第4章狭义相对论时空观习题解答文档格式.docx

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t）=5.2104（m）

4-4一列车和山底隧道静止时等长。

列车高速穿过隧道时，山顶上一观察者看到当列车完全进入隧道时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。

试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现象？

这现象是如何发生的？

【解】S系（山顶观察者）看雷击同时发生，但车厢长度短于山洞长度，故未被击中。

S系（列车观察者）看雷击不同时发生。

虽然车厢长度长于山洞长度，但出洞处

先遭雷击，入洞处后遭雷击，此时车尾已经进入山洞。

故未被击中。

4-5一飞船以0.99c的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400m。

（1）地面上的观察者测得飞船长度是多少？

（2）为了测得飞船的长度，地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处。

那么这两位观察者相距多远？

（3）宇航员测得两位观察者相距多远？

【解】

（1）I=101-u2/c2=400“1-0.992=56.4（m）

（2）这两位观察者需同时测量飞船首尾的坐标，相减得到飞船长度，所以两位观察者相距是56.4m。

（3）上的两位观察者相距56.4m,这一距离在地面参考系中是原长，宇航员看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为

I=1。

・1-u2/c2=56.4.1-0.992=7.96（m）

所以宇航员测得两位观察者相距7.96m。

4-6一艘飞船原长为10,以速度v相对于地面作匀速直线飞行。

飞船内一小球从尾部

运动到头部，宇航员测得小球运动速度为U,求地面观察者测得小球运动的时间。

【解】宇航员测得小球离开尾部的时空坐标为（洛讥'

），小球到达头部的时空坐标为

（X2：

t2'

）。

地面上测得小球运动的时间为:

cz—ih'

*'

）

：

t二t2「i二——［鮎密

、1-v2/c2

——12—2（宀）

1-v2/c2c

冷'

-灯制0,t2‘-ti'

=lo/u

—J2空啤）」ML呼?

1-u/ccUli-V/c

4-7在实验室中测得两个粒子均以0.75C的速度沿同一方向飞行，它们先后击中同一静止靶子的时间间隔为5X10"

8s。

求击中靶子前两个粒子相互间的距离。

【解】x=u：

t二11.25（m）

4-8在参考系S中，一粒子沿x轴做直线运动，从坐标原点O运动到x=1.50108m处,经历时间At=1s。

试计算粒子运动所经历的原时是多少？

【解】粒子在S系中的速度为

u二口=1.5108（ms'

△t

原时为：

二t1-u2/c2=0.866（s）

4-9一个在实验室中以0.8c的速度运动的粒子飞行了3m后衰变。

实验室中的观察者

测量该粒子存在了多少时间？

与粒子一起运动的观察者测得该粒子在衰变前存在了多

少时间？

Av

【解】实验室中的观察者测得粒子的存在时间为：

t1.2510-8（s）

u

与粒子一起运动的观察者测得粒子的存在时间为原时

to=t.1-『/C2=110-8（s）

4-10远方的一颗星体以0.8c的速率离开我们。

我们接收到它辐射出来的闪光周期

是5昼夜，求固定在星体上的参考系测得的闪光周期。

【解】我们接收的闪光周期是测时，固定在星体上的参考系测得的闪光周期为原时，

即原时为：

t.1-u2/c2=3（昼夜）

4-11一星体与地球之间的距离是16光年。

一观察者乘坐以0.8c速度飞行的飞船

从地球出发向着星体飞去。

该观察者测得飞船到达星体所花的时间是多少？

试解释计算结果。

【解】星体与地球之间的距离是原长，飞船上的观察者测得的距离是测长，测长为：

Lio1-u2/c2二..1-O.82Lo=9.6（光年）

地球上的观察者测得飞船到达星体所花的时间为：

冷严年）

飞船上的观察者测得的时间是原时，地球上的观察者测得飞船到达星体所花的时

间为测时，这正是时间膨胀的一种表现。

4-12一根固有长度为1m的尺子静止在S系中，与0'

轴成30角。

如果在S系中测得该尺与Ox轴成45。

角，则S'

系相对于S系的速度u是多少？

S系测得该尺的长度是多少？

3

【解】在S'

系中，米尺在X'

轴方向的投影长度为：

X，L0cos30（m）

在y轴方向的投影长度为：

｛二L°

sin30'

0.5（m）

在S系中，米尺在y轴方向的投影长度不变，y=y'

=0.5（m）

由于米尺在S系中测得该尺与Ox轴的夹角为45°

则在x轴方向的投影长度为:

x=0.5（m），即

xm二0.5恃-u%2

S系中测得该尺的长度为：

L-.20.5二0.707（m）

4-13一立方体的质量和体积分别为m0和V。

。

求立方体沿其一棱的方向以速速u

运动时的体积和密度。

【解】设立方体沿x方向运动，立方体的一条棱边平行于x轴。

立方体的原边长为a0=3V0

运动时，沿x轴方向边长为：

a‘二J-u2/c2a°

因此物体的体积为：

V’-；

1-u2/c2a0a0ao=V0：

1-u2/c2

因此运动时物体的密度为:

