八年级一次函数教案文档格式.docx
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4确定自变量的取值范围
(1)分母不为0
(2)开平方时,被开方数非负性(3)实际问题对自变量的限制。
(1)整式型:
一切实数
(2)根式型:
当根指数为偶数时,被开方数为非负数.(3)分式型:
分母不为0.(4)复合型:
不等式组
(5)应用型:
实际有意义即可
14.1.3函数图象
一、函数图象的概念
一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。
函数解析式与函数图象的关系
(1)满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上;
(2)函数图象上点的坐标满足函数解析式.二、描点法画函数图象的步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线.
14.2.1正比例函数
1、正比例函数的定义:
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
1
注意:
①注意k是常数,k≠0的条件,当k=0时,无论x为何值,y的值都为0,所以它不是正比例函数。
②自变量x的指数只能为12、正比例函数图象和性质
一般地,正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是一条经过原点和(1,k)的一条直线,我们称它为直线y=kx.①当k0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x的增大,y也增大;
②当k0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小.注意:
①解析式:
y=kx(k是常数,k≠0)②必过点:
(0,0)、(1,k)
③走向:
k0时,图像经过一、三象限;
k0时,?
图像经过二、四象限④增减性:
k0,y随x的增大而增大;
k0,y随x增大而减小⑤倾斜度:
|k|越大,越接近y轴;
|k|越小,越接近x轴3、正比例函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k,其基本步骤是:
(1)设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0);
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于系数k的一元一次方程;
(3)解方程,求出待定系数k;
(4)将求得的待定系数的值代回解析式.
是否能化成以上形式.
⑵当b=0,k≠0时,y=kx仍是一次函数.当b=0,k=0时,它不是一次函数.⑶一次函数的自变量取值范围是全体实数。
⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.二、一次函数的图象及其画法
1、图象:
一次函数y=kx+b(k≠0,k,b为常数)的图象是一条直线.
2、画法:
由于两点确定一条直线,所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时,只要先描出两个点,再连成直线即可.
①如果这个函数是正比例函数,通常取(0,0),(1,k)两点;
②如果这个函数是一般的一次函数(b≠0),通常取(0,b),-,0?
,即直线与两坐
?
k
b
标轴的交点.
由函数图象的意义知,满足函数关系式y=kx+b的点(x,y)在其对应的图象上,这个图象就是一条直线l,反之,直线l上的点的坐标(x,y)满足y=kx+b,也就是说,直线l与y=kx+b是一一对应的,所以通常把一次函数y=kx+b的图象叫做直线l:
y=kx+b,有时直接称为直线y=kx+b.三、一次函数的性质
⑴当k0时,一次函数y=kx+b的图象从左到右上升,y随x的增大而增大;
⑵当k0时,一次函数y=kx+b的图象从左到右下降,y随x的增大而减小.注意:
①一次函数y=kx+b的图象、性质与k、b的符号
14.2.2一次函数①②③④⑤⑥⑦
一、一次函数的定义
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,当b=0时,即y=kx,这时即是前一节所学过的正比例函数.
⑴一次函数的解析式的形式是y=kx+b,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断
②字母k,b的作用:
k决定函数趋势,b决定直线与y轴交点位置,也称为截距③倾斜度:
|k|越小,越接近x轴④图像的平移:
b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位,对应解析式为:
y=kx+bb<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位,对应解析式为:
y=kx-b口诀:
“上+下-”
将直线y=kx的图象向左平移m个单位,对应解析式为:
y=k(x+m)将直线y=kx的图象向右平移m个单位,对应解析式为:
y=k(x-m)口诀:
“左+右-”⑤直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴的交点.
(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0,0);
(2)直线y=kx+b与x轴交点坐标为(,0)与y轴交点坐标为(0,b).
四、用待定系数法求一次函数的解析式
1、定义:
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.
