一类非线性三阶两点边值问题存在结论Word文件下载.docx

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2将会介绍一些标记法和基础部分。

§

3中将对存在结论进行讨论。

我们结论的应用将会在最后一章以例子的形式呈现。

2基础部分

2.1定义函数α（t）∈C3[a,b]会是一个边界值问题（BVP）（1.1），（1.2）的下解法，如果

α”’（t）≥f（t,α（t）,α’（t）,α’’（t））,t∈[a,b],（2.1）

并且

α（a）≤A,g（α’（a））−[α’’（a）]p≤B,φ（α（b）,α’（b）,α’’（b））≤C.（2.2）

函数β（t）∈C3[a,b]回事BVP（1.1），（1.2）的上解法，如果它满足了反响不等式。

定义2.2给出一个子集D⊂[a,b]×

R3，函数f:

D→R在D中满足符号型Nagumo条件（N+*），如果存在Φ∈C（R0+,（0,+∞））这样的

f（t,x,y,z）sgn（z）≤Φ（|z|）所有的（t,x,y,z）∈D（2.3）

ſ0+∞s/Φ（s）ds=+∞.（2.4）

如果如果（2.3）被（2.5）替换

f（t,x,y,z）sgn（z）≥−Φ（|z|）所有的（t,x,y,z）∈D,（2.5）

那我们就说f满足符号型Nagumo条件（N-*）。

引理2.3让αi,βi∈C[a,b]满足

αi（t）≤βi（t）,i=0,1,t∈[a,b],

并且设定集合

E={（t,x,y,z）∈[a,b]×

R3:

α0（t）≤x≤β0（t）,α1（t）≤y≤β1（t）}.

让f:

[a,b]×

R3→R是连续函数并且在E中满足符号型Nagumo条件（N+*）。

那么对于每一个ρ>

0都会存在K>

0（取决于α1（t）,β1（t）,Φ和ρ），对于（1.1）的每一个解法x（t）都会变化

|x”（a）|≤ρ（2.6）

α0（t）≤x（t）≤β0（t）,α1（t）≤x’（t）≤β1（t）所有的t∈[a,b],（2.7）

我们就会得到

||x”||∞<

K.

证明这个结论用[5]中引理2的相似技巧可以很容易证明。

评论2.4.如果我们用条件（N*-）替换（N*+），并且用|x”（b）|≤ρ假定（2.6）,上述结论依然成立。

引理2.5边值问题

x”’=x’Φ（|x”|）,（2.8）

x（a）=0,x’（a）=[x”（a）]p,x’（b）=0（2.9）

其中Φ∈C（R+0,（0,+∞）），得到只是平凡的解法。

证明假定，矛盾x0（t）是BVP（2.8），（2.9）的非平凡解法。

那么会存在t∈[a,b]，这样x’0（t）>

0或者x’0（t）<

0.假定第一个例子成立。

规定

Maxx’0（t）=x’0（t1）>

0.

t∈[a,b]

如果t1∈（a,b）,那么x”0（t1）=0并且x”’0（t1）≤0.从（2.8）中，我们会得到以下矛盾：

0≥x”’0（t1）=x’0（t1）Φ（|x”0（t1）|）>

如果t1=a,那么x’0（a）>

0并且x”0（a）≤0,这与（2.9）矛盾.

如果t1=b,从（2.9）中，我们可以得到矛盾。

这样，BVP（2.8），（2.9）只有平凡解法。

3.主要结论

命题3.1假定

（i）BVP（1.1）,（1.2）,α（t）,β（t）存在上下解法，这样

α’（t）≤β’（t）,t∈[a,b],

（ii）f（t,x,y,z）在[a,b]×

R3是连续的并且在x上是递减的。

（iii）f（t,x,y,z）满足符号型Nagumo条件（N+*）在

D∗={（t,x,y,z）∈[a,b]×

R3:

α（t）≤x≤β（t）,α’（t）≤y≤β’（t）},

（iv）g（y）在R上是连续的，φ（x,y,z）在R3上市连续的，在x上是递减的，在z上是递增的。

那么BVP（1.1），（1.2）会至少有一个解法x（t）∈C3[a,b]，这样

α（t）≤x（t）≤β（t）,a’（t）≤x’（t）≤β’（t）,t∈[a,b].

