高考数学一轮复习 211 函数的应用教案Word文件下载.docx
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设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,y=x×
=2x(6-x),∴当x=3时,y最大.
A
4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩量为y,则x、y之间的函数关系式为______________.
y=0.9576
5.建筑一个容积为8000m3、深6m的长方体蓄水池(无盖),池壁造价为a元/米2,池底造价为2a元/米2,把总造价y元表示为底的一边长xm的函数,其解析式为___________,定义域为___________.底边长为___________m时总造价最低是___________元.
设池底一边长x(m),则其邻边长为(m),池壁面积为2·
6·
x+2·
=12(x+)(m2),池底面积为x·
=(m2),根据题意可知蓄水池的总造价y(元)与池底一边长x(m)之间的函数关系式为
y=12a(x+)+a.定义域为(0,+∞).
x+≥2=(当且仅当x=即x=时取“=”).
∴当底边长为m时造价最低,最低造价为(160a+a)元.
y=12a(x+)+a(0,+∞)160a+a
●典例剖析
【例1】
(1)一种产品的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使年产量平均每年比上一年增加p%,写出年产量随经过年数变化的函数关系式.
(2)一种产品的成本原来是a元,在今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,写出成本随经过年数变化的函数关系式.
解:
(1)设年产量经过x年增加到y件,则y=a(1+p%)x(x∈N*且x≤m).
(2)设成本经过x年降低到y元,则y=a(1-p%)x(x∈N*且x≤m).
特别提示
增长率问题是一重要的模型.
【例2】“依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过800元,免征个人所得税,超过800元部分需征税,设全月纳税所得额为x,x=全月总收入-800元,税率见下表:
级数
全月纳税所得额
税率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至xx元部分
10%
3
超过xx元至5000元部分
15%
…
9
超过10000元部分
45%
(1)若应纳税额为f(x),试用分段函数表示1~3级纳税额f(x)的计算公式;
(2)某人xx年10月份总收入3000元,试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元;
(3)某人一月份应缴纳此项税款26.78元,则他当月工资总收入介于
A.800~900元B.900~1200元
C.1200~1500元D.1500~2800元
(1)解:
依税率表,有
第一段:
x·
5%,0<x≤500,
第二段:
(x-500)×
10%+500×
5%,500<x≤xx,
第三段:
(x-xx)×
15%+1500×
5%,xx<x≤5000,
即f(x)=
(2)解:
这个人10月份应纳税所得额x=3000-800=2200,f(2200)=0.15×
(2200-xx)+175=205,即这个人10月份应缴纳个人所得税205元.
(3)解法一:
(估算法)由500×
5%=25元,100×
10%=10元,故某人当月工资应在1300~1400元之间,故选C.
解法二:
(逆推验证法)设某人当月工资为1200元或1500元,则其应纳税款分别为400×
5%=20(元),500×
5%+200×
10%=45(元).可排除A、B、D,故选C.
评述:
本题也可以根据纳税额计算公式直接计算.
分段函数在新课标中占有重要地位.
【例3】某地区上年度电价为0.8元/(千瓦·
时),年用电量为a千瓦·
时.本年度计划将电价降到0.55元/(千瓦·
时)至0.75元/(千瓦·
时)之间,而用户期望电价为0.4元/(千瓦·
时).经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/(千瓦·
时).
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
〔注:
收益=实际用电量×
(实际电价-成本价)〕
(1)设下调后的电价为x元/(千瓦·
时),依题意知用电量增至+a,电力部门的收益为y=(+a)(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意有
整理得
解此不等式得0.60≤x≤0.75.
答:
当电价最低定为0.60元/(千瓦·
时)时,仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.
深化拓展
某商场预计全年分批购入每台价值为xx元的电视机共3600台,每批都购入x台(x∈N*),且每批均需付运费400元,贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400台,则全年需用去运输和保管总费用43600元.现全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用.试问:
能否恰当安排每批进货的数量,使资金够用?