2、用待定系数法求函数解析式的一般步骤:
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式;
②将x,y的几对值,或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组;
③解方程(组),得到待定系数的值;
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,得到所求的函数解析式.注意:
直线y=k1x+b1(k1≠0)与y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系
(1)两直线平行?
k1=k2且b1≠b2
(2)两直线相交?
k1≠k2
(3)两直线重合?
k1=k2且b1=b2(4)两直线垂直?
k1k2=-1
14.3用函数观点看方程和不等式
一、一次函数与一元一次方程的关系:
直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标,就是一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解。
求直线y=kx+b与x轴交点时,可令y=0,得到方程kx+b=0,解方程得x=-bk
,
直线y=kx+b交x轴于(-b
0),bk-
就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。
二、一次函数与一元一次不等式的关系:
任何一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0(a、b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:
当一次函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围。
三、一次函数与二元一次方程(组)的关系:
一次函数的解析式y=kx+b(k≠0)本身就是一个二元一次方程,直线y=kx+b(k≠0)上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程
y=kx+b(k≠0)
,因此二元一次方程的解也就有无数个。
(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-acbx+
的
图象相同.
(2)二元一次方程组?
a?
1x+b1y=c1的解可以看作是两个一次函数y=-a1x+c
1和
a2x+b2y=c2
b1b1
y=-
a2bx+
c22
b的图象交点.
3
14.4方案选择
1.生产方案的设计
例1某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产a、b两种产品,共50件。
已知生产一件a种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;
生产一件b种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,的运费分别是4百元/台、8百元/台,从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、
5百元/台。
求:
(1)若总运费为8400元,上海运往汉口应是多少台?
(2)若要求总运费不超过8200元,共有几种调运方案?
(3)求出总运费最低的调运方案,最低总运费是多少元?
解设上海厂运往汉口x台,那么上海运往重庆有(4-x)台,北京厂运往汉口(6-x)台,北京厂运往重庆(4+x)台,则总运费w关于x的一次函数关系式:
w=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。
可获利润1200元。
(1)要求安排a、b两种产品的生产件数,有哪几种方案?
请你设计出来;
(2)生产a、b两种产品获总利润是y(元),其中一种的生产件数是x,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明
(1)中的哪种生产方案获总利润最大?
最大利润是多少?
(98年河北)
解
(1)设安排生产a种产品x件,则生产b种产品是(50-x)件。
由题意得
9x+4(50-x)≤360
(1)?
?
3x+10(50-x)≤290
(2)
解不等式组得30≤x≤32。
因为x是整数,所以x只取30、31、32,相应的(50-x)的值是20、19、18。
所以,生产的方案有三种,即第一种生产方案:
生产a种产品30件,b种产品20件;
第二种生产方案:
生产a种产品31件,b种产品19件;
第三种生产方案:
生产a种产品32件,b种产品18件。
(2)设生产a种产品的件数是x,则生产b种产品的件数是50-x。
y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。
(其中x只能取30,31,32。
)
本题是利用不等式组的知识,得到几种生产方案的设计,再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题。
2.调运方案设计
例2北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台,北京厂可支援外地10台,上海厂可支援外地4台,现在决定给重庆8台,汉口6台。
如果从北京运往汉口、重庆
(1)当w=84(百元)时,则有76+2x=84,解得x=4。
若总运费为8400元,上海厂应运往汉口4台。
(2)当w≤82(元),则x≤4?
0≤
76+2x≤82
解得0≤x≤3,因为x只能取整数,所以x只有四种可的能值:
0、1、2、3。
答:
若要求总运费不超过8200元,共有4种调运方案。
(3)因为一次函数w=76+2x随着x的增大而增大,又因为0≤x≤3,所以当x=0时,函数w=76+2x有最小值,最小值是w=76(百元),即最低总运费是7600元。
此时的调运方案是:
上海厂的4台全部运往重庆;
北京厂运往汉口6台,运往重庆4台。
本题运用了函数思想得出了总运费w与变量x的一般关系,再根据要求运用方程思想、不等式等知识解决了调运方案的设计问题。
并求出了最低运费价。
3.营方案的设计
例3某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部,共有190名售货员,计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元。
由于营业性质不同,分配到三个部的售货员的人数也就不等,根据经验,各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1,每1万元营业额所得利润情况如表2。
表1表2
4
商场将计划日营业额分配给三个经营部,设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为x(万元)、y(万元)、z(万元)(x,y,z都是整数)。
(1)请用含x的代数式分别表示y和z;
(2)若商场预计每日的总利润为c(万元),且c满足19≤c≤19.7,问这个商场应怎样分配日营业额给三个经营部?
