极坐标方程与直角坐标方程的互化Word文档格式.docx
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设与圆(是参数)相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积。
6.(本题满分lO分)
4—4(坐标系与参数方程)
在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极方程
为.圆O的参数方程为,(为参数,)
(I)求圆心的极坐标;
(Ⅱ)当为何值时,圆O上的点到直线Z的最大距离为3.
6.
(1)圆心坐标为------1分
设圆心的极坐标为
则-----2分
所以圆心的极坐标为------4分
(2)直线的极坐标方程为
直线的普通方程为----6分
圆上的点到直线的距离
即-----7分
圆上的点到直线的最大距离为-----9分
----10分
7.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程选讲
已知直线的参数方程为:
(t为参数),曲线C的极坐标方程为:
.
(1)求曲线C的普通方程;
(2)求直线被曲线C截得的弦长.
7.
(1)由曲线
得化成普通方程
①5分
(2)方法一:
把直线参数方程化为标准参数方程
(为参数)②
把②代入①得:
整理,得
设其两根为,
则8分
从而弦长为10分
方法二:
把直线的参数方程化为普通方程为
,
代入
得6分
设与C交于
10分
1、(09广东理14)(坐标系与参数方程选做题)若直线(t为参数)与直线垂直,则常数=.
【解析】将化为普通方程为,斜率,
当时,直线的斜率,由得;
当时,直线与直线不垂直.
综上可知,.
答案
3、(天津理13)设直线的参数方程为(t为参数),直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______
【解析】由题直线的普通方程为,故它与与的距离为。
4、(09安徽理12)以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中
取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方程为,它与曲线
(为参数)相交于两点A和B,则|AB|=_______.
【解析】直线的普通方程为,曲线的普通方程
∴
6、(09海南23)(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程。
已知曲线C:
(t为参数),C:
(为参数)。
(1)化C,C的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C上的点P对应的参数为,Q为C上的动点,求中点到直线
(t为参数)距离的最小值。
解:
(Ⅰ)
为圆心是(,半径是1的圆.
为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
(Ⅱ)当时,
为直线
从而当时,
C.选修4-4:
已知曲线C的参数方程为(为参数,).
求曲线C的普通方程。
【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识,考查转化问题的能力。
满分10分。
解因为所以
故曲线C的普通方程为:
.
10、(09辽宁理23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos()=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点。
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程。
解(Ⅰ)由
从而C的直角坐标方程为
(Ⅱ)M点的直角坐标为(2,0)
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为
所以直线OP的极坐标方程为
1.(2008广东理)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方
程分别为,,
则曲线与交点的极坐标为.
5.(2008宁夏理)(10分)选修4-4:
已知曲线C1:
,曲线C2:
(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数;
(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线,.写出
,的参数方程.与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?
说
明你的理由.
解
(1)是圆,是直线.
的普通方程为,圆心,半径.
的普通方程为.
因为圆心到直线的距离为,
所以与只有一个公共点.
(2)压缩后的参数方程分别为
:
(为参数);
:
(t为参数).
化为普通方程为:
,:
联立消元得,
其判别式,
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点,和与公共点个数相同.
C:
选修4-4:
在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆上的一个动点,
求S=x+y的最大值.
C.解:
由椭圆
故可设动点P的坐标为(),其中
因此,
所以当
1、(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)极坐标方程=cosθ化为直角坐
标方程为()
A.(x+)2+y2=B.x2+(y+)2=
C.x2+(y-)2=D.(x-)2+y2=
答案D.
4、(2009广州一模)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线ρsin(θ+)=2被圆
ρ=4截得的弦长为.
7、(2009广东三校一模)(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为和
的两个圆的圆心距为____________;
11、(2009东莞一模)(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中,点
到直线的距离为.
13、(2009江门一模)(坐标系与参数方程选做题)是曲线
(是参数)上一点,到点距离的最小值是.
16、(2009茂名一模)(坐标系与参数方程选做题)把极坐标方程化为直角
坐标方程是.
22、(2009韶关一模)在极坐标系中,圆心在且过极点的圆的方程为_.
25、(2009深圳一模)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,曲线的参数方程为
,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线在极坐标系中的方程为.若曲线与有两个不同的交点,则实数的取值范围是.
28、(2009湛江一模)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若过点且与极轴
垂直的直线交曲线于A、B两点,则__________.
41、(2009厦门一中)(极坐标与参数方程)已知直线经过点,倾斜角,设与曲线(为参数)交于两点,求点到两点的距离之积。
解直线的参数方程为,即
曲线的直角坐标方程为,把直线代入
得
,则点到两点的距离之积为
42、(2009厦门二中)(极坐标与参数方程)已知直线的参数方程:
(为参
数),圆C的极坐标方程:
,试判断直线与圆C的位置关系.