证明i=0,1,定义

wi（t,xi）=β（i）（t）,xi>

β（i）（t）,

xi,α（i）（t）≤xi≤β（i）（t）,

α（i）（t）,xi<

α（i）（t）.

对于λ∈[0,1]，我们考虑辅助方程式

X”’（t）=λf（t,w0（t,x（t））,w1（t,x’（t））,x”（t））+[x’（t）−λw1（t,x’（t））]Φ（|x”（t）|）,（3.1）

其中Φ由符号型Nagumo条件（N+*）决定，并伴随边界条件

x（a）=λA,（3.2）

x’（a）=λ[B−g（w1（a,x’（a）））+w1（a,x’（a））]+[x”（a）]p,（3.3）

x’（b）=λ[C−φ（w0（b,x（b））,w1（b,x’（b））,x”（b））+w1（b,x’（b））].（3.4）

然后我们可以选择M1>

0，这样对于每一个t∈[a,b],

−M1<

α’（t）≤β’（t）<

M1,（3.5）

f（t,α（t）,α’（t）,0）−[M1+α’（t）]Φ（0）<

0,（3.6）

f（t,β（t）,β’（t）,0）+[M1–β’（t）]Φ（0）>

0,（3.7）

B−g（α’（a））+α’（a）>

−M1,|C−φ（α（b）,α’（b）,0）+α’（b）|<

M1,（3.8）

B−g（β’（a））+β’（a）<

M1,|C−φ（β（b）,β’（b）,0）+β’（b）|<

M1.（3.9）

下面我们将从四步完成论证。

步骤1BVP（3.1）–（3.4）的每个解法x（t）满足

|x’（t）|<

M1,t∈[a,b],（3.10）

独立的λ。

假设估计并不正确。

那么会存在t∈[a,b]，这样x’（t）≥M1或者x’（t）≤−M1.将设第一个例子成立。

定义

maxx’（t）:

=x’（t0）（≥M1>

0）.

t∈[a,b]

如果t∈（a,b），那么x’’（t0）=0并且x”’（t0）≤0.对于条件（ii）和（3.7）下的λ∈（0,1]，我们会有如下矛盾

0≥x”’（t0）

=λf（t0,w0（t0,x（t0））,w1（t0,x’（t0））,x”t0）+[x’（t0）−λw1（t0,x’（t0））]Φ（|x”（t0）|）

=λf（t0,w0（t0,x（t0））,w1（t0,x’（t0））,0）+[x’（t0）–λβ’（t0）]Φ（0）

≥λ{f（t0,β（t0）,β’（t0）,0）+[M1–β’（t0）]Φ（0）}

>

0

并且，对于λ=0时，会有

0≥x”’（t0）=x’（t0）Φ（0）≥M1Φ（0）>

如果t0=a时，那么

maxx’（t）=x’（a）（≥M1>

并且x”（a）≤0时，对于λ=0，通过（3.3）会有以下矛盾：

0<

M1≤x’（a）=[x”（a）]p≤0.

对于λ∈（0,1]时，通过（3.3）和（3.9），我们可以获得如下矛盾：

M1≤x’（a）

=λ[B−g（w1（a,x’（a）））+w1（a,x’（a））]+[x”（a）]p

≤λ[B−g（β’（a））+β’（a）]<

M1.

如果t0=b，那么

maxx’（t）=x’（b）（≥M1>

并且x”（b）≥0.对于λ=0时，通过（3.4）会有下面矛盾：

M1≤x’（b）=0.

对于λ∈（0,1]，通过（3.4），（3.9）和条件（ii）,我们可以获得下面矛盾：

M1≤x’（b）

=λ[C−φ（w0（b,x（b））,w1（b,x’（b））,x”（b））+w1（b,x’（b））]

≤λ[C−φ（β（b）,β’（b）,0）+β’（b）]<

M1.

