黄昆固体物理课后习题 第三章Word文档下载推荐.docx
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所以1
221
Tnj=〉wjLaj=KT(3)
42
nj
因此将此式代入
(2)式有⎧2
=KT
〉L⎤2
所以每个原子的平均位移为
n
⎧
∑
⎧2==2=∑
KTKT1
=
22
jj〉L⎤j
〉Lj⎤j
3.2讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a),其2N格波
解,当M=m时与一维单原子链的结果一一对应.
如上图所示,质量为M的原子位于2n-1,2n+1,2n+3……
质量为m的原子位于2n,2n+2,2n+4……牛顿运动方程:
..
m⎧2n=−®
(2⎧2n−⎧2n+1−⎧2n−1)
M⎧2n+1=−®
(2⎧2n+1−⎧2n+2−⎧2n)
体系为N个原胞,则有2N个独立的方程
i[⎤t−(2na)q]
i[⎤t−(2n+1)aq]
方程解的形式:
⎧2n=Ae
⎧2n+1=Be
将⎧2n=Ae
代回到运动方程得到
若A、B有非零的解,系数行列式满足:
两种不同的格波的色散关系:
——第一布里渊区
第一布里渊区允许q的数目
对应一个q有两支格波:
一支声学波和一支光学波。
总的格波数目为2N。
当M=m时
——两种色散关系如图所示
在长波极限(q→0,λ>
>
0)情况下:
当q→0
——与一维单原子晶格格波的色散关系一致。
3.3考虑一双原子链的晶格振动,链上最近邻原子间力常数交替为c
a
和10c.令两种原子质量相同,且最近邻间距为2.求在k=0和
k=ð
处的⎤(k).大略地画出色散关系.此问题模拟如H2这样的双原子分
子晶体。
解a/2c10c
ooo
us−1
vs−1us
vsus+1
vs+1
M
s
d2u
=C(Vs1−us)+10C(Vs−us),
dt−
d2V
=10C(us−Vs)+C(us+1−Vs),
dt
isKa
−i⎤tisKa
−i⎤t
将us
=ue
e,Vs
=Ve
e.代入上式有
−M⎤2u=C(10+e−ika)V−11Cu,
−M⎤2V
=C(eika+10)u−11CV,
是U,v的线性齐次方程组,存在非零解的条件为
M⎤2−11C,C(10+e−iKa)
C(eiKa+10),M⎤2−11C
=0,解出
M2⎤4−22MC⎤2+20C2(1−conKa)=0
∴⎤2==C
⎡11±
121−20(1−conKa)⎤.
±
M⎣⎦
⎤
当K=0时,
+
2=22C/M,
−
2=0,
当K=ð
/a时
⎤2=20C/M,
⎤2=2C/M,
⎤2与K的关系如下图所示.这是一个双原子(例如H
)晶体。
3.4考虑一个全同原子组成的平面方格子,用⎧l,m记第l行,第m列的原子在垂直于格平面的位移,每个原子质量为M,最近邻原子的力
常数为c。
d2⎧
l,m
(a)证明运动方程为:
M(
dt2
)=c[(⎧l+1,m+⎧l−1,m−2⎧l,m)
+(⎧l,m+1+⎧l,m−1−2⎧l,m)]
(b)设解的形式为⎧l,m=⎧(0)exp[i(lkxa+mkya−⎤t)],这里a是最近邻原子间距,证明运动方程是可以满足的,如果
⎤2M=2c[2−cos(ka)−cos(ka)]这就是色散关
xy
系。
2ð
(c)证明独立解存在的k空间区域是一个边长为a
