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在分组时要预先观察和想到分组后两组各有的公因式,而且两组之间还能继续提取公因式.分组不是最后的目的,而是通过分组后把问题转化到可以通过提公因式分解因式.怎样选择分组方法是分组分解法的关键.
例2把3ax+4by+4ay+3bx分解因式.
根据这个多项式的特点,想一想怎样选择分组方法?
为什么?
(引导学生观察、分析、思考和讨论.)
把第一项和第四项,第二项和第三项分别组成一组,然后分别从两组中提公因式,即
(3ax+3bx)+(4by+4ay)=3x(a+b)+4y(b+a).
这两组之间又有公因式(a+b),可以继续提取.
解3ax+4by+4ay+3bx=(3ax+3bx)+(4by+4ny)
=3x(a+b)+4y(b+a)
=(a+b)(3x+4y).
在把多项式各项分组时,变形的根据是加法交换律和结合律.
这个多项式还有别的分组方法进行因式分解吗?
(启发学生观察多项式的结构特点,深入思考.)
还可以把多项式的第一与第三项,第二与第四项分别组成一组,这两组可以分别提公因式,即
a(3x+4y)+b(4y+3x),
并且两组间还有公因式(3x+4y),可以继续提出.
解3ax+4by+4ay+3bx=(3ax+4ay)+(4by+3bx)
=a(3x+4y)十b(4y+3x)
=a(3x+4y)+b(3x+4y)
=(3x+4y)(a+b).
1.通过例2可以看到,根据一个多项式的特点,可以有不同的分组方法,目标是一个,即把多项式因式分解.
2.分组的原则是,把多项式的有关项分成两组(或几组),各组都可提公园式,并且组与组之间还有公因式可继续提取.
3.把多项式进行分组时,运用了加法的交换律和结合律.如果把例1、例2含有四项式的多项式写成一般形式,即
am+an+bm+bn,
用分组分解法把这个多项式分解因式的方法有:
方法1把第一、二项分为一组,第三、四项分为一组,分别提取公因式,即
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b).
方法2把第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,得到
am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)
=m(a+b)+n(a+b)
=(a+b)(m+n).
问:
在例1中,还有没有别的分组方法?
如果把第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,也可以达到分解因式的目的.
解a2-ab+ac-bc=(a2+ac)+(-ab-bc)
=(a2+ac)-(ab+bc)
=a(a+c)-b(a+c)
=(a+c)(a-b).
这种分组方法运用了添括号法则,即添括号后,括号前面是“-”号,括号里面的各项都应改变符号.
例3把2ax-10ay+5by-bx分解因式.
把所给的多项式怎样分组进行因式分解?
有几种分组方法?
根据所给多项式的结构特点,分组的方法有两种,一是可以把第一、第二项分为一组,把第三、第四项分为一组;
二是可以把第一、第四项分为一组,把第二、第三项分为一组,得到两种解法.
解方法一
2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=2a(x-5y)+b(5y-x)
=2a(x-5y)-b(x-5y)
=(x-5y)(2a-b).
方法二
2ax-10ay+5by-bx=(2ax-bx)+(一10ay+5by)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
=(2a-b)(x-5y).
在运用分组法时,选取怎样的分组方法,要灵活,要具体问题具体分析,目的是分组后各组可以直接提公因式,并且每组之间还可以提公因式.添括号时,要注意符号的变化.
例4把5a2-15a+6b-2ab分解因式.
解方法一
5a2-15a+6b-2ab=(5a2-15a)-(2ab-6b)
=5a(a-3)-2b(a-3)
=(a-3)(5a-2b).
5a2-15a+6b-2ab=(5a2-2ab)-(15a-6b)
=a(5a-2b)-3(5a-2b)
=(5a-2b)(a-3).
三、课堂练习
把下列各式分解因式:
(1)20(x+y)+x+y;
(2)p-q+k(p-q);
(3)5m(a+b)-a-b;
(4)2m-2n-4x(m-n);
(5)ac+bc+2a+2b;
(6)a2+ab-ac-bc;
(7)3a-ax-3b+bx;
(8)xy-y2-yz+xz;
(9)5ax+6by+5ay+6bx;
(10)4x2+3z-3xz-4x;
(11)6a2-35xy+10ay-21ax;
(12)ax2+bx2-bx-ax-a-b.