这样，x’（t）<

M1时，对于t∈[a,b]。

相似的，我们可以证明x’（t）>

−M1时，对于t∈[a,b].从（3.2）可以得到

|x（t）|<

M0=（b−a）M1+|A|,t∈[a,b].

步骤2存在M2>

0这样BVP（3.1）–（3.4）的每个解法x（t）满足独立的λ∈[0,1].

设定集合

D∗∗={（t,x,y,z）∈[a,b]×

R3:

|x|≤M0,|y|≤M1}

并且函数Fλ:

[a,b]×

R3→R由

Fλ（t,x,y,z）=λf（t,w0（t,x）,w1（t,y）,z）+[y−λw1（t,y）]Φ（|z|）.

定义。

下面，将展示Fλ满足在D∗∗中的符号型Nagumo条件，独立的λ∈[0,1]。

事实上，因为f满足在D∗∗中的符号型Nagumo条件，就会有

Fλ（t,x,y,z）sgn（z）=λf（t,w0（t,x）,w1（t,y）,z）sgn（z）+[y–λw1（t,y）]Φ（|z|）sgn（z）

≤[2M1+1]Φ（|z|）

:

=Φ∗（|z|）.

此外，会获得

ſ0+∞s/Φ∗（s）ds=ſ0+∞s/（2M1+1）Φ（s）ds=+∞.

这样，Fλ满足在D∗∗中的符号型Nagumo条件（N∗+），独立的λ∈[0,1]。

让

ρ:

=[|B|+G+2M1]1/p,

其中

G=max|g（y）|.

y∈[−M1,M1]

从（3.3），BVP（3.1）–（3.4）的每个解法x（t）满足

|x”（a）|=|x’（a）−λ[B−g（w1（a,x’（a）））+w1（a,x’（a））]|1/p

≤[|B|+G+2M1]1/p

=ρ.

α0（t）=−M0,β0（t）=M0,α1（t）=−M1,β1（t）=M1,t∈[a,b].

回顾步骤1并应用引理2.3，就会存在M2>

0（独立的λ）,这样|x”（t）|<

M2,t∈[a,b].

步骤3.对于λ=1,BVP（3.1）–（3.4）会有至少一个解法x1（t）.

定义算子

L:

C3[a,b]⊂C2[a,b]→C[a,b]×

R3

通过

Lx=（x”’,x（a）,x’（a）,x’（b））

和

Nλ:

C2[a,b]→C[a,b]×

Nλx=（λf（t,w0（t,x（t））,w1（t,x’（t））,x”（t））+[x’（t）−λw1（t,x’（t））]Φ（|x”（t）|）,Aλ,Bλ,Cλ）

且

Aλ=λA,

Bλ=λ[B−g（w0（a,x（a））,w1（a,x’（a）））+w1（a,x’（a））]+[x”（a）]p,

Cλ=λ[C−φ（w0（b,x（b））,w1（b,x’（b））,x”（b））+w1（b,x’（b））].

因为L−1是紧的，我们可以定义完全连续算子

Tλ:

C2[a,b]→C2[a,b]

Tλ（x）=L−1Nλ（x）.

Ω={x∈C2[a,b]:

x∞<

M0,x’∞<

M1,x”∞<

M2}.

通过步骤1和2，对每个λ∈[0,1]都很好的定义度deg（I−Tλ,Ω,θ），通过同伦不变性，我们可以得到

deg（I−T0,Ω,0）=deg（I−T1,Ω,0）.

方程式x=T0（x）通过度理论，从引理2.5只会有平凡解法，

deg（I−T1,Ω,0）=deg（I−T0,Ω,0）=±

1.