的正方形,这就
是平方格子的第一布里渊区,构出k=kx,而ky=0时,和kx=ky时的
⎤−k图。
⎤=(ca
)1/2(k2+k2)1/2=(ca2/M)1/2k
(d)对于ka<
<
1,证明M
证明:
(a)左方原子与它的相对位移为⎧l,m−⎧l,m−1,右方原子与它的相对位移为
⎧l,m+1−⎧l,m,上方原子与它的相对位移为⎧l,m−⎧l−1,m,下方原子与它的相对位移为
⎧l+1,m−⎧l,m,并考虑到力的方向性,得到上面平面格子的每个原子的力学方程为:
M(
l,m)=c(⎧
−⎧)−c(⎧−⎧)
l,m+1
l,ml,ml,m−1
+c(⎧l+1,m−⎧l,m)−c(⎧l,m−⎧l−1,m)
=c[(⎧l+1,m+⎧l−1,m−2⎧l,m)+(⎧l,m+1+⎧l,m−1−2⎧l,m)]
所以原命题的证。
(b)根据题意,⎧l,m=⎧(0)exp[i(lkxa+mkya−⎤t)]为平面格子原子的运动方程
M(l,m)=c[(⎧
+⎧−2⎧)
l+1,ml−1,ml,m
的解,
因为⎧l,m=⎧(0)exp[i(lkxa+mkya−⎤t)]①所以可以得到
⎧l+1,m=⎧(0)exp{i[(l+1)kxa+mkya−⎤t]}②⎧l−1,m=⎧(0)exp{i[(l−1)kxa+mkya−⎤t]}③⎧l,m+1=⎧(0)exp[i(lkxa+(m+1)kya−⎤t)]④
⎧l,m−1=⎧(0)exp[i(lkxa+(m−1)kya−⎤t)]⑤
将①②③④⑤式代入平面格子原子的运动方程则容易得到得到色散关系(这里代入过程从略,请自己代入计算):
⎤2M=2c[2−cos(ka)−cos(ka)]
xy
(c)由色散关系
⎤2M=2c[2−cos(ka)−cos(ka)]
和周期性边界条件可以得到kx
∈(−
ð
ð
]
aa
ð
ky∈(−,],所以独立解存在的k
空间区域是一个边长为a
的正方形。
当k=kx,且ky=0时的⎤−k图,和
当kx=ky时的⎤−k图,如右图所示。
3.5已知Nacl晶体平均每对离子的相互作用能为U(r)=−〈e+®
其中
马德隆常数〈=1.75,n=9,平均离子间距r0=2.82Å
。
(1)试求离子在平衡位置附近的振动频率
rrn
(2)计算与该频率相当的电磁波的波长,并与Nacl红外吸收频率的测量
值61⎧进行比较。
3.6计算一维单原子链的频率分布函数〉(⎤)
设单原子链长度L=Na
q=2ð
⋅h
Na
波矢取值
Na每个波矢的宽度
Nadq
Na,状态密度2ð
dq间隔内的状态数2ð
,对应±
q,ω取相同值
〉(⎤)dq=2⋅Nadq
因此2ð
⎤2=4®
sin2(aq)
一维单原子链色散关系,m2
⎤0=
令
4®
⎤=⎤0
m,
sin(aq)
两边微分得到
d⎤=⎤acos(aq)dq
022
aq⎤2
cos()=1−
aaq
2⎤2
将
代入到
d⎤=⎤0cos()dq
d⎤=a
⎤2−⎤2dq,dq=2d⎤
20a
⎤2−⎤2
2⋅Nadq=2⋅Na2d⎤
2ð
a
〉(⎤)=2N1
频率分布函数
⎤2−⎤2
3.7设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有⎤(q)=⎤0−Aq
求证:
f(⎤)=
V
4ð
2
1
A3/2
00
(⎤−⎤)1/2,⎤<
⎤
;
f(⎤)=0,⎤>
⎤0.