4-14直杆纵向平行于S系的Ox轴匀速运动，在S系中同时标出该杆两端的位置，

并测得两端坐标差&

1=4m。

若在固定于杆上的S'

系中同时标出该杆两端的位置，则

在S'

系中测得两端坐标差丸=9m。

求杆本身的长度和杆相对于S系的运动速度。

【解】根据题意可知，在S'

系中测得杆的长度即为原长L。

L0二x2=9（m）

（邱雄习题答案）设直杆的原长为Lo,根据题意可知，在s'

系中测得杆的长度

即为原长。

肩J’x：

2❷是在s系中测得杆的长度

"

・2/c2

X2E-u2/c2X是s系测得的距离（原长），在s'

系测得为Lo（缩短

这个题目的AX2=9m是在S系中的两个坐标之差，不是原长。

如果用洛仑兹变换解这题的第二次测量，会更容易理解。

以下是我的解法。

系中，不管是否同时测量，杆两端坐标差都是原长，设直杆的原长为Lo。

第一次测量，&

i=4m是动长，可以直接用长度收缩公式，有以下关系:

第二次测量，虫2‘=0Ax2=9mAx2'

=Lo

由

（1）

（2）得到

.5c

4-15从地球上测得地球到最近的恒星半人马座a星的距离是4.3TO16m,设一宇

宙飞船以速度0.99c从地球飞向该星。

（1）飞船中的观察者测得地球和该星间距离是多少？

（2）按照地球上的时钟计算，飞船往返一次需要多少时间？

若以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？

（1）设地球为S系，飞船为S'

系。

地球上测得地球到半人马座a星的距离为原长，飞船测得的距离为测长。

则：

IF。

.1-u2/c2=4.31016j-o.9992=1.921015（m）

（2）地球上的时钟计算飞船往返一次（2|。

）所需的时间为

地球上的时钟计算飞船往返一次所需的时间为测时，以飞船时钟计为原时，则

:

t=；

t1-u2/c2-9.1d-0.999^^0.41（年）

4-16天津和北京相距120km。

在北京于某日上午9时整有一工厂因过载而断电。

同日在天津于9时0分0.0003秒有一自行车与卡车相撞。

试求在以0.8c沿北京到天津方向飞行的飞船中的观察者看来，这两个事件相距多远？

这两个事件之间的时间间隔是多少？

哪一事件发生的更早？

（1）设飞船为S'

系，地球为S系，北京发生事件1,天津发生事件2。

飞船测得这两个事件的距离为：

（2）飞船测得这两个事件的时间间隔为:

X0，所以天津的事件先发生。

4-17地球上的观察者发现，一艘以0.6c的速度航行的宇宙飞船在5s后同一个以

0.8c的速度与飞船相向飞行的彗星相撞。

（1）飞船上的人看到彗星以多大速率向他们接近。

（2）按照飞船上观察者的钟，还有多少时间允许它离开原来的航线以避免相撞？

（1）设地球为S系，飞船为S系。

由洛伦兹速度变换，在飞船测得的彗星速度为：

即彗星以0.95c的速率向飞船接近。

（2）飞船上测得测得离发生碰撞的时间间隔为：

f「1-u2/c2t=51_0.62=4（s）

4-18一原子核以0.6c的速率离开某观察者运动。

原子核在它的运动方向上向后发

射一光子，向前发射一电子。

电子相对于核的速度为0.8c。

对于静止的观察者，电子和光子各具有多大的速度？

【解】设观察者所在参考系为S系，原子核为S'

由题意可知，u=0.6c，电子v'

二0.8c，光子v'

=-c

4-19

（1）火箭A以0.8c的速度相对于地球向正东飞行，火箭B以0.6c的速度相

对于地球向正西飞行，求火箭B测得火箭A的速度大小和方向。

（2）如果火箭A向正北飞行，火箭B仍向正西飞行，由火箭B测得火箭A的速度大小和方向又是如何？

【解】取正东为X轴的正向，正北为y轴的正向，根据洛伦兹速度相对变换式

_Vx—u」VyP1—u2/C2」VzP1—u2/C2

vxx2，vy2，vzz2_

1-vxu/c1-vxu/c1-vxu/c

（1）将u=-0.6c,vx=0.8c,vy=0,vz=0代入，得：

vxu0.8c（0.6c）

vx'

x20.95c

1-vxu/c21-0.8（-0.6）

'

vy』1-u2/c20

vy'

y20

y1-vxu/c2

vz^1—u2/c20

vz'

z20

1-vxu/c

即在火箭

B上测得火箭A的速度大小为0.95c，方向为正东。

（2）将u=-0.6c,vx=0,Vy=0&

Vz=0代入，得:

