六年纪 数与代数Word下载.docx
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1、倒数的意义:
乘积是1的两个数互为倒数。
强调:
互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。
(要说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法:
(原数与倒数之间不要写等号哦)
(1)求分数的倒数:
交换分子分母的位置。
(2)求整数的倒数:
把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。
(3)求带分数的倒数:
把带分数化为假分数,再求倒数。
(4)求小数的倒数:
把小数化为分数,再求倒数。
3、因为1×
1=1,1的倒数是1;
因为找不到与0相乘得1的数0没有倒数。
4、对于任意数a(a≠0),它的倒数为1/a;
非零整数a的倒数为1/a;
分数b/a的倒数是a/b;
5、真分数的倒数大于1;
假分数的倒数小于或等于1;
带分数的倒数小于1。
(二)分数除法
1、分数除法的意义:
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则:
除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
3、规律(分数除法比较大小时):
(1)当除数大于1,商小于被除数;
(2)当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
(3)、当除数等于1,商等于被除数。
4、“[]”叫做中括号。
一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。
(三)分数除法解决问题(详细见重难点分解)
(未知单位“1”的量(用除法):
已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。
)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”:
(2)分率前是“多或少”的意思:
(1分率)=分率对应量
2、解法:
(建议:
最好用方程解答)
(1)方程:
根据数量关系式设未知量为x,用方程解答。
(2)算术(用除法):
分率对应量÷
对应分率=单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几:
就用一个数÷
另一个数
4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:
①求多几分之几:
大数÷
小数–1
②求少几分之几:
1-小数÷
大数
或①求多几分之几(大数-小数)÷
小数
(大数-小数)÷
(四)比和比的应用
1、比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)。
例如
15:
10=15÷
10=1.5
∶∶∶∶
前项比号后项比值
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。
也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。
例:
路程÷
速度=时间。
4、区分比和比值
比:
表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。
比值:
相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。
6、比和除法、分数的联系:
7、比和除法、分数的区别:
除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2:
0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。
(五)比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系:
商不变的性质:
被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。
比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2、最简整数比:
比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比:
(1)用比的基本性质化简
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比:
用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比:
向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。
(2)用求比值的方法。
注意:
最后结果要写成比的形式。
5.按比例分配:
把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种方法通常叫做按比例分配。
如:
已知两个量之比为,则设这两个量分别为。
6、路程一定,速度比和时间比成反比。
(如:
路程相同,速度比是4:
5,时间比则为5:
4)
工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。
工作总量相同,工作时间比是3:
2,工作效率比则是2:
3)
三、百分数
(一)百分数的意义和写法
1、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。
2、百分数和分数的主要联系与区别:
(1)联系:
都可以表示两个量的倍比关系。
(2)区别:
①意义不同:
百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具本数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;
分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法:
通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。
(二)百分数与小数的互化:
1、小数化成百分数:
把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
2.百分数化成小数:
把小数点向左移动两位,同时去掉百分号。
(三)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数:
先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否100的分数,能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数:
①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。
②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
(四)常见的分数与小数、百分数之间的互化
(五)用百分数解决问题(详细见重难点分解)
【知识要点】
一、“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”是分数应用题解题的根本依据,结合分数的定义来理解,就是把一个数(或是整体)平均分成分母份,取分子份。
二、分数、百分数应用题的主要类型:
所有分数与百分数的应用题都是围绕“单位“1”×
分率=对应量”这个关系式来出题,所以可以分为求对应量、求单位“1”、求分率三大类:
第一大类:
求对应量,也就是已知单位“1”和所求量在单位“1”中占的分率。
第二大类:
求单位“1”,也就是已知一个数量与它在所求量中占的分率,这类题一般是已知部分量求整体量,尤其是在扇形统计图的题中最能体现,此类题最关键的是要“量率对应”。
第三大类:
求分率,也就是已知两个数量,要求其中一个量在另一个量中所占的分率,或者要求一个量比另一个量多或少几(百)分之几
(1)求B是A的几(百)分之几:
用“B÷
A”
(2)求B比A多(少)几(百)分之几
(大数—小数)÷
单位“1”或者说是两数之差÷
单位“1”
注:
单位“1”就是指“标准量”,也就是在描述两个量的关系时,是以哪个量为标准,那个量就叫单位“1”,例如:
小明比小红高1%,这里是以小红的身高为标准,因此小红的身高是单位“1”。
一般在题中,只需要找到“是”、“占”、“比”、“相当于”等字词,这些字词后面跟着的量就是单位“1”,除此之外,总数,原价,原来的量是固定的单位“1”。
三、较复杂的分数(百分数)应用题是基本分数应用题的延续和发展,它的特点是已知条件之间、已知条件和所求问题之间不再有直接的对应量率关系。
解题时一定要找准标准量(单位“1’),找准“与量对应的率”、“与率对应的量”,并利用线段图来帮助理解题意,分析数量关系。
四、百分率问题:
优秀率=
优秀人数÷
总人数×
100%
成活率=成活棵树÷
总棵树×
100%
花生出油率=花生油重量÷
花生重量×
合格率=合格人数÷
出粉率=面粉质量÷
小麦质量×
百分率=部分数÷
总数×
