高中数学第一单元常用逻辑用语121且与或教学案新人教B版选修1Word下载.docx
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例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.
(1)p:
梯形有一组对边平行,q:
梯形有一组对边相等;
(2)p:
-1是方程x2+4x+3=0的解,q:
-3是方程x2+4x+3=0的解.
反思与感悟
(1)用逻辑联结词“或”“且”联结p,q构成新命题时,在不引起歧义的前提下,可以把p,q中的条件或结论合并.
(2)用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
第一步:
确定两个简单命题p,q;
第二步:
分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来,就得到一个新命题“p∧q”“p∨q”.
跟踪训练2 写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题.
是有理数,q:
是整数;
不等式x2-2x-3>
0的解集是(-∞,-1),q:
0的解集是(3,+∞).
类型二 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假.
函数y=sinx是奇函数;
q:
函数y=sinx在R上单调递增;
直线x=1与圆x2+y2=1相切;
直线x=
与圆x2+y2=1相交;
(3)p:
不等式x2-2x+1>
0的解集为R;
不等式x2-2x+2≤1的解集为∅.
反思与感悟 判断p∧q与p∨q形式命题的真假的步骤:
(1)首先判断命题p与q的真假;
(2)对于p∧q,“一假则假,全真则真”,
对于p∨q,只要有一个为真,则p∨q为真,全假为假.
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.
∅{0},q:
0∈∅;
是无理数,q:
π不是无理数;
集合A=A,q:
A∪A=A;
(4)p:
函数y=x2+3x+4的图象与x轴有公共点,q:
方程x2+3x-4=0没有实数根.
类型三 逻辑联结词的应用
例4 设有两个命题,命题p:
不等式x2-(a+1)x+1≤0的解集是∅;
命题q:
函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围.
反思与感悟 由p∨q为真知p,q中至少一真;
由p∧q为假知p,q中至少一假,因此,p与q一真一假,分p真q假与p假q真两种情况讨论.
跟踪训练4 例4中其他条件不变,把“p∧q为假命题,p∨q为真命题”改为“p∨q为真命题”,求a的取值范围.
1.命题“方程x2=1的解是x=±
1”中,使用逻辑联结词的情况是( )
A.没有使用逻辑联结词
B.使用了逻辑联结词“或”
C.使用了逻辑联结词“且”
D.使用了逻辑联结词“或”与“且”
2.命题“xy≠0”是指( )
A.x≠0且y≠0B.x≠0或y≠0
C.x、y至少有一个不为0D.不都是0
3.已知p:
∅⊆{0},q:
{1}∈{1,2}.在命题“p”,“q”,“p∧q”,和“p∨q”中,真命题有( )
A.1个B.2个C.3个D.0个
4.“p∧q是真命题”则下列结论错误的是( )
A.p是真命题B.q是真命题
C.p∨q是真命题D.p∨q是假命题
5.已知命题p:
函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数;
函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,若p∧q为真,则实数a的取值范围是________.
1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.
2.判断含逻辑联结词的命题真假的步骤:
(1)逐一判断命题p,q的真假.
(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”“p∨q”的真假.
p∧q为真⇔p和q同时为真,
p∨q为真⇔p和q中至少有一个为真.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 命题③是将命题①②用“且”联结得到的.
思考2 命题③是将命题①②用“或”联结得到的.
梳理
(1)p∧q p且q
(2)p∨q p或q
知识点二
思考1 ①是真命题;
②是真命题;
③是真命题.若p、q都为真命题,则p且q也为真命题.
思考2 ①是真命题;
②是假命题;
③是真命题.若p、q一真一假,则p或q为真命题.
梳理
(1)真命题 假命题
(2)真命题 假命题
题型探究
例1 解
(1)是p∧q形式命题.
其中p:
向量有大小,q:
向量有方向.
(2)是p∨q形式命题.
矩形有外接圆,q:
矩形有内切圆.
(3)是p∨q形式命题.
2>
2,q:
2=2.
跟踪训练1 解
(1)这个命题是“p或q”形式,其中p:
3是质数,q:
3是合数.
(2)这个命题是“p且q”形式,其中p:
他是运动员,q:
他是教练员.
例2 解
(1)p或q:
梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p且q:
梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
(2)p或q:
-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.
-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.
跟踪训练2 解
(1)p或q:
是有理数或
是有理数且
是整数.