解将直线的参数方程化为普通方程为:
将圆C的极坐标方程化为普通方程为:
从圆方程中可知:
圆心C(1,1),半径,
所以,圆心C到直线的距离
所以直线与圆C相交.
43、(2009厦门集美中学)(极坐标与参数方程)求曲线过点的切线方程.
,消去参数得.
设切线为,代入得
令,得,故即为所求.
或,设切点为,则斜率为,解得,
即得切线方程.
44、(2009厦门乐安中学)(极坐标与参数方程)在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值.
解将极坐标方程转化为普通方程:
可化为
在上任取一点A,则点A到直线的距离为
它的最大值为4
45、(2009厦门十中)(极坐标与参数方程)已知圆C的参数方程为,若P是圆C与x轴正半轴的交点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点P的圆C的切线为l,求直线l的极坐标方程.
解由题设知,圆心
∠CPO=60°
故过P点的切线飞倾斜角为30°
设,是过P点的圆C的切线上的任一点,则在△PMO中,
∠MOP=
由正弦定理得
,即为所求切线的极坐标方程。
46、(2009厦门英才学校)(极坐标与参数方程)求极坐标系中,圆上的点到直线的距离的最小值.
解由即则易得,由易得圆心到直线的距离为
又圆的半径为2,圆上的点到直线的距离的最小值为.
53、(2009通州第四次调研)求经过极点三点的圆的极坐标方程.
解将点的极坐标化为直角坐标,点的直角坐标分别为,
故是以为斜边的等腰直角三角形,圆心为,半径为,
圆的直角坐标方程为,即,
将代入上述方程,得,
即.
54、(2009盐城中学第七次月考)若两条曲线的极坐标方程分别为与,它们相交于两点,求线段的长.
解由得,
又
由得,
1.(2009番禺一模)在直角坐标系中圆的参数方程为
(为参数),若以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆的极坐标方程为________.
16.(2009厦门同安一中)(极坐标与参数方程)若两条曲线的极坐标方程分别为=l与=2cos(θ+eq\f(π,3)),它们相交于A,B两点,求线段AB的长.
.……7分
17.(2009厦门北师大海沧附属实验中学)(极坐标与参数方程)以直角坐标系的原点O
为极点,x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为(4,eq\f(p,2)).若直线l过点P,且倾斜角为eq\f(p,3),圆C以M为圆心、4为半径.
(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)试判定直线l和圆C的位置关系.
解(Ⅰ)直线的参数方程为,
圆的极坐标方程为
(Ⅱ)因为对应的直角坐标为
直线化为普通方程为
圆心到直线的距离,所以直线与圆相离.
1.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)若直线的参数方程为,则直线的斜率为()
A.B.C.D.
【解析】
答案D
2.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)下列在曲线上的点是()
【解析】转化为普通方程:
,当时,
答案B
3.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)将参数方程化为普通方程为()
【解析】转化为普通方程:
,但是
答案C
4.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)化极坐标方程为直角坐标方程为()
5.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)点的直角坐标是,则点的极坐标为()
【解析】都是极坐标
6.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)极坐标方程表示的曲
线为()
A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆
则或
11.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)直线的斜率为______________________。
12.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)参数方程的普通方程为__________________。
13.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)已知直线与直线相交于点,又点,
则_______________。
【解析】将代入得,则,而,得
14.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)直线被圆截得的弦长为______________。
【解析】直线为,圆心到直线的距离,弦长的一半为,得弦长为
15.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)直线的极坐标方程为____________________。
【解析】,取
22.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)已知点是圆上的动点,
(1)求的取值范围;
(2)若恒成立,求实数的取值范围。
解
(1)设圆的参数方程为,
(2)
23.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)求直线和直线的交点的坐标,及点与的距离。
解将代入得,
得,而,得
24.(2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练)在椭圆上找一点,使这一点到直线的距离的最小值。
解设椭圆的参数方程为,
当时,,此时所求点为。
25.(2007宁夏区银川一中)选考题(本题满分10分,只能从A、B、C三道题中选做一道)
A.
(1)已知点C的极坐标为(2,),画图并求出以C为圆心,半径r=2的圆的极坐标
方程(写出解题过程);
(2)P是以原点为圆心,r=2的圆上的任意一点,Q(6,0),M是PQ中点
①画图并写出⊙O的参数方程;
②当点P在圆上运动时,求点M的轨迹的参数方程。
解
O
C
M
A.
(1)如图,设M(,θ)
则∠MQC=θ-或-θ
由余弦定理得4+2-4cos(θ-)=4
y
Q
P
x
∴QC的极坐标方程为=4cos(θ-)
(2)如图①⊙O的参数方程
②设M(x,y),P(2cosθ,2sinθ),
因Q(6,0)
∴M的参数方程为
即
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