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考试热点:
①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
第1课时函数及其表示
一、映射
1.映射:
设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的元素,在集合B中都有元素和它对应,这样的对应叫做到的映射,记作.
2.象与原象:
如果f:
A→B是一个A到B的映射,那么和A中的元素a对应的叫做象,叫做原象。
二、函数
1.定义:
设A、B是,f:
A→B是从A到B的一个映射,则映射f:
A→B叫做A到B的,记作.
2.函数的三要素为、、,两个函数当且仅当分别相同时,二者才能称为同一函数。
3.函数的表示法有、、。
例1.下列各组函数中,表示同一函数的是().
A.B.
C.D.
解:
C
变式训练1:
下列函数中,与函数y=x相同的函数是()
A.y=B.y=()2C.y=lg10xD.y=
例2.给出下列两个条件:
(1)f(+1)=x+2;
(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.
(1)令t=+1,∴t≥1,x=(t-1)2.
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈[1,+∞).
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.
∴,∴,又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3.
变式训练2:
(1)已知f()=lgx,求f(x);
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);
(3)已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,求f(x).
(1)令+1=t,则x=,
∴f(t)=lg,∴f(x)=lg,x∈(1,+∞).
(2)设f(x)=ax+b,则
3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,
∴a=2,b=7,故f(x)=2x+7.
(3)2f(x)+f()=3x,①
把①中的x换成,得2f()+f(x)=②
①×
2-②得3f(x)=6x-,∴f(x)=2x-.
例3.等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°
,作直线MN⊥AD交AD于M,交折线ABCD于N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域.
作BH⊥AD,H为垂足,CG⊥AD,G为垂足,
依题意,则有AH=,AG=a.
(1)当M位于点H的左侧时,N∈AB,
由于AM=x,∠BAD=45°
.∴MN=x.∴y=S△AMN=x2(0≤x≤).
(2)当M位于HG之间时,由于AM=x,∴MN=,BN=x-.
∴y=SAMNB=[x+(x-)]=ax-
(3)当M位于点G的右侧时,由于AM=x,MN=MD=2a-x.
∴y=SABCD-S△MDN=
综上:
y=
变式训练3:
已知函数f(x)=
(1)画出函数的图象;
(2)求f
(1),f(-1),f的值.
(1)分别作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的图象,如图所示,作法略.
(2)f
(1)=12=1,f(-1)=-f=f
(1)=1.
1.了解映射的概念,应紧扣定义,抓住任意性和唯一性.
2.函数的解析式常用求法有:
待定系数法、换元法(或凑配法)、解方程组法.使用换元法时,要注意研究定义域的变化.
3.在简单实际问题中建立函数式,首先要选定变量,然后寻找等量关系,求得函数的解析式,还要注意定义域.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用分段函数来表示.
第2课时函数的定义域和值域
一、定义域:
1.函数的定义域就是使函数式的集合.
2.常见的三种题型确定定义域:
①已知函数的解析式,就是.
②复合函数fg(x)]的有关定义域,就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的域.
③实际应用问题的定义域,就是要使得有意义的自变量的取值集合.
二、值域:
1.函数y=f(x)中,与自变量x的值的集合.
2.常见函数的值域求法,就是优先考虑,取决于,常用的方法有:
①观察法;
②配方法;
③反函数法;
④不等式法;
⑤单调性法;
⑥数形法;
⑦判别式法;
⑧有界性法;
⑨换元法(又分为法和法)
例如:
①形如y=,可采用法;
②y=,可采用法或法;
③y=af(x)]2+bf(x)+c,可采用法;
④y=x-,可采用法;
⑤y=x-,可采用法;
⑥y=可采用法等.
例1.求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
(1)由题意得化简得
即故函数的定义域为{x|x<0且x≠-1}.
(2)由题意可得解得
故函数的定义域为{x|-≤x≤且x≠±
}.
(3)要使函数有意义,必须有
即∴x≥1,故函数的定义域为[1,+∞).
求下列函数的定义域:
(1)y=+(x-1)0;
(2)y=+(5x-4)0;
(3)y=+lgcosx;
(1)由得所以-3<x<2且x≠1.
故所求函数的定义域为(-3,1)∪(1,2).
(2)由得∴函数的定义域为
(3)由,得
借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为
例2.设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域.
(1)y=f(3x);
(2)y=f();
(3)y=f(;
(4)y=f(x+a)+f(x-a).
(1)0≤3x≤1,故0≤x≤,y=f(3x)的定义域为[0,].
(2)仿
(1)解得定义域为[1,+∞).
(3)由条件,y的定义域是f与定义域的交集.
列出不等式组
故y=f的定义域为.
