牛吃草问题练习及答案.docx
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牛吃草问题练习及答案.docx
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牛吃草问题练习及答案
牛吃草问题
历史起源:
英国数学家牛顿(1642—1727)说过:
“在学习科学的时候,题目比规则还有用些”因此在他的著作中,每当阐述理论时,总是把许多实例放在一起。
在牛顿的《普遍的算术》一书中,有一个关于求牛和头数的题目,人们称之为牛顿的牛吃草问题。
主要类型:
1、求时间
2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法,在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。
基本思路:
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后,已知头数求时间时,我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时,同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”,求出只数。
基本公式:
解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是∶
(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
第一种:
一般解法
“有一牧场,已知养牛27头,6天把草吃尽;养牛23头,9天把草吃尽。
如果养牛21头,那么几天能把牧场上的草吃尽呢?
并且牧场上的草是不断生长的。
”
一般解法:
把一头牛一天所吃的牧草看作1,那么就有:
(1)27头牛6天所吃的牧草为:
27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
)
(2)23头牛9天所吃的牧草为:
23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
)
(3)1天新长的草为:
(207-162)÷(9-6)=15
(4)牧场上原有的草为:
27×6-15×6=72
(5)每天新长的草足够15头牛吃,21头牛减去15头,剩下6头吃原牧场的草:
72÷(21-15)=72÷6=12(天)
所以养21头牛,12天才能把牧场上的草吃尽。
第二种:
公式解法
有一片牧场,草每天都匀速生长(草每天增长量相等),如果放牧24头牛,则6天吃完牧草,如果放牧21头牛,则8天吃完牧草,假设每头牛吃草的量是相等的。
(1)如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草?
(2)要使牧草永远吃不完,最多可放多少头牛?
解答:
1) 草的生长速度:
(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)
原有草量:
21×8-12×8=72(份)
16头牛可吃:
72÷(16-12)=18(天)
2) 要使牧草永远吃不完,则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数
所以最多只能放12头牛。
例题一一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周,那么这片草地可供21头牛吃几周?
解:
把每天每头牛吃的草量看成“1”。
第6周时总草量为:
6×27=162
第9周时总草量为:
9×23=207
3周共增加草量:
207-162=45
每周新生长草:
45÷(9-6)=15即每周生长出的草可以供15头牛吃。
原有草量为:
162-6×15=72
所以可供21头牛吃:
72÷(21-15)=12(周)
随堂练习:
1、牧场上有一片草地,每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天,或可供15头牛吃10天,问可供25头牛吃几天?
解:
20天时草地上共有草:
10×20=200
10天时草地上共有草:
15×10=150
草生长的速度为:
(200-150)÷(20-10)=5
即每天生长的草可供5头牛吃。
原草量为:
200-20×5=100
可供25头牛吃:
100÷(25-5)=5(天)
2、一片草地,每天都匀速长出青草。
如果可供24头牛吃6天,或20头牛吃10天吃完。
那么可供19头牛吃几天?
解:
6天时共有草:
24×6=144
10天时共有草:
20×10=200
草每天生长的速度为:
(200-144)÷(10-6)=14
原有草量:
144-6×14=60
可供19头牛:
60÷(19-14)=12(天)
3、一片牧场长满草,每天匀速生长,这片牧场可供5头牛吃8天,可供14头牛吃2天,问可供10头牛吃几天?
解:
8天时草的总量为:
5×8=40
2天时草的总量为:
14×2=28
草每天生长的速度为:
(40-28)÷(8-2)=2
即每天生长的草可供2头牛吃。
草地上原有的草为:
28-2×2=24
可供10头牛吃:
24÷(10-2)=3(天)
4、某牧场上的草,若用17人去割,30天可以割尽,若用19人去割,则只要24天便可割尽,问用多少人割,6天可以割尽?
(草匀速生长,每人每天割草量相同)
解:
(17×30-19×24)÷(30-24)=9
17×30-9×30=240
240÷6+9=49(人)
5、武钢的煤场,可储存全厂45天的用煤量。
当煤场无煤时,如果用2辆卡车去运,则除了供应全厂用煤外,5天可将煤场储满;如果用4辆小卡车去运,那么9天可将煤场储满。
如果用2辆大卡车和4辆小卡车同时去运,只需几天就能将煤厂储满?
(假设全厂每天用煤量相等。
)
解:
(45+5)÷5=10(45+9)÷9=645÷(10+6-1)=3(天)
6、林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光,问如果有33只猴子一起吃,则需要几周吃光?
(假定野果生长的速度不变)【浙江2007】4
解:
(21×12-23×9)÷(12-9)=15
23×9-15×9=72
72÷(33-15)=4(周)
7、一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。
问多少头牛5天可以把草吃完?
解:
(10×20-15×10)÷(20-10)=5
10×20-20×5=100
100÷5+5=25(头)
例题二由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长多,反而以固定的速度在减少,照这样计算,某牧场草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天,那么,可供多少头牛吃10天?