答案:
(1)21(x+y);
(2)(1+k)(p-q);
(3)(a+b)(5m-1);
(4)2(m-n)(1-2x);
(5)(a+b)(c+2);
(6)(a+b)(a-c);
(7)(3-x)(a-b);
(8)(x-y)(y+Z);
(9)(x+y)(5a+6b);
(10)(x-1)(4x-3z);
(11)(3a+5y)(2a-7x);
(12)(a+b)(x2-x-1).
四、小结
1.运用分组分解法把多项式因式分解,关键是结合所给的多项式的结构特点,选择合理的分组方法.根据分组的原则,在含有四项的多项式中,两两分组之后,各组都能提公因式,并且两组之间还可以提公因式.
2.在运用分组分解法把多项式因式分解过程中,经常要用到加法的交换律和结合律,还要用到添括号法则.添括号时,如果括号前面是负号,括号里的各项都应变号.
五、作业
教科书第页
课堂教学设计说明
1.在教学中要启发学生观察所给的多项式的特点,根据分组原则,灵活运用不同的分组方法,达到把多项式分解因式的目的.
2.在分组分解法的教学中,是向学生渗透化归思想方法的好时机.运用提公因式法和公式法不能直接把含有四项的多项式因式分解,但经过合理分组后,把问题转化为可以用学生熟悉的提公因式法分解.这里把“合理分组”作为问题转化的条件和手段.
3.对于例题和课堂练习的设计,选编了可以用不同的分组方法把所给的多项式因式分解的题目,在教学中引导学生观察和分析多项式的结构特点,鼓励他们思考、探索,依据分组原则,用不同的方法把多项式分组.调动学生主动学习的积极性,培养学生的创造性思维.
因式分解之分组分解法的数学思想
因式分解是初等代数中最重要的又最基础的内容之一,不仅要教会学生因式分解的各种方法,而且也要让学生仔细体会其中多种多样的数学思想,初步培养学生对数与式的处理能力。
分组分解法是继提公因式法、运用公式法、十字相乘法之后的重要的因式分解的方法之一,也是前面几种方法的综合和升华。
分组分解法体现的数学思想有逆向思维、分类比较思想、整体化思想……
一、培养学生逆向思维的能力。
因式分解是整式乘法的逆过程,分组分解法是多项式乘多项式的逆过程,它必然与多项式乘多项式有着割不断的联系。
例如要检验分组分解法分得是否正确,只要把分解出来的结果用多项式乘多项式的方法计算一下就知道了,又如下面的一道题:
例1:
若多项式2x2-xy-y2+mx+5y-6可以分解为(x-y+2)(2x+y-3),则m=_______
分析:
利用逆向思维,把(x-y+2)(2x+y-3)结果中含有x的项找出来,分别是-3x、4x,合起来是-3x+4x=x,进一步可知m=1.