因此，方程式x=T1（x）有至少一个解法。

就是问题

X”’（t）=f（t,w0（t,x（t））,w1（t,x’（t））,x”（t））+[x’（t）−w1（t,x’（t））]Φ（|x”（t）|）（3.11）

带有边界条件

x（a）=A,（3.12）

x’（a）=[B−g（w1（a,x’（a）））+w1（a,x’（a））]+[x”（a）]p,（3.13）

x’（b）=[C−φ（w0（b,x（b））,w1（b,x’（b））,x”（b））+w1（b,x’（b））]（3.14）

在Ω会至少有一个解法x1（t）。

步骤4.事实上，上面问题的解法x1（t）也是BVP（1.1）,（1.2）的解法，因为它满足

α（t）≤x1（t）≤β（t）,α’（t）≤x’1（t）≤β’（t）,t∈[a,b].（3.15）

假设，矛盾，存在t∈[a,b]这样x’1（t）>

β’（t）,并定义

max[x’1（t）–β’（t）]:

=x’1（t1）–β’（t1）>

如果t1∈（a,b）,那么x”1（t1）=β”（t1）并且x’’’1（t1）≤β’’’（t1）.通过条件（ii）,会得到矛盾

0≥x’’’1（t1）–β’’’（t1）

≥f（t1,w0（t1,x1（t1））,w1（t1,x’1（t1））,x”1（t1））

+[x’1（t1）−w1（t1,x’1（t1））]Φ（|x”1（t1）|）−f（t1,β（t1）,β’（t1）,β”（t1））

≥f（t1,β（t1）,β’（t1）,β”（t1））+[x’1（t1）–β’（t1）]Φ（|x”1（t1）|）−f（t1,β（t1）,β’（t1）,β”（t1））

=[x’1（t1）–β’（t1）]Φ（|x”1（t1）|）

>

如果t1=a,会有

=x’1（a）–β’（a）>

X”1（a）–β”（a）≤0.

通过（3.13），定义2.1和条件（iv）,会有

β’（a）<

x’1（a）

=[B−g（w1（a,x’1（a）））+w1（a,x’1（a））]+[x’’1（a）]p

≤B−g（β’（a））+β’（a）+[β”（a）]p

≤β'

（a）.

如果t1=b，会有

=x’1（b）–β’（b）>

x”1（b）–β”（b）≥0.

通过（3.14），定义2.1和条件（iv），会有矛盾

β’（b）<

x’1（b）

=[C−φ（w0（b,x1（b））,w1（b,x’1（b））,x”1（b））+w1（b,x’1（b））]

≤C−φ（β（b）,β’（b）,β”（b））+β’（b）

≤β’（b）.

这样，

x’1（t）≤β’（t）,t∈[a,b].

应用相似手法，对于每个t∈[a,b]会获得α’（t）≤x’1（t）.从

α（a）≤A≤β（a）,

通过整合，会有

α（t）≤x1（t）≤β（t）,t∈[a,b].

因此，x1（t）事实上是BVP（1.1）,（1.2）.的一个解法。

非线性边界条件（1.3）对定理3.1的一个相似存在结果可以获得问题（1.1），（1.3）.

4.例子

例子4.1边值问题

X”’=−x（x’）2−t2（x”）3,（4.1）

x（0）=0,（4.2）

（x’（0））3−（x”（0））p=1,（4.3）

−4/πtan−1x

（1）+2x’

（1）+（x’’

（1））3=1,（4.4）

其中p是奇数。

f（t,x,y,z）=−xy2−t2z3,

g（y）=y3,

φ（x,y,z）=−4/πtan−1x+2y+z3.

α（t）=−t,β（t）=t,t∈[0,1],

那么α（t）,β（t）是BVP（4.1）–（4.4）的上下解法。

而且我们发现f满足符号型Nagumo条件（N+*）在

D={（t,x,y,z）∈[0,1]×

−t≤x≤t,−1≤y≤1}

且Φ（z）=2.很容易证明定理3.1的所有条件都能被满足。

因此，从定义3.1，会存在BVP（4.1）–（4.4）的解法x（t），这样

−t≤x（t）≤t,−1≤x’（t）≤1,t∈[0,1].

显然，[5]的结果并不适用于例子4.1，从而得出本篇文章富有新意且有意义。

参考文献