解:
5天时草地上共有草:
5×20=100
6天时草地上共有草:
6×15=90
每天草地上的草减少:
(100-90)÷(6-5)=10
原草量为:
100+5×10=150
10天后还剩下的草量:
150-10×10=50
50÷10=5(头)
随堂练习:
1、因天气渐冷,牧场上的草以固定的速度减少。
已知牧场上的草可供33头牛吃5天,或可供24头牛吃6天。
照这样计算,这个牧场可供多少头牛吃10天?
解:
5天时草地上共有草:
33×5=165
6天时草地上共有草:
24×6=144
每天减少:
(165-144)÷(6-5)=21
原有的草量为:
165+5×21=270
10共减少了:
21×10=210
10天后剩草量为:
270-210=60
60÷10=6(头)
2、天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天。
那么可供11头牛吃几天?
解:
5天时共有草:
20×5=100
6天时共有草:
16×6=96
草减少的速度为:
(100-96)÷(6-5)=4
原有的草量为:
100+4×5=120
可供11头牛吃:
120÷(11+4)=8(天)
3、因为天气日渐寒冷,牧场上的草不但不生长,反而以固定的速度每天在减少。
如果20头牛去吃20天可以吃完;如果30头牛去吃15天可以吃完。
那么,如果10头牛去吃____天可以吃完。
解:
(30×15-20×20)÷(20-15)=10
20×20+10×20=600
600÷(10+10)=30(天)
答:
10头牛去吃30天可吃完。
4、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供12头牛吃7天。
照此计算,可供6头牛吃几天?
解:
假设1头牛1天吃1份的草
20头牛5天一共吃了:
20×5=100份的草
12头牛7天一共吃了:
12×7=84份的草
时间相差:
7-5=2(天)
草量减少:
100-84=16份的草
说明,一天减少:
16÷2=8份的草
5天减少了:
8×5=40份的草
原来牧场上有:
100+40=140份的草
这140份的草,可供6头牛吃:
140÷(6+8)=10(天)
例题三自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼,已知男孩每分钟走20级台阶,女孩每分钟走15台阶,结果男孩用5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上。
问该扶梯共有多少级台阶?
解:
5分钟时男孩共走了:
20×5=100(台阶)
6分钟时女孩共走了:
15×6=90(台阶)
自动扶梯的速度为:
(100-90)÷(6-5)=10(台阶)
自动扶梯共有:
100+5×10=150(台阶)
随堂练习:
1、两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走,在20秒里,男孩可走27级台阶,女孩可走24级台阶,男孩走了2分钟到另一端,女孩走了3分钟到达另一端,该扶梯共有多少级台阶?
解:
男孩共走了:
2×60÷20×27=162
女孩共走了:
3×60÷20×24=216
自动扶梯的速度:
(216-162)÷(3-2)=54(台阶)
162-54×2=54
2、自动扶梯以均匀的速度行驶着,小明和小红要从扶梯上楼。
已知小明每分钟走25级台阶,小红每分钟走20级台阶,结果小明用5分钟,小红用了6分钟分别到达楼上。
该扶梯共有多少级台阶?
解:
5分钟小明共走了:
25×5=125
6分钟小红共走了:
20×6=120
自动扶梯的速度为:
(125-120)÷(6-5)=5
该扶梯的台阶:
125+5×5=150(台阶)
3、自动扶梯以均匀的速度行驶着,小明和小红要从扶梯上楼。
已知小明每分钟走20级台阶,小红每分钟走14级台阶,结果小明用4分钟,小红用了5分钟分别到达楼上。
该扶梯共有多少级台阶?
解:
5分钟小明共走了:
20×4=80
6分钟小红共走了:
14×5=70
自动扶梯的速度为:
(80-70)÷(6-5)=10
该扶梯的台阶:
80+10×4=120(台阶)
4、自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个性急的孩子嫌扶梯走得慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒钟向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。
结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。
该扶梯共有多少级?
解:
(50×1-60÷3×2)÷(60-50)=1
50×1+50×1=100(级)
例题四一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入舱内,发现漏洞时已经进了一些水,如果用12人舀水,3小时舀完。
如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完。
现在要想2小时舀完水,需要多少人?
解:
把每个人每小时的舀水量看成单位‘1’
3个小时后共有水:
12×3=36
10个小时后共用水:
5×10=50
每小时的进水量:
(50-36)÷(10-3)=2
发现时船舱内有水:
36-3×2=30
原水量舀完共需:
30÷2=15(人)
共需:
15+2=17(人)
随堂练习:
1、一只船发现漏水时,已经进了一些水,现在水匀速进入船内,如果10人淘水,3小时可淘完;5人淘水8小时可淘完。
如果要求2小时淘完,要安排多少人淘水?
解:
3小时后共有水:
3×10=30
8小时后共有水:
8×5=40
进水速度为:
(40-30)÷(8-3)=2
原有水量为:
30-3×2=24
24÷
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