各部应分别安排多少名售货员?
解
(1)由题意得x+y+z=60
,解得?
5x+4y+2z=190
y=35-
32
x,z=25+
x2
.
(2)c=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。
因为19≤c≤19.7,所以9≤-0.35x+22.5≤19.7,解得8≤x≤10。
因为x,y,z是正整,且x为偶数,所以x=8或10。
当x=8时,y=23,z=29,售货员分别为40人,92人,58人;
当x=10时,y=20,z=30,售货员分别为50人,80人,60人。
本题是运用方程组的知识,求出了用x的代数式表示y、z,再运用不等式和一次函数等知识解决经营调配方案设计问题。
4.优惠方案的设计
例4某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。
甲旅行社说:
“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优待。
”乙旅行社说:
“包括校长在内,全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠。
”若全票价为240元。
(1)设学生数为x,甲旅行社收费为y甲,乙旅行社收费为y乙,分别计算两家旅行社的收费(建立表达式);
(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样;
(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
当y甲y乙,120x+240144x+144,解得x4。
当学生人数少于4人时,乙旅行社更优惠;
当学生人数多于4人时,甲旅行社更优惠;
本题运用了一次函数、方程、不等式等知识,解决了优惠方案的设计问题。
一、生产方案的设计例1(镇江市)在举国上下众志成城,共同抗击非典的非常时期,某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务.要求在8天之内(含8天)生产A型和B型两
种型号的口罩共5万只,其中A型口罩不得少于1.8万只,该厂的生产能力是:
若生产A型口罩每天能生产0.6万只,若生产B型口罩每天能生产0.8万只,已知生产一只A型口罩可获利0.5元,生产一只B型口罩可获利0.3元.
设该厂在这次任务中生产了A型口罩x万只.问:
(1)该厂生产A型口罩可获利润_____万元,生产B型口罩可获利润_____万元;
(2)设该厂这次生产口罩的总利润是y万元,试写出y关于x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(3)如果你是该厂厂长:
①在完成任务的前提下,你如何安排生产A型和B型口罩的只数,使获得的总利润最大?
最大利润是多少?
②若要在最短时间内完成任务,你又如何来安排生产A型和B型口罩的只数?
最短时间是多少?
分析:
(1)0.5x,0.3(5-x);
○
2若要在最短时间完成任务,全部生产B型所用时间最短,但要求生产A型1.8
二、营销方案的设计
例2(湖北)一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社.在一个月内(以30天计算),有20天每天可卖出100份,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同.若以报亭每天从报社订购的份数为自变量x,每月所获得的利润为函数y.
(1)写出y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
5
【篇二:
人教版八年级数学一次函数教案设计】
4
5
【篇三:
八年级数学一次函数教案1】
11.2.2一次函数
(一)
教学目标
1、掌握一次函数解析式的特点及意义2、知道一次函数与正比例函数的关系3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律教学重点
1、一次函数解析式特点
2、一次函数图象特征与解析式的联系规律教学难点
1、一次函数与正比例函数关系
2、根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
问题1小明暑假第一次去北京.汽车驶上a地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时.已知a地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从a地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.
分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是
s=570-95t.
说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s是因变量.
问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式.
分析我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为:
y=50+12x.
问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?
Ⅱ.导入新课
上面的两个函数关系式都是左边是因变量y,右边是含自变量x的代数式。
并且自变量和因变量的指数都是一次。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当b=0时,称
y是x的正比例函数。
例1:
下列函数中,y是x的一次函数的是()
①y=x-6;
②y=
2x
;
③y=;
④y=7-xx8
a、①②③b、①③④c、①②③④d、②③④
例2下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数?