(4)由条件得讨论:
①当即0≤a≤时,定义域为[a,1-a];
②当即-≤a≤0时,定义域为[-a,1+a].
综上所述:
当0≤a≤时,定义域为[a,1-a];
当-≤a≤0时,定义域为[-a,1+a].
若函数f(x)的定义域是[0,1],则f(x+a)•f(x-a)(0<a<)的定义域是()A.B.[a,1-a]C.[-a,1+a]D.[0,1]
B
例3.求下列函数的值域:
(1)y=
(2)y=x-;
(1)方法一(配方法)
∵y=1-而
∴0<∴∴值域为.
方法二(判别式法)
由y=得(y-1)
∵y=1时,1.又∵R,∴必须=(1-y)2-4y(y-1)≥0.
∴∵∴函数的值域为.
(2)方法一(单调性法)
定义域,函数y=x,y=-均在上递增,
故y≤
∴函数的值域为.
方法二(换元法)
令=t,则t≥0,且x=∴y=-(t+1)2+1≤(t≥0),
∴y∈(-∞,].
(3)由y=得,ex=∵ex>0,即>0,解得-1<y<1.
∴函数的值域为{y|-1<y<1}.
求下列函数的值域:
(2)y=|x|.
(1)(分离常数法)y=-,∵≠0,
∴y≠-.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}.
(2)方法一(换元法)
∵1-x2≥0,令x=sin,则有y=|sincos|=|sin2|,
故函数值域为[0,].
方法二y=|x|•
∴0≤y≤即函数的值域为.
例4.若函数f(x)=x2-x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1),求a、b的值.
∵f(x)=(x-1)2+a-.
∴其对称轴为x=1,即[1,b]为f(x)的单调递增区间.
∴f(x)min=f
(1)=a-=1①
f(x)max=f(b)=b2-b+a=b②
由①②解得
变式训练4:
已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(x∈R).
(1)求函数的值域为[0,+∞)时的a的值;
(2)若函数的值均为非负值,求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.
(1)∵函数的值域为[0,+∞),
∴Δ=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0∴a=-1或a=.
(2)对一切x∈R,函数值均非负,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0-1≤a≤,∴a+3>0,
∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).
∵二次函数f(a)在上单调递减,∴f(a)min=f=-,f(a)max=f(-1)=4,
∴f(a)的值域为.
1.求函数的定义域一般有三类问题:
一是给出解释式(如例1),应抓住使整个解式有意义的自变量的集合;
二是未给出解析式(如例2),就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域;
三是实际问题,此时函数的定义域除使解析式有意义外,还应使实际问题或几何问题有意义.
2.求函数的值域没有通用方法和固定模式,除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外,应根据问题的不同特点,综合而灵活地选择方法.
第3课时函数的单调性
一、单调性
如果函数y=f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为.
2.判断单调性的方法:
(1)定义法,其步骤为:
①;
②;
③.
(2)导数法,若函数y=f(x)在定义域内的某个区间上可导,①若,则f(x)在这个区间上是增函数;
②若,则f(x)在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
1.若f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)函数;
2.若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为;
3.互为反函数的两个函数有的单调性;
4.复合函数y=fg(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调相同,则fg(x)]为,若f(x),g(x)的单调性相反,则fg(x)]为.
5.奇函数在其对称区间上的单调性,偶函数在其对称区间上的单调性.
例1.已知函数f(x)=ax+(a>1),证明:
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x1<x2,则x2-x1>0,>1且>0,
∴,又∵x1+1>0,x2+1>0,
∴>0,
于是f(x2)-f(x1)=+>0,
故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
方法二f(x)=ax+1-(a>1),
求导数得=axlna+,∵a>1,∴当x>-1时,axlna>0,>0,
>0在(-1,+∞)上恒成立,则f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
方法三∵a>1,∴y=ax为增函数,
又y=,在(-1,+∞)上也是增函数.
∴y=ax+在(-1,+∞)上为增函数.
讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.
方法一显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,
设x1>x2>0,则
f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)•(1-).
∴当0<x2<x1≤时,>1,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,]上是减函数.
当x1>x2≥时,0<<1,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在[,+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数,
∴f(x)分别在(-∞,-]、[,+∞)上为增函数;
f(x)分别在[-,0)、(0,]上为减函数.
方法二由=1-=0可得x=±
当x>或x<-时,>0∴f(x)分别在(,+∞)、(-∞,-]上是增函数.
同理0<x<或-<x<0时,<0
即f(x)分别在(0,]、[-,0)上是减函数.
例2.判断函数f(x)=在定义域上的单调性.