0的解集是(-∞,-1)或不等式x2-2x-3>
0的解集是(3,+∞);
0的解集是(-∞,-1)且不等式x2-2x-3>
0的解集是(3,+∞).
例3 解
(1)∵p真,q假,
∴“p∨q”为真,“p∧q”为假.
(2)∵p真,q真,
∴“p∨q”为真,“p∧q”为真.
(3)∵p假,q假,
∴“p∨q”为假,“p∧q”为假.
跟踪训练3 解
(1)∵p真,q假,
∴“p或q”为真,“p且q”为假.
(2)∵p真,q假,
(3)∵p真,q真,
∴“p或q”为真,“p且q”为真.
(4)∵p假,q假,
∴“p或q”为假,“p且q”为假.
例4 解 对于p:
因为不等式x2-(a+1)x+1≤0的解集是∅,
所以Δ=[-(a+1)]2-4<
0.
解不等式得-3<
a<
1.
对于q:
f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数,
则有a+1>
1,所以a>
又p∧q为假命题,p∨q为真命题,
所以p,q必是一真一假.
当p真q假时有-3<
a≤0,当p假q真时有a≥1.
综上所述,a的取值范围是(-3,0]∪[1,+∞).
跟踪训练4 解 对于p:
x2-(a+1)x+1≤0的解集为∅,
∴Δ=[-(a+1)]2-4<
0,
解得-3<
f(x)=(a+1)x在定义域内为增函数,
∴a+1>
1,即a>
∵p∨q为真,
∴p,q至少有一个为真,求两解集的并集即可,
∴{a|-3<
1}∪{a|a>
0}={a|a>
-3},
综上,a的取值范围是(-3,+∞).
当堂训练
1.B 2.A 3.B 4.D 5.[-2,
)
2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.2.2“非”否定教学案新人教B版选修1
学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义.2.掌握存在性命题和全称命题否定的格式,会对命题、存在性命题、全称命题进行否定.
知识点一 命题的否定
思考1 观察下列两个命题:
①p:
5是25的算术平方根;
5不是25的算术平方根;
②p:
y=cosx是偶函数;
y=cosx不是偶函数,它们之间有什么关系?
逻辑联结词中“非”的含义是什么?
思考2 你能判断思考1中的问题所描述的两个命题的真假吗?
p的真假与綈p的真假有关系吗?
梳理
(1)对一个命题p加以否定,就得到一个新命题,记作________,读作“非p”或“________________”.“綈p”形式命题:
若p是真命题,则綈p必是____________;
若p是假命题,则綈p必是____________.
(2)由“非”的含义,可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集∁UA={x∈U|綈(x∈A)}={x∈U|x∉A}.
知识点二 全称命题与存在性命题的否定
思考1 写出下列命题的否定:
①所有的矩形都是平行四边形;
②有些平行四边形是菱形.
思考2 对①的否定能否写成:
所有的矩形都不是平行四边形吗?
思考3 对②的否定能否写成:
有些平行四边形不是菱形?
梳理
命题
命题的表述
全称命题p
∀x∈A,p(x)
全称命题的否定綈p
存在性命题q
∃x∈A,q(x)
存在性命题的否定綈q
∀x∈A,綈q(x)
知识点三 含有一个量词的命题p的否定的真假性判断
对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路:
一是直接判断綈p的真假;
二是用p与綈p的真假性相反来判断.
类型一 命题的否定
例1 写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)x∈(0,2),函数y=x2-x-1的最小值是-
且最大值是1;
(2)100是10或20的倍数.
反思与感悟
(1)对命题“p∧q”的否定,除将简单命题p、q否定外,还需将“且”变为“或”.对命题“p∨q”的否定,除将简单命题p、q否定外,还需将“或”变为“且”.
(2)命题p与命题p的否定綈p的真假相反.
跟踪训练1 写出下列命题的否定,并判断其真假.
三角形的内角和等于180°
;
美国总统奥巴马是xx年度诺贝尔和平奖获得者.
类型二 全称命题的否定
例2 写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)所有的正方形都是菱形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3)直线l⊥平面α,则∀l′⊂α,l⊥l′;
(4)∀x>
1,log2x>
反思与感悟
(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.
跟踪训练2 写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数;
(3)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
类型三 存在性命题的否定
例3 写出下列存在性命题的否定,并判断其真假.