因此,当学生觉得无从下手时,应引导他们注意逆过程,说不定可以找到简单的解决问题的途径,这就应验了"
退一部,海阔天空"
的佳句。
二、运用类比法解决因式分解问题。
利用分组法分解因式时,分组的原则是分组后可以分解下去,可以分为三类:
1分组后可直接提公因式;
2分组后可运用公式;
3分组后既可提公因式又可运用公式,给出一个分组分解法分解因式,就要从宏观的角度观察一下各项中的可分解因式的特点,不断尝试,然后归类找到解决的途径。
例如:
例2:
把9m2-6m+2n-n2分解因式
分析:
从微观的角度看与9m2结合后可分解因式的项不止一项,有-6m、-n2,若把9m2、-6m结合,另外把2n、-n2结合虽然分解后局部可实施因式分解,但最终不能实现因式分解;
若把9m、-n2结合,再把-6m、2n结合,不仅局部可实施因式分解,而且最终能够实现因式分解,因此要从宏观的角度来寻找分组的方法。
例3:
把x2+5xy+6y2+x+3y分解因式
项数超过四项时,难度就自然增加了,这时候就应该考虑到把三项分为一组的可能,把这个多项式的项分一下类就可发现x2、5xy、6y2为二次项,x,3y为一次项,这样就可解决问题了。
有了这个基础,我们就可分解a2+4ab+4b2+5a+10b+6这个多项式了
类似于例3的这种分组方法,有些特殊情况也不适用。
又如:
例4:
把a2-2ab+4a-4b+4分解因式
如果再按照次数分,就根本实现不了因式分解。
必须换个角度,若还是要把三项分成一组,a2与4a、4组合起来可组成完全平方式,再把剩下的分成一组,就可以实现因式分解了。
像例4那样利用完全平方式分组常常也是突破分组分解法的关键,特别当两项两项分组不行、或者项数超过四项时,这就要考虑能否凑成完全平方式来进行。
再如:
例5:
把x4-x2+8x-16分解因式
两项两项分组不行,但-x2+8x-16是完全平方式,从这个角度分组可实现因式分解了。
因式分解的分组分解法的类型很多,不能把一个具体的因式分解机械地定在一类的因式分解上,应引导学生不断尝试,变换思维角度,分析比较,最后找到实现因式分解的分组途径,鼓舞学生克服困难,战胜困难的勇气。
三、渗透整体化思想的意识。
学生能否正确地运用分组分解法实现因式分解,还取决于他们有没有整体化思想意识。
一般地,提取公因式分解因式时,ma+mb+mc=m(a+b+c)中m不仅可以代表单项式,也可以代表多项式,代表单项式时,学生很容易理解和接受;
代表多项式时,学生在理解上就有困难了,如例2中可分解为(3m+n)(3m-n),例3中分解为(x+3y)(x+2y)+(x+3y),这时候应把(3m-n)、(x+y)看作整体m提取出来完成因式分解,又如分解a2+4ab+4b2+5a+10b+6,可分解为(a+2b)2+5(a+2b)+6,应把(a+2b)看作整体利用十字相乘法再分解……。
这就要求学生具备一定的整体化思想意识,在教学中要不断注意培养他们的这种数学思想并加以重视,增强学生对问题的宏观控制和分析。
因此在数学教学中,不仅要学生传授数学知识,而且要向学生渗透所涉及的重要思想,这样才能将数学知识融会贯通,触类旁通。
例析“十字相乘法分解因式”
湖北省黄石市下陆中学 陈 勇
同学们都知道,
型的二次三项式是分解因式中的常见题型,那么此类多项式该如何分解呢?
观察
=
,可知
。
这就是说,对于二次三项式
,如果常数项b可以分解为p、q的积,并且有p+q=a,那么
这就是分解因式的十字相乘法。
下面举例具体说明怎样进行分解因式。
例1、
因式分解
因为
7x
+
(-8x)=-x
解:
原式=(x+7)(x-8)
例2、
因为
-2x+(-8x)=-10x
原式=(x-2)(x-8)
例3、
该题虽然二次项系数不为1,但也可以用十字相乘法进行因式分解。
因为
9y
10y=19y
原式=(2y+3)(3y+5)
例4、
21x+(-18x)=3x
原式=(2x+3)(7x-9)
例5、
该题可以将(x+2)看作一个整体来进行因式分解。
-25(x+2)+[-4(x+2)]=-29(x+2)
原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]
=(2x-1)(5x+8)
例6、
该题可以先将(
)看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘。
-2
+[-12
]=-14
a
(-2a)=-a
3a
+(-4a)=-a
原式=[
-2][
-12]
=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便,大家一定要熟练掌握。
但要注意,并不是所有的二次三项式都能进行因式分解,如
在实数范围内就不能再进一步因式分解了
因式分解的一点补充——十字相乘法
宜昌九中尤启平
1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解;
2.进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
重点:
正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。
难点:
灵活运用十字相乘法因分解式。
教学过程设计
一、导入新课
前一节课我们学习了关于x2+(p+q)x+pq这类二次三项式的因式分解,这类式子的特点是:
二次项系数为1,常数项是两个数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和。
因此,我们得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
课前练习:
下列各式因式分解
1.-x2+2x+152.(x+y)2-8(x+y)+48;
3.x4-7x2+18;
4.x2-5xy+6y2。
答:
1.-(x+3)(x-5);
2.(x+y-12)(x+y+4);
3.(x+3)(x-3)(x2+2);
4.(x-2y)(x-3y)。
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解,也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢?