(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm);
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长l(cm)与宽b(cm);
(3)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨;
(4)汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).
(5)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程中y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系式;
(6)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系;
(7)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y(厘米)分析确定函数是否为一次函数或正比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx+b(k≠0)或y=kx(k≠0)形式,所以此题必须先写出函数解析式后解答.解
(1)a=
20
,不是一次函数.h
(2)l=2b+16,l是b的一次函数.(3)y=150-5x,y是x的一次函数.
例3已知函数y=(k-2)x+2k+1,若它是正比例函数,求k的值.若它是一次函数,求k的值.
分析根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值.解若y=(k-2)x+2k+1是正比例函数,则2k+1=0,即k=-若y=(k-2)x+2k+1是一次函数,则k-2≠0,即k≠2.例4已知y与x-3成正比例,当x=4时,y=3.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)y与x之间是什么函数关系;
(3)求x=2.5时,y的值.
解
(1)因为y与x-3成正比例,所以y=k(x-3).又因为x=4时,y=3,所以3=k(4-3),解得k=3,所以y=3(x-3)=3x-9.
(2)y是x的一次函数.
1.2
例5已知a、b两地相距30千米,b、c两地相距48千米.某人骑自行车以每小时12千米的速度从a地出发,经过b地到达c地.设此人骑行时间为x(时),离b地距离为y(千米).
(1)当此人在a、b两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x取值范围.
(2)当此人在b、c两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x的取值范围.
分析
(1)当此人在a、b两地之间时,离b地距离y为a、b两地的距离与某人所走的路程的差.
(2)当此人在b、c两地之间时,离b地距离y为某人所走的路程与a、b两地的距离的差.
解
(1)y=30-12x.(0≤x≤2.5)
(2)y=12x-30.(2.5≤x≤6.5)
例6某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟时间内,只开进油管,不开出油管,油罐的进油至24吨后,将进油管和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围.
,所以此题因分三个时间段来考虑.但在这三个阶段中,两变量之间均为一次函数关系.解在第一阶段:
y=3x(0≤x≤8);
在第二阶段:
y=16+x(8≤x≤16);
在第三阶段:
y=-2x+88(24≤x≤44).Ⅲ.随堂练习
根据上表写出y与x之间的关系式是:
________________,y是否为x一的次函数?
y是否为x有正比例函数?
2、为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某城市规定用水收费标准如下:
每户每月用水量不超过6米3时,水费按0.6元/米3收费;
每户每月用水量超过6米3时,超过部分按1元/米3收费。
设每户每月用水量为x米3,应缴水费y元。
(1)写出每月用水量不
超过6米3和超过6米3时,y与x之间的函数关系式,并判断它们是否为一次函数。
(2)已知某户5月份的用水量为8米3,求该用户5月份的水费。
[①y=0.6x,y=x-2.4,y是x的一次函数。
②y=8-2.4=5.6(元)]Ⅳ.课时小结
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、能根据已知简单信息,写出一次函数的表达式。
Ⅴ.课后作业
1、已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7
(1)写出y与x之间的函数关系.
(2)y与x之间是什么函数关系.(3)计算y=-4时x的值.
2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元,每件另加手续费0.2元,求总邮资y(元)与包裹重量x(千克)之间的函数解析式,并计算5千克重的包裹的邮资.
3.仓库内原有粉笔400盒.如果每个星期领出36盒,求仓库内余下的粉笔盒数q与星期数t之间的函数关系.
4.今年植树节,同学们种的树苗高约1.80米.据介绍,这种树苗在10年内平均每年长高0.35米.求树高与年数之间的函数关系式.并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多高.
5.按照我国税法规定:
个人月收入不超过800元,免交个人所得税.超过800元不超过1300元部分需缴纳5%的个人所得税.试写出月收入在800元到1300元之间的人应缴纳的税金y(元)和月收入x(元)之间的函数关系式
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- 年级 一次 函数 教案