(1)∃x>
1,使x2-2x-3=0;
(2)有些素数是奇数;
(3)有些平行四边形不是矩形.
反思与感悟 存在性命题的否定是全称命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p:
∃x∈A,p(x)成立⇒綈p:
∀x∈A,綈p(x)成立.
跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)∃x,y∈Z,使得
x+y=3.
类型四 全称命题、存在性命题的应用
例4 已知函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>
0.求实数p的取值范围.
反思与感悟 通常对于“至多”“至少”的命题,应采用逆向思维的方法处理,先考虑命题的否定,求出相应的集合,再求集合的补集,可避免繁杂的运算.
跟踪训练4 已知命题p:
∃x0∈R,x
+2ax0+a≤0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是________.
1.若p是真命题,q是假命题,则( )
A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题
C.綈p是真命题D.綈q是真命题
2.设命题p:
∃n∈N,n2>
2n,则綈p为( )
A.∀n∈N,n2>
2nB.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n
3.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p:
能被2整除的数是偶数;
綈p:
存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:
有些矩形是正方形;
所有的矩形都不是正方形
C.p:
有的三角形为正三角形;
所有的三角形不都是正三角形
D.p:
∃x∈R,x2+x+2≤0;
∀x∈R,x2+x+2>
4.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_________________________________________.
5.已知命题“∀x∈R,x2-5x+
a>
0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是________.
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题:
(1)确定命题类型,是全称命题还是存在性命题.
(2)改变量词:
把全称量词改为恰当的存在量词;
把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论:
原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
思考1 命题q是对命题p的否定,“非”表示“否定”“不是”“问题的反面”等.
思考2 ①p为真命题,q为假命题;
②p为真命题,q为假命题.若p为真命题,则綈p为假命题.
梳理
(1)綈p p的否定 假命题
真命题
思考1 ①并非所有的矩形都是平行四边形.
②每一个平行四边形都不是菱形.
思考2 不能.
思考3 不能.
梳理 ∃x∈A,綈p(x)
例1 解
(1)命题是“p且q”的形式,其中p:
x∈(0,2),函数y=x2-x-1的最小值是-
x∈(0,2),函数y=x2-x-1的最大值是1.p真,q假,该命题的否定是“x∈(0,2),函数y=x2-x-1的最小值不是-
或最大值不是1”,这是“綈p或綈q”形式的复合命题,因为綈p假,綈q真,所以“綈p或綈q”为真命题.
(2)命题是“p或q”的形式,其中p:
“100是10的倍数”;
“100是20的倍数”.它的否定形式为“綈p且綈q”,即“100不是10的倍数且不是20的倍数”是假命题.
跟踪训练1 解
(1)綈p:
三角形的内角和不等于180°
.
因为p为真,故綈p为假.
(2)綈p:
美国总统奥巴马不是xx年度诺贝尔和平奖获得者.
例2 解
(1)存在一个正方形不是菱形,是假命题;
(2)存在一个素数不是奇数,是真命题;
(3)直线l⊥平面α,则∃l′⊂α,l与l′不垂直,是假命题;
(4)∃x>
1,log2x≤0,是假命题.
跟踪训练2 解
(1)存在一个矩形,不是平行四边形,是假命题.
(2)数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数,是真命题.
(3)∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一,是真命题.
例3 解
(1)∀x>
1,x2-2x-3≠0,是假命题.
(2)所有的素数都不是奇数,是假命题.
(3)所有的平行四边形都是矩形,是假命题.
跟踪训练3 解
(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“∀x,y∈Z,
x+y≠3”.当x=0,y=3时,
x+y=3,因此命题的否定是假命题.
例4 解 在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>
0的否定是在[-1,1]上的所有实数c,都有f(c)≤0恒成立.又由二次函数的图象特征可知,
即
即
∴p≥
或p≤-3.
故p的取值范围是-3<
p<
跟踪训练4 (0,1)
解析 方法一 若命题p:
+2ax0+a≤0是真命题,得Δ=(2a)2-4a≥0,
即a(a-1)≥0,若命题p是假命题,则a(a-1)<
0,解得0<
方法二 依题意,命题綈p:
∀x∈R,x2+2ax+a>
0是真命题,得Δ=(2a)2-4a<
0,即a(a-1)<
1.D 2.C 3.C
4.有的向量与零向量不共线
5.(
,+∞)
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