这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
二、新课
例1把2x2-7x+3因式分解。
先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。
分解二次项系数(只取正因数):
2=1×
2=2×
1;
分解常数项:
3=1×
3=3×
1=(-3)×
(-1)=(-1)×
(-3)。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
11131-11-3
2×
32×
12×
-32×
-1
1×
3+2×
11×
1+2×
31×
(-3)+2×
(-1)1×
(-1)+2×
(-3)
=5=7=-5=-7
经过观察,第四种情况是正确有。
这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7。
解2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)。
一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2排列如下:
a1c1
a2×
c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
像这种借助开十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法。
例2把6x2-7x-5分解因式。
分析:
按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种
21
3×
-5
2×
(-5)+3×
1=-7
是正确的,因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。
解6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)。
指出:
通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数。
例如把x2+2x-15分解因式,十字相乘法是
1-3
1×
5
1×
5+1×
(-3)=2
所以x2+2x-15=(x-3)(x+5)。
例3把5x2+6xy-8y2分解因式。
这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
12
5×
-4
(-4)+5×
2=6
解5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)。
原式分解为两个关于x,y的一次式。
例4把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式。
这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先化简,进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解。
问:
两个乘积的式子有什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用址字相乘法分解因式了。
解(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-21-2
=2(x-y)2-3(x-y)-22×
+1
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]1×
(-2)=-3
=(x-y-2)(2x-2y+1)。
把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法。
三、课堂练习
1.用十字相乘法因式分解:
(1)2x2-5x-12;
(2)3x2-5x-2;
(3)6x2-13x+5;
(4)7x2-19x-6;
(5)12x2-13x+3;
(6)4x2+24x+27。
2.把下列各式因式分解:
(1)6x2-13x+6y2;
(2)8x2y2+6xy-35;
(3)18x2-21xy+5y2;
(4)2(a+b)2+(a+b)(a-b)-6(a-b)2。
答案:
1.
(1)(x-4)(2x+3);
(2)(x-2)(3x+1);
(3)(2x-1)(3x-5);
(4)(x-3)(7x+2);
(5)(3x-1)(4x-3);
(6)(2x+3)(2x+9)。
2.
(1)(2x-3y)(3x-2y);
(2)(2xy+5)(4xy-7);
(3)(3x-y)(6x-5y);
(4)(3a-b)(5b-a)。
1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时,应注意以下问题:
(1)正确的十字相乘必须满足以下条件:
在式子中,竖向的两个数必须满足关系a1a2=a,c1c2=c;
在上式中,斜
a2c2
向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b,分解思路为“看两端,凑中间。
”
(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时,图的上一行两个数中,a1是第一个因式中的一次项系数,c1是常数项;
在下一行的两个数中,a2是第二个因式中的一次项的系数,c2是常数项。
(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数,则应提出负号,利用恒等变形把它转化为正数),只需把经分解在两个正的因数。
2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式,有些也可以用十字相乘法分解因式,如例4。
1.用十字相乘法分解因式:
(1)2x2+3x+1;
(2)2y2+y-6;
(3)6x2-13x+6;
(4)3a2-7a-6;
(5)6x2-11xy+3y2;
(6)4m2+8mn+3n2;
(7)10x2-21xy+2y2;
(8)8m2-22mn+15n2。
2.把下列各式分解因式:
(1)4n2+4n-15;
(2)6a2+a-35;
(3)5x2-8x-13;
(4)4x2+15x+9;
(5)15x2+x-2;
(6)6y2+19y+10;
(7)20-9y-20y2;
(8)7(x-1)2+4(x-1)(y+2)-20(y+2)2。
1.
(1)(2x+1)(x+1);
(2)(y+2)(2y-3);
(3)(2x-3)
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