第3章 非平稳随机变量讲稿文档格式.docx
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特征方程(L)(1-L)d=0,
特征根L=1(d个)
d阶单整等价于含有d个单位根
因含有d个单位根,所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验(unitroottest)。
3)单位根与协整
若xtI(d),ytI(c),则
zt=(axt+byt)I(max[d,c]).
zt=(axt+byt)
=(axt+byt)-(axt-1+byt-1)
=(axt+byt)
当c>
d时,zt只有差分c次才能平稳。
一般来说,若xtI(c),ytI(c),则
zt=(axt+byt)I(c).
但也有zt的单整阶数小于c的情形。
当zt的单整阶数小于c时,则称xt与yt存在协整关系。
3.2单整过程的统计特征
以随机游走过程和平稳的AR
(1)过程作比较,
1)随机游走过程
(1)具有永久记忆性
对于随机游走过程
xt=xt-1+ut,x0=0,utIN(0,u2)有(3.7)
xt=xt-2+ut-1+ut=…=
(具有永久记忆性)
(2)方差变为无穷大
Var(xt)=
=tu2(随T的增加,方差变为无穷大)
(3)相关系数不趋于0
下面求xT和xT-k的相关系数k。
Cov(xT,xT-k)=E(xTxT-k)=E(
)
=E(
)=(T-k)u2
k=
=
=
2)对于AR
(1)过程
(1)只有有限记忆力
yt=1yt-1+vt,1<
1,y0=0,
vtIN(0,v2)(3.8)
yt=vt+1vt-1+12vt-2=…=
(2)Var(yt)=E(
)2=
v2
(方差为有限值)
(3)AR
(1)过程的自相关系数公式,k=1k,
表3.1随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较
随机游走过程
平稳的一阶自回归过程
方差
tu2(无限的)
u2/(1-12)(有限的)
自相关系数
k=
1,k,T
k=1k
穿越零均值点的期望时间
无限的
有限的
记忆性
永久的
暂时的
3.3虚假回归
1非平稳变量相关系数的分布
用蒙特卡罗模拟方法分析相关系数的分布。
1)平稳过程的相关系数分布
utIN(0,1),utI(0)
vtIN(0,1),vtI(0)
每次生成T=100的相互独立的{ut}和{vt},并计算Ruv。
重复1万次,从而得到Ruv的分布。
两个相互独立的I(0)变量{ut}和{vt}的相关系数Ruv的分布为正态(见图3.1a)。
图3.1a
2)一阶单整过程相关系数分布
xt=xt-1+ut,x0=0,xtI
(1)
yt=yt-1+vt,y0=0,ytI
(1)
利用{ut}和{vt},每次生成T=100的{xt}和{yt}并计算Rxy。
重复1万次,从而得到Rxy的分布。
两个相互独立的I
(1)变量{xt}和{yt}的相关系数Rxy的分布为倒U形(见图3.1b)。
图3.1b
3)二阶单整过程相关系数分布
pt-pt-1=xt,p0=0,ptI
(2)
qt=qt-1+yt,q0=0,qtI
(2)
利用{xt}和{yt},每次生成T=100的{pt}和{qt}并计算Rpq。
重复1万次,从而得到Rpq的分布。
两个相互独立的I
(2)变量{pt}和{qt}的相关系数Rpq的分布为U形(见图3.1c)。
图3.1c
问题的严重性在于当变量非平稳时,认为R服从的是正态分布,但实际上R服从的却是图3.1b和图3.1c那样的倒U和U字型分布,因此增加了拒绝概率,本不相关的两个变量结论却是相关!
图3.1三条曲线叠加示意图
2.t统计量的分布
有如下数据生成系统
xt=xt-1+ut,x0=0,utIID(0,1)
yt=yt-1+vt,y0=0,vtIID(0,1)
E(uivj)=0,i,j
可知xt和yt为I
(1)变量且相互独立。
作如下回归
yt=0+1xt+wt,
t(
)的分布见图3.2。
拒绝1=0的概率大大增加。
从而造成虚假回归(Granger1974年提出)。
图3.2t(98)分布和虚假回归条件下的t分布
3.简单回归中1=0的拒绝概率与变量单整阶数的关系
两变量的单整阶数
P(t(
)>
2)
I(0)与I(0)
0.45
I
(1)与I
(1)
0.77
I
(2)与I
(2)
0.95
4.样本容量与虚假回归的关系(回归变量均为I
(1)变量)
随样本容量变化,拒绝1=0的概率,即P(t(
)>
2)见图3.3。
样本容量
图3.3
5.虚假回归的直观解释
因为上述数据生成系统是真实的,所以对于回归模型
yt=0+1xt+wt,
应有1=0,即yt与xt不相关,则模型变为
yt=0+wt。
已知ytI
(1),wtI(0),所以yt=0+wt两侧的单整阶数出现矛盾。
导致1无法表现为零。
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