现实生活中还有“及格率”、“出勤率”、“合格率”、“达标率”、“利润率”等含意相近的词,我们要灵活运用(百)分数知识,解决这些实际问题。
五、按比例分配问题:
按比例分配:
把一个数按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫做按比例分配。
解答按比例分配问题,要根据已知条件,把已知数量与份数对应起来,转化为求一个数的几分之几来做。
六、工程问题。
解题指导:
“工程问题”指的都是两个人以上合作完成某一项工作,有时还将内容延伸到相遇运动和向水池注水等等。
解答工程问题时,一般都是把总工作量看作单位“1”,把单位“1”除以工作时间看成工作效率,因此,工作效率就是工作时间的倒数。
工程问题关系式是:
工作总量÷
工作效率=工作时间工作总量÷
工作效率和=合作时间
在题目中没有给出工程的工作总量是多少,解题时就用1来表示工作总量,用时间的倒数表示工作效率。
分数乘法
(一)、分数乘法的计算法则:
(二)、规律:
(乘法中比较大小时)
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
(三)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
(四)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。
a×
b=b×
a
乘法结合律:
(a×
b)×
c=a×
(b×
c)
(a+b)×
c=ac+bc
ac+bc=(a+b)×
二、分数乘法的解决问题
或
“占”、“是”、“比”的后面
(1)“的”
相当于
“×
”
“占”、“是”、“比”相当于“=”
单位“1”的量×
三、倒数
乘积是1的两个数互为倒数。
(1)、求分数的倒数:
(2)、求整数的倒数:
(3)、求带分数的倒数:
(4)、求小数的倒数:
3、1的倒数是1;
0没有倒数。
因为1×
1=1;
0乘任何数都得0,(分母不能为0)
4、
对于任意数,它的倒数为;
非零整数的倒数为;
分数的倒数是;
分数除法
一、
分数除法
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
3、
规律(分数除法比较大小时):
(1)、当除数大于1,商小于被除数;
(2)、当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
“”叫做中括号。
一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,
再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
分率对应量÷
对应分率=单位“1”的量
就
一个数÷
小数–1
②求少几分之几:
1-
小数÷
大数
或①求多几分之几(大数-小数)÷
小数②求少几分之几:
三、比和比的应用
(一)、比的意义
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
例如
15:
10=15÷
10=
(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)
∶
前项
比号
后项
比值
6、 比和除法、分数的联系:
比
前
项
比号“:
后项
比值
除法
被除数
除号“÷
除数
商
分数
分
子
分数线“—”
分母
分数值
体育比赛中出现两队的分是2:
(二)、比的基本性质
(1)
②两个分数的比:
15∶10=15÷
10=
=3∶2
6、
路程一定,速度比和时间比成反比。
工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。
工作总量相同,工作时间比是3:
2,工作效率比则是2:
圆
认识圆
1、圆的定义:
圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心:
将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。
所有的半径都相等,所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的。
用字母表示为:
d=2r或r=
8、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)
9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有:
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是:
长方形
只有3条对称轴的图形是:
等边三角形
只有4条对称轴的图形是:
正方形;
有无数条对称轴的图形是:
圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C表示。
2、圆周率实验:
在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。
发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。
3.圆周率:
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。
用字母π(pai)表示。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。
在计算时,一般取π≈3.14。
(2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是3.14倍。
(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式:
C=πd
d=C÷
π
或C=2πr
r=C÷
2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长:
周长的一半:
等于圆的周长÷
2
计算方法:
2πr÷
2
即
πr
(2)半圆的周长:
等于圆的周长的一半加直径。
πr+2r
三、圆的面积
1、圆的面积:
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导:
(1)、用逐渐逼近的转化思想:
体现化圆为方,化曲为直;
化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体。
(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。
(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径
=
长方形的宽
圆的周长的一半
长方形的长
因为:
长方形面积
长
×
宽
所以:
圆的面积=圆周长的一半×
圆的半径
S圆=πr×
r
圆的面积公式:
S圆=
πr2
4、环形的面积:
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。
(R=r+环的宽度.)
S环=πR²
-πr²
或
环形的面积公式:
S环
=π(R²
-r²
)。
5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如:
在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。
6、两个圆:
半径比=直径比=周长比;
而面积比等于这比的平方。
两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:
4∶π
8、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。
反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。
9、确定起跑线:
(1)、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
(2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。
(因此起跑线不同)
(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是:
2×
π×
跑道的宽度
(4)、当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;
当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。
11、常用各π值结果:
π=3.14
2π=6.28
3π=9.42
5π=15.7
6π=18.84
7π=21.98
9π=28.26
10π=31.4
16π=50.24
36π=113.04
64π=200.96
96π=301.44
4π=12.56
8π=25.12
25π=78.5
12、常用平方数结果
=121
=144
=169
=196
=225
=256
=289
=324
=361
百分数
一、百分数的意义和写法
2、
千分数:
表示一个数是另一个数的千分之几。
百分数和分数的主要联系与区别:
联系:
(2)
区别:
①、意义不同:
百分数只表示两个数的倍比关系,不能表
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