写出你的结论,并说明理由.
提示:
设全年的运输和保管总费用为y元,
则y=×
400+k·
(xxx).据题设,x=400时,y=43600,解得k=5%.
∴y=+100x≥2=2400(元).
因此只需每批购入120台电视机就可以使预定资金够用.
每批购入120台可使资金够用.
【例4】(xx年春季上海)在一次人才招聘会上,有A、B两家公司分别开出它们的工资标准:
A公司允诺第一年月工资数为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元;
B公司允诺第一年月工资数为xx元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取,试问:
(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年,则他在第n年的月工资收入分别是多少?
(2)该人打算连续在一家公司工作10年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素),该人应该选择哪家公司,为什么?
(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1元)?
并说明理由.
剖析:
第
(1)问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果.第
(2)问应注意的是年工资总量.第(3)问难度较大,是求月工资之差的最大值,转化为cn=1270+230n-xx×
1.05n-1,需要转化为cn>cn-1,cn>cn+1,则cn最大.
(1)此人在A、B公司第n年的月工资数分别为an=1500+230×
(n-1)(n∈N*),bn=xx·
(1+5%)n-1(n∈N*).
(2)若该人在A公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12(a1+a2+…+a10)=304200(元);
若该人在B公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12(b1+b2+…+b10)≈301869(元).
因为在A公司收入的总量高些,因此该人应该选择A公司.
(3)问题等价于求cn=an-bn=1270+230n-xx×
1.05n-1(n∈N*)的最大值.
当n≥2时,cn-cn-1=230-100×
1.05n-2.
当cn-cn-1>0,即230-100×
1.05n-2>0时,1.05n-2<2.3,得n<19.1.
因此,当2≤n≤19时,cn-1<cn;
当n≥20时,cn≤cn-1.
∴c19是数列{cn}的最大项,c19=a19-b19≈827(元),即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.
●闯关训练
夯实基础
1.某学生离家去学校,为了锻炼身体,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.用纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图形中较符合该学生的走法的是
2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N)的关系为y=-x2+12x-25,则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.
A.2B.4C.5D.6
设年平均利润为g(x),则g(x)==12-(x+).∵x+≥2=10,∴当x=,即x=5时,g(x)max=2.
3.某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为___________________.(lg2=0.3010,lg11.49=1.0602)
设产值平均年增长率为x,则(1+x)10=4.
两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.
∴lg(1+x)==0.0602.∴1+x=100.0602.
又∵lg11.49=1.0602,∴11.49=101.0602=10·
100.0602.
∴100.0602=1.149.因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%.
14.9%
4.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加一单位产品,成本增加1万元,又知总收入R是单位产量Q的函数:
R(Q)=4Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是___________万元,这时产品的生产数量为___________.(总利润=总收入-成本)
L(Q)=4Q-Q2-(200+Q)=-(Q-300)2+250.
250300
5.(xx年福州市质量检测题)沿海地区某农村在xx年底共有人口1480人,全年工农业生产总值为3180万元.从xx年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元,人口每年净增a人,设从xx年起的第x年(xx年为第一年)该村人均产值为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)为使该村的人均产值年年都有增长,那么该村每年人口的净增不能超过多少人?
分析:
本小题主要考查函数知识、函数的单调性,考查数学建模,运用所学知识解决实际问题的能力.
依题意得第x年该村的工农业生产总值为(3180+60x)万元,
而该村第x年的人口总数为(1480+ax)人,∴y=(1≤x≤10).
(2)解法一:
为使该村的人均产值年年都有增长,则在1≤x≤10内,y=f(x)为增函数.
设1≤x1<x2≤10,则f(x1)-f(x2)=-
=
=.
∵1≤x1<x2≤10,a>0,∴由f(x1)<f(x2),得88800-3180a>0.
∴a<≈27.9.又∵a∈N*,∴a=27.
∵y=()=[1+
],
依题意得53-<0,∴a<≈27.9.