^鳥:

眾严6c

I064c

W吋皿87—海tg辰二46・8

即在火箭B上测得火箭A的速度大小为0.87c，方向为东偏北46.8。

9

4-20北京正负电子对撞机中，电子可以被加速到能量为3.00X0eV。

求：

（1）

这个电子的质量是其静止质量的多少倍？

（2）这个电子的速率为多大？

和光速相比相

差多少？

（3）这个电子的动量有多大？

（1）根据Ek二E-E）——1mbc2-m0c2，吮『=0.51106eV可

v1-u2/c2

得:

1Ek3.00109

22k161二5883

1_u2/c2E。

0.51106

1

m22mb-5883m）

出—u/c

即这个电子的质量是其静止质量的5883倍。

（2）由上式可计算出这个电子的速率为：

u=0.99999998c

与光速相比，相差：

=u=1.4410-8c=4.33（m/S）

（3）电子的动量为：

p二Ek2Ekm）c

2E3汉IO?

汉16：

=1.610-18（kgm/s）

3108

由于瓦me2，所以有p：

詈3打沽

4-21一个电子的总能量是它静能的5倍，求它的速率、动量、总能分别是多少?

（1）根据E=Eo・Ek，E=mc2，Eo二me2可得：

Em

=二im=Srrv

Eomo

由mmo，求得电子的速率为:

v1-v2/c2

v1o8（m/s）

（3）电子的能量：

Ek=E-Ec,=4讥^2=32810_13（J）

4-22

（1）把一个静止质量为mo的粒子由静止加速到o.1c所需的功是多少？

（2）

由速率o.89c加速到o.99c所需的功又是多少？

（1）由相对论的功能关系，电子由静止加速到o.1c所需的功为：

22122

W1=mc-moc=（2jT）m）c=o.oo5moc

Wv2/c2

（2）同理，电子由速率o.89c加速到o.99c所需的功为：

1-0.992

I22

2）moc=4.9moc

1-0.892

4-23一个电子由静止出发，经过电势差为1.010V的均匀电场，电子被加速。

已知电子静止质量为m°

=9.1110-31kg,求：

（1）电子被加速后的动能；

⑵电子被加速后质量增加的百分比；

（3）电子被加速后的速率。

（1）根据Ek二eV=1.610J9104=1.610J5（J）

（2）由相对论的动能表达式瓦=mc2-m3c2，可得质量的增量为：

mm-g二写二1.7810‘2（kg）

电子质量增加的百分比为：

•m一1.7810血一2%

呛9.1110”1°

（3）电子加速后质量为：

m二m-讥）=9.291031（kg）

由质速关系式m=m0，可得：

，1-v2/c2

v=c卜埒尸®

1。

8〒一殼）2"

85"

07（m/s）

4-24一个质子的静止质量为mp=1.67265汉10‘7kg，—个中子的静止质量为

mn=1.6749510^7kg，一个质子和一个中子结合成的氘核的静止质量为

_27

mD=3.3436510kg。

求结合过程中放出的能量是多少MeV?

这能量称为氘核的结合能，它是氘核静能的多少倍？

【解】氘核的结合能为：

（：

E）d=（e）dC2=（1.672651.674953.34365）1027（3108）2

=3.551013（J）=2.22（MeV）

=0.12%

（△E）3.5510,3

mDC2一3.3436510,7（3108）2

即这一结合能是氘核静能的0.12%倍o

4-25太阳发出的能量是由质子参与一系列反应产生的，其总结果相当于热核反

应：

；

H+；

Ht；

He+20e°

已知：

一个质子（）的静止质量是mP=1.6726510^7kg，一个氦核（；

He）的静止质量是mHe=6.6425010,7kg,—个正电子（/e）的静止质量是me=9.111021kg。

这一反应所释放的能量是多少？

（2）消耗1kg的质子可以释放的能量是多少？

（3）目前太阳辐射的总功率为P=3.91026W，它一秒钟消耗多少千克质子？

（1）释放能量为：

mc2=（41.6726510-27-6.6425010'

27-29.1110-31）（3108）2

=4.1510'

12（J）

（2）消耗1kg的质子释放的能量为：

4.151012/（41.6726510^7）=6.201014（J/kg）

（3）太阳一秒钟消耗质子的质量为：

3.91严/（6.201014）=6.291011（kg/s）

4-26两个静止质量都是的小球，其中一个静止，另一个以v=0.8c运动。

它们

对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。

【解】两小球碰撞前后能量守恒，则有:

即碰撞后合成小球的静止质量为2.31m0。

4-27在什么速度下粒子的动量等于非相对论动量的2倍？

又在什么速度下粒子的

动能等于非相对论动能的2倍？

【解】对动量问题，由题意可知：

解得：

v=一3c/2=0.866c

对能量问题有:

mcf-t^c2

12=2^ToV

鳥y:

22

1=（1J）"

?

cc

v=0.786c