⎤>
⎤0时,⎤−⎤0
=Aq2>
0f(⎤)=0,
⎤<
⎤0⇒⎤0−⎤=Aq
⇒q=A
(⎤0−⎤)
r
依据∇q⎤(q)=−2Aq,f(⎤)=
Vds
q
(2ð
)3∫∇⎤(q)
,并带入上边结果有
V⋅
)3
dsr
∇q⎤(q)
=V
⋅1
2A2
(⎤0
−⎤)
(⎤0
A1/2
−⎤)1/2
)2
3.8有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格,在德拜近似下计算
比热,并论述在低温极限比热正比与T2。
证明:
在k到k+dk间的独立振动模式对应于平面中半径n到n+dn间圆环的面积
L253s⎤
ndn,且2ð
ndn=
kdk=
kdk即〉(⎤)=
v〉
d⎤则
⎛h⎤⎞
h
⎛⎤⎞
d
m
3s⎤
h⎤2d⎤
3s(kT)3⎤
⎜⎟⎜⎟
kTkT
3s(kT)3
xx2dx
E=+E=B
D⎝B
⎠⎝B⎠=BD
v
2∫0
eh⎤/kBT−1
02ð
v2h2∫D
eh⎤/kBT−12ð
ex−1
〉〉〉
,
v
T→0时,E∝T3,∴C
=(∂E)
∂Ts
∝T2
3.9
写出量子谐振子系统的自由能,证明在经典极限下,自由能为
0B∑n⎜⎟
F≅U+kTl⎛h⎤q⎞
q⎝kBT⎠
⎡h⎤
⎛−h⎤q⎞⎤
证明:
量子谐振子的自由能为F=U+kT∑⎢1
q+l
⎜1−e
kBT⎟⎥
B⎢2kT
n⎜⎟⎥
q⎣B
经典极限意味着(温度较高)kBT>
h⎤g
⎝⎠⎦
应用ex=1−x+x2+...
所以e
−h⎤q
kBT=1−
h⎤q⎛h⎤q⎞
⎜⎟
+...
kBT
⎝kBT⎠
⎛
h⎤q⎞⎛h⎤q⎞
因此F≅U+∑
h⎤q+∑kBTln⎜1−1+
⎟≅U0+kBTln⎜⎟
q2q
⎝kBT⎠⎝kBT⎠
其中U0≅U+h⎤q
∑2
h⎤
3.10设晶体中每个振子的零点振动能为2
,使用德拜模型求晶体
的零点振动能。
根据量子力学零点能是谐振子所固有的,与温度无关,故T=0K时振动能E0就是各振
⎤m
动模零点能之和。
E0=∫
E0(⎤)g(⎤)d⎤将E0(⎤)=
1h⎤和g(⎤)=
3V2
23
代入积
022ð
vs
分有
E=3V⎤
4=9hN⎤
,由于h⎤
=k⎝得E
=9Nk⎝
016ð
2v3m8m
mBD
08BD
一股晶体德拜温度为~102K,可见零点振动能是相当大的,其量值可与温升数XX所需热
能相比拟.
3.11一维复式格子m=5⋅1.67⋅10−24g,M
=4,®
=1.5⋅101N/m(即1.51⋅
104dyn/cm),求:
00A
波
(1)光学
⎤max,⎤min,声学波
max。
(2)相应声子能量是多少电子伏。
(3)在300k时的平均声子数。
(4)与⎤max相对应的电磁波波长在什么波段。
解
(1),⎤A=
2®
=
2⋅1.5⋅104
dyn/cm=3.00⋅1013s−1
maxM
4⋅5⋅1.67⋅1024
(M+m)
2⋅1.5⋅104⋅(4⋅5+5)⋅1.67⋅1024dyn/cm
⎤o===6.70⋅1013s−1
maxMm
4⋅5⋅1.67⋅1024⋅5⋅1.67⋅1024
⎤A=
dyn/cm=5.99⋅1013s−1
max
A
5⋅1.67⋅1024
=6.58⋅10−16⋅5.99⋅1013s−1=1.97⋅10−2eV
(2)h⎤oo
min
=6.58⋅10−16⋅6.70⋅1013s−1=4.41⋅10−2eV
=6.58⋅10−16⋅3.00⋅1013s−1=3.95⋅10−2eV
(3)
eh⎤max
/kBT−1
=0.873,nO
O
=0.221
eh⎤min
/kBT−1
=0.276
(4)⎣=2ð
c=28.1⎧m
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