∵a∈N*,∴a=27.
该村每年人口的净增不能超过27人.
培养能力
6.(xx年春季北京,19)经过长期观测得到:
在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(km/h)之间的函数关系为y=(v>0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?
最大车流量为多少?
(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
(1)依题意,y=≤=,
当且仅当v=,即v=40时,上式等号成立,所以ymax=≈11.1(千辆/时).
(2)由条件得>10,
整理得v2-89v+1600<0,
即(v-25)(v-64)<0.解得25<v<64.
∴当v=40km/h时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h.
7.(xx年石家庄市一模题)某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务,已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人,他们加工完G型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位:
小时,可不为整数).
(1)写出g(x),h(x)的解析式;
(2)比较g(x)与h(x)的大小,并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式;
(3)应怎样分组,才能使完成总任务用的时间最少?
(1)由题意知,需加工G型装置4000个,加工H型装置3000个,所用工人分别为x人,(216-x)人.
∴g(x)=,h(x)=,
即g(x)=,h(x)=(0<x<216,x∈N*).
(2)g(x)-h(x)=-=.
∵0<x<216,∴216-x>0.
当0<x≤86时,432-5x>0,g(x)-h(x)>0,g(x)>h(x);
当87≤x<216时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)<h(x).
∴f(x)=
(3)完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值.
当0<x≤86时,f(x)递减,∴f(x)≥f(86)==.
∴f(x)min=f(86),此时216-x=130.
当87≤x<216时,f(x)递增,∴f(x)≥f(87)==.
∴f(x)min=f(87),此时216-x=129.∴f(x)min=f(86)=f(87)=.
∴加工G型装置,H型装置的人数分别为86、130或87、129.
探究创新
8.现代社会对破译密文的难度要求越来越高,有一种密码把英文的明文(真实文)按两个字母一组分组(如果最后剩一个字母,则任意添一个字母,拼成一组),例如:
Wishyousuccess,分组为Wi,sh,yo,us,uc,ce,ss得到
,,,,,,
其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不论大小写)依次对应的1,2,3,…,26这26个自然数,见表格:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
4
5
6
7
8
10
11
13
n
o
p
q
r
s
u
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
给出如下一个变换公式将明文转换为密文.如
→→,即ce变成mc(说明:
29÷
26余数为3).
又如→→,即wi变成oa(说明:
41÷
26余数为15,105÷
26余数为1).
(1)按上述方法将明文star译成密文;
(2)若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi,请你找出它的明文.
(1)将star分组:
st,ar,对应的数组分别为,
由得→,→.
∴star翻译成密文为ggkw.
(2)由得
将kcwi分组:
kc,wi,对应的数组分别为,,由
得
→→,
→.
∴密文kcwi翻译成明文为good.
●思悟小结
1.数学的应用问题实际上是数学模型方法的应用问题,也就是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题.
2.所谓数学模型,简单地说,就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的,它们可以是几何图形,也可以是方程式、函数解析式等等.实际问题越复杂,相应的数学模型也就越复杂.
●教师下载中心
教学点睛
1.在教学过程中要注意引导学生从数学的角度理解分析问题、把握问题,特别要强调自主地、独立地分析、研究、探讨活动,这样才有利于培养阅读理解、分析和解决实际问题的能力;
有利于对数学思想方法的应用;
有利于培养学生的用数学意识.
2.用数学模型方法解决问题的步骤可用框图表示如下:
拓展题例
【例1】(xx年春季高考)用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格(长×
宽的尺寸如各选项所示,单位均为m),若既要够用,又要所剩最少,则应选钢板的规格是
A.2×
5B.2×
5.5C.2×
6.1D.3×
设水箱底长a,宽b,高h,则abh=4,
∴h=.∴S=ab+2ah+2bh=ab++≥3=12,当且仅当a=b时等号成立.
∴至少要钢板12m2.
若a、b、c∈R+,则有a+b+c≥3,当且仅当a=b=c时等号成立.
