算式,找出算式中的规律得出乘积。
10.(2012浙江丽水3分,10题小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,·
·
成为三角形数,类似地,图2中的4,8,12,16,·
称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是(
A.2010B.2012C.2014D.2016
【解析】:
图1中棋子颗数都是3的倍数,图2中棋子颗数都是4的倍数,要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数,也即棋子颗数是12的倍数,通过计算可知,只有2016=168×
4能被4整除.
【答案】:
D
【点评】:
本题主要考查规律探索,做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.
9(2012重庆,9,4分下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,„,则第⑥个图形中五角星的个数为
(
仔细观察图形的特点,它们都是轴对称图形,每一排的个数都是偶数,分别是2,4,6,„6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为:
2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.答案:
观察图形,寻找规律,是解决此类问题的关键,本题也可观察每一列的特点,求出答案。
14.(2012山东省荷泽市,14,3一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和,例如:
23
33
和43
分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和,即23
=3+5;
33
=7+9+11;
43
=13+15+17+19;
„„;
若63
也按照此规律来进行“分裂”,则63
“分裂”出的奇数中,最大的那个奇数是
_____.
【解析】根据题意,得53
=21+23+25+27+29,63
=31+33+35+37+39+41,所填41.【答案】41
【点评】根据题目所提供的规律,继续出探索出符合题意的一些特征,最终得出符合条件的数据.
16.(2012广州市,16,3分如图5,在标有刻度的直线L上,从点A开始,以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;
以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;
以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;
以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;
以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆;
„„,按此规律,继续画半圆,则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍,第n个半圆的面积为。
(结果保留π
【解析】根据规律找出每个半圆的半径,第n个半圆的直径为2n-1
。
【答案】第4个半圆的面积:
第3个半圆面积=12π(12×
82:
12π(12
×
82
=4.第n个半圆的面积为
2n-12=π22n-5
【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。
8.(2012江苏盐城,8,3分已知整数a1,,a2,a3,a4,„满足下列条件:
a1=0,a2=-11a+,a3=-22a+,a4=-33a+,„依次类推,则a2012的值为A.-1005B.-1006C.-1007D.-2012
【解析】本题考查了有理数的计算规律.掌握探索规律的方法是关键.先由已知条件分别计算出a1,,a2,a3,a4„的值,再寻找规律
【答案】由于a1=0,a2=-
11
a+=-1,a3=-
a+=-1,a4=-
a+=-2,
a5=-2,a6=-3,a7=-3,a8=-4,a9=-4,a10=-5,a11=-5,a12=-6,„„,所以a2012=-
=-1006,故选B.
【点评】题考查探索、归纳和猜想的能力.探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行归纳与猜想.
10.(2012浙江省绍兴,10,3分如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P1;
设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于P2;
设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;
„;
设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn-1重合,折痕与AD交于点Pn(n>
2,则AP6的长为(
第10题图
A.125235⨯B.95253⨯C.146235⨯D.11
7253⨯
【解析】解析:
在Rt△ABC中,AC=4,AB=3,所以BC=5,又D是BC的中点,所以AD=
5
因为点A、D是一组对称点,所以AP1=52×
12,因为是D1是DP1的中点,所以AD1=52×
32,即AP2=52×
12,同理AP3=52×
(32×
122,„APn=52×
12n-1,所以AP6=52×
12
5=5
12532⨯,
故应选A.【答案】A
【点评】找规律的问题,首先要从最基本的几个图形中先求出数值,并进一步观察具体的变化情况,从中找出一般规律.
14.(2012江苏泰州市,14,3分根据排列规律,在横线上填上合适的代数式:
x,3x2,5x3,,9x5,„.
【解析】看系数是1,3,5,7,„,第四项应是7,看指数第第四项是x4第四项是7x4
【答案】7x4
【点评】本题主要考查规律探索,做此类问题关键在细心观察、认真分析,如果次数较少可按规律一次写下去
10.(2012贵州铜仁,10,4分如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,„„则第⑩个图形中平行四边形的个数是(
A.54B.110C.19D.109
【解析】仔细观察图形可得,图形①中1=1×
1+0,图形②中5=2×
2+1,图形③中11=3×
3+2,„„,依次类推,∴第⑩个图形中平行四边形的个数是10×
10+9=109
【解答】D.
【点评】本题考查了图形的变化规律,较难.探索规律的问题是近几年数学中考的一个“热门”题型.解决这类问题的基本思路是:
通过观察、分析若干特殊情形,归纳总结出一般性结论,然后验证其结论的正确性.
15.(2012湖北随州,15,4分平面内不同的两点确定一条直线,不同的三点最多确定三条直线。
若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线,则n的值为______________。
6
设有n个点时,
(1
15
nn-
=,解得n=6或n=-5(舍去.
6
10题图
本题是个规律性题目,关键知道当不在同一平面上的n个点时,可确定(1
nn条直线,再代入15可求出解.
16.(2012山东德州中考,16,4,如图,在一单位为1的方格纸上,△123AAA,△345AAA,△567AAA,„„,都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6,„„的等腰直角三角形.若△123AAA的顶点坐标分别为1A(2,0,2A(1,-1,
3A(0,0,则依图中所示规律,2012A的坐标为.
16.【解析】画出图像可找到规律,下标为4n(n为非负整数的A点横坐标为2,纵坐标为2n,则2012A的坐标为(2,1006.【答案】(2,1006
【点评】这类问题要善于总结,正确分析出题中所隐含的规律.24.(2012四川内江,24,6分设ai≠0(i=1,2,„„2012,且满足
aa+
aa+„+
20122012
aa=1968,
则直线y=aix+i(i=1,2,„2012的图象经过第一、二、四象限的概率为.【解析】因为
aa可能等于1,也可能等于-1,类似的
aa,„,
aa都具有这种现象,而
aa=1968,从
aa到
aa又有2012个比值,2012-1968=44,所以
a
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