函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},
则f(x)=,
可分解成两个简单函数.
f(x)==x2-1的形式.当x≥1时,u(x)为增函数,为增函数.
∴f(x)=在[1,+∞)上为增函数.当x≤-1时,u(x)为减函数,为减函数,
∴f(x)=在(-∞,-1]上为减函数.
求函数y=(4x-x2)的单调区间.
由4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4).令t=4x-x2,则y=t.
∵t=4x-x2=-(x-2)2+4,∴t=4x-x2的单调减区间是[2,4),增区间是(0,2].
又y=t在(0,+∞)上是减函数,
∴函数y=(4x-x2)的单调减区间是(0,2],单调增区间是[2,4).
例3.求下列函数的最值与值域:
(1)y=4-;
(2)y=x+;
(3)y=.
(1)由3+2x-x2≥0得函数定义域为[-1,3],又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.
∴t∈[0,4],∈[0,2],
从而,当x=1时,ymin=2,当x=-1或x=3时,ymax=4.故值域为[2,4].
(2)方法一函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论
x>0时,即可知x<0时的最值.
∴当x>0时,y=x+≥2=4,等号当且仅当x=2时取得.当x<0时,y≤-4,
等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最值.
方法二任取x1,x2,且x1<x2,
因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=
所以当x≤-2或x≥2时,f(x)递增,当-2<x<0或0<x<2时,f(x)递减.
故x=-2时,f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时,f(x)最小值=f
(2)=4,
所以所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最大(小)值.
(3)将函数式变形为y=,
可视为动点M(x,0)与定点A(0,1)、B(2,-2)距离之和,连结AB,则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.
ymin=|AB|=,可求得x=时,ymin=.
显然无最大值.故值域为[,+∞).
在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x(x>0)台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:
元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:
元),利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?
(1)P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000
(x∈[1,100]且x∈N,)
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)
=2480-40x(x∈[1,100]且x∈N).
(2)P(x)=-20(x-2+74125,当x=62或63时,P(x)max=74120(元).
因为MP(x)=2480-40x是减函数,所以当x=1时,MP(x)max=2440(元).
因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.
例4.(2009•广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f
(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
(1)令x1=x2>0,代入得f
(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f
(1)=0.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,
所以f<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(3)由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数,
由f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9或x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.
函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:
f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)设x1,x2∈R,且x1<x2,
则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
∴f(x2)>f(x1).
即f(x)是R上的增函数.
(2)∵f(4)=f(2+2)=f
(2)+f
(2)-1=5,
∴f
(2)=3,
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f
(2),
∵f(x)是R上的增函数,∴3m2-m-2<2,
解得-1<m<,故解集为(-1,).
1.证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有:
(1)定义法.其过程是:
作差——变形——判断符号,而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构;
(2)求导法.其过程是:
求导——判断导函数的符号——下结论.
2.确定函数单调区间的常用方法有:
(1)观察法;
(2)图象法(即通过画出函数图象,观察图象,确定单调区间);
(3)定义法;
(4)求导法.注意:
单调区间一定要在定义域内.
3.含有参量的函数的单调性问题,可分为两类:
一类是由参数的范围判定其单调性;
一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.
第4课时函数的奇偶性
1.奇偶性:
①定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有,则称f(x)为奇函数;
若,则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x).
②简单性质:
1)图象的对称性质:
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称;
一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.
2)函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.
2.与函数周期有关的结论:
①已知条件中如果出现、或(、均为非零常数,),都可以得出的周期为;
②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称,均可以得到周期
例1.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=log2(x+)(x∈R);
(3)f(x)=lg|x-2|.
(1)∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±
1,即f(x)的定义域是{-1,1}.
∵f
(1)=0,f(-1)=0,∴f
(1)=f(-1),f(-1)=-f
(1),
故f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)方法一易知f(x)的定义域为R,
又∵f(-x)=log2[-x+]=log2=-log2(x+)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
方法二易知f(x)的定义域为R,
又∵f(-x)+f(x)=log2[-x+]+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(3)由|x-2|>0,得x≠2.
∴f(x)的定义域{x|x≠2}关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.
判断下列各函数的奇偶性:
(1)f(x)=(x-2);
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
(1)由≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.
(2)由得定义域为(-1,0)∪(0,1).
这时f(x)=.
∵f(-x)=-∴f(x)为偶函数.
(3)x<-1时,f(x)=x+2,-x>1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).
x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,f(-x)=x+2=f(x).
-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,f(-x)=0=f(x).
∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函数.
例2已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
f(x)是奇函数;
(2)如果x∈R+,f(x)<0,并且f
(1)=-,试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.
(1)证明:
∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.
∵f(x+y)=f(x)+f
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