【例2】(xx年春季高考)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×
年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
(1)由题意得y=[1.2×
(1+0.75x)-1×
(1+x)]×
1000(1+0.6x)(0<x<1),
整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).
(2)要保证本年度的利润比上年有所增加,必须
即解得0<x<.
∴为保证本年度的年利润比上年有所增加,投入成本增加的比例x应满足0<x<0.33.
本题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力.
2019-2020年高考数学一轮复习2.2函数的表示教案
1.函数的三种表示法
(1)解析法:
就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
(2)列表法:
就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
(3)图象法:
就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
2.复习目标
(1)由所给函数表达式正确求出函数的定义域;
(2)掌握求函数值域的几种常用方法;
(3)能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式;
(4)会进行函数三种表示方法的互化,培养学生思维的严密性、多样性.
1.(xx年春季安徽)若f(sinx)=2-cos2x,则f(cosx)等于
A.2-sin2xB.2+sin2xC.2-cos2xD.2+cos2x
∵f(sinx)=2-(1-2sin2x)=1+2sin2x,
∴f(cosx)=f(sin-x)=1+2sin2(-x)=1+2cos2x=2+cos2x.
2.(xx年湖北,3)已知f()=,则f(x)的解析式可取为
A.B.-
C.D.-
令=t,则x=,∴f(t)=.∴f(x)=.
本题考查函数的定义及换元思想.
3.(xx年春季北京,文2)函数f(x)=|x-1|的图象是
转化为分段函数y=
B
4.函数y=的定义域为______________,值域为___________________.
[-1,2][0,]
【例1】已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是
A.a>B.-12<a≤0C.-12<a<0D.a≤
由a=0或可得-12<a≤0.
【例2】在△ABC中,BC=2,AB+AC=3,中线AD的长为y,AB的长为x,建立y与x的函数关系式,并指出其定义域.
设∠ADC=θ,则∠ADB=π-θ.
根据余弦定理得
12+y2-2ycosθ=(3-x)2,①
12+y2-2ycos(π-θ)=x2.②
由①+②整理得y=.其中
解得<x<.
∴函数的定义域为(,).
函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义的要求.
【例3】若函数f(x)=的值域为[-1,5],求实数a、c.
由y=f(x)=,得x2y-ax+cy-1=0.
当y=0时,ax=-1,∴a≠0.
当y≠0时,∵x∈R,∴Δ=a2-4y(cy-1)≥0.
∴4cy2-4y-a2≤0.∵-1≤y≤5,∴-1、5是方程4cy2-4y-a2=0的两根.
∴
求f(x)=(a12+a22≠0)的值域时,常利用函数的定义域非空这一隐含的条件,将函数转化为方程,利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时,要注意二次项系数为字母时要讨论.
1.函数y=的值域是
A.[-1,1]B.(-1,1]C.[-1,1)D.(-1,1)
解法一:
y==-1.∵1+x2≥1,∴0<≤2.∴-1<y≤1.
由y=,得x2=.∵x2≥0,∴≥0,解得-1<y≤1.
解法三:
令x=tanθ(-<θ<),则y==cos2θ.∵-π<2θ<π,
∴-1<cos2θ≤1,即-1<y≤1.
2.如果f[f(x)]=2x-1,则一次函数f(x)=___________________.
设f(x)=kx+b,则f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.
由于该函数与y=2x-1是同一个函数,∴k2=2且kb+b=-1.∴k=±
.
当k=时,b=1-;
当k=-时,b=1+.
f(x)=x+1-或f(x)=-x+1+
3.已知f(x2-4)=lg,则f(x)的定义域为__________.
设x2-4=t,则t≥-4,x2=4+t.∴f(t)=lg.∴f(x)=lg(x≥-4).
由
得x>4.
(4,+∞)
4.用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如下图),若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并写出其定义域.
∵AB=2x,则=πx,AD=.
∴y=2x·
+=-(+2)x2+lx.
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