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(一)什么是选言命题(析取命题)
定义及分类
(二)选言命题的逻辑性质
∨的真值表:
p
q
p∨q
T
F
的真值表:
(三)对联言命题和选言命题的否定
1.德·
摩根律:
(p∧q)p∨q,
2.德·
(p∨q)p∧q。
二、选言推理
(一)相容选言推理规则
1.析取消去规则(∨_):
A∨B,A├B;
A∨B,B├A
规则:
否定一部分选言支,就要肯定其余的选言支。
2.析取引入规则(∨+):
A├A∨B;
B├A∨B
注意:
肯定一部分选言支,不能否定另一部分选言支。
A∨B,A
B;
A∨B,B
A
(二)不相容选言推理规则
1.否定肯定规则:
A
B,A├B;
B,B├A
2.肯定否定规则:
A
B,A├B;
B,B├A
第四节假言命题及其推理
一、什么是假言命题
二.充分条件假言命题
1.定义
2.形式:
p→q
3.逻辑性质:
如果p是q的充分条件,那么,有p就有q,就不会出现有p而无q的情况。
如果充分条件假言命题是真的,就不会出现前件真而后件假的情况。
p→q
4.假言推理
(1)肯定前件规则:
A→B,A├B
(2)否定后件规则:
A→B,B├A
(3)肯定后件,不能得出结论:
A→B,B⊬A;
A→B,B⊬A
(4)否定前件,不能得结论:
A→B,A⊬B;
A→B,A⊬B三.必要条件假言命题
只有p,才q。
形式语言中,用p←q来表示。
p是q的必要条件,就是说没有p就没有q。
如果一个必要条件假言命题为真,就不会出现前件假而后件真的情况。
p←q
(1)否定前件规则:
A←B,A├B
(2)肯定后件规则:
A←B,B├A
(3)肯定前件,不能得结论:
A←B,A⊬B;
A←B,A⊬B
(4)否定后件,不能得结论:
A←B,B⊬A;
A←B,B⊬A
四.充要条件假言命题
1.定义
2.形式:
p当且仅当q。
形式语言中,以pq表示。
3.逻辑性质:
如果前件和后件都是真的,那么,充要条件假言命题是真的,如果前件和后件都是假的,那么,充要条件假言命题也是真的。
pq
4.假言推理
(1)等值引入规则(记为+):
A→B,B→A├AB。
(2)等值消去规则(记为_):
AB├A→B;
AB├B→A
(3)对于充要条件假言推理,以下四种推理形式都是有效的:
•肯定前件式:
AB,A├B;
•否定前件式:
AB,A├B;
•肯定后件式:
AB,B├A;
•否定后件式:
AB,B├A。
五.假言易位推理
•A→B├B→A;
•B→A├A→B;
•B→A├A→B。
六.反三段论
A∧B→C├A∧C→B;
A∧B→C├B∧C→A。
七.假言三段论
A→B,B→C├A→C。
八.二难推理
简单构成式:
A→C,B→C,A∨B├C
复杂构成式:
A→C,B→D,A∨B├C∨D
简单破坏式:
A→B,A→C,B∨C├A
复杂破坏式:
A→C,B→D,C∨D├A∨B
■第五节命题逻辑的自然推理系统NP
一、命题逻辑的形式语言
起始符号:
(1)甲类符号:
p1,p2,p3,…;
(2)乙类符号:
,∧,∨,→;
(3)丙类符号:
(,)。
形成规则:
(1)任何单个的命题变元p是合式公式;
(2)如果A是合式公式,则(A)是合式公式;
(3)如果A和B是合式公式,则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)是合式公式;
只有
(1)—(3)形成的符号串是合式公式。
其他连接词的定义:
B=df(A∨B)∧(A∧B)
A←B=dfB→A
(AB)=df(A→B)∧(B→A)。
二、有前提的形式推演
三、推理规则及形式证明
(一)基本推导规则
1.合取词引入规则(∧+):
A,B├A∧B。
2.合取词消去规则(∧_):
3.析取词消去规则(∨_):
A∨B,B├A。
4.析取词引入规则(∨+):
A├A∨B;
B├A∨B。
5.蕴涵词消去规则(即肯定前件规则,分离规则,记为M.P.,→_):
A→B,A├B。
6.蕴涵词引入规则(也称条件证明规则,→+):
如果Γ,A├B,那么Γ├A→B。
7.否定词消去规则(也称反证法规则,_):
若Γ,A├B∧B,则Γ├A
形式证明示例:
.A∧(A→C)├C
(1)A∧(A→C)A1
(2)A
(1),∧_
(3)A→C
(1),∧_
(4)C
(2),(3),→_
.A∧B→C,A,B├C
(1)A∧B→CA1
(2)AA2
(3)BA3
(4)A∧B
(2),(3),∧+
(5)C
(1),(4),→_
.A,A∨C→B├B
(1)AA1
(2)A∨C→BA2
(3)A∨C
(1),∨+
(4)B
(2),(3),→_
.A∨(C→B),A├C→B
(1)A∨(C→B)A1
(2)AA2
(3)C→B
(1),
(2),∨_
.A├A
(2)AH1(_的假设)
(3)A
(2),_
(4)A∧A
(1),(3),∧+
(5)A
(2),(4),_(消去H1)
蕴涵引入规则(→+)的使用(例):
A→B,B→C├A→C
(1)A→BA1
(2)B→CA2
(3)AH1(→+的假设)
(4)B
(1),(3),→_
(5)C
(2),(4),→_
(6)A→C(3),(5),→+(消去H1)
否定消去规则(_)的使用:
A├A
(2)AH1(_的假设)
(3)A∧A
(1),
(2),∧+
(4)A
(2),(3),_(消去H1)
(二)常用的派生规则:
1.等值词引入规则(+):
A→B,B→A├AB
2.等值词消去规则(_):
AB├A→B;
AB├B→A。
3.双重否定引入规则(+):
A├A;
4.双重否定消去规则(_):
A├A;
5.否定后件规则(M.T.)A→B,B├A;
6.←的否定前件规则:
A←B,A├B;
7.←肯定后件规则:
A←B,B├A;
8.假言三段论规则:
A→B,B→C├A→C。
形式证明示例:
.A→B,A→B├A(归谬法,记为+)
(2)A→BA2
(3)AH1(_的假设)
(4)A(3),_
(5)B
(1),(4),→_
(6)B
(2),(4),→_
(7)B∧B(5),(6),∧+
(8)A(3),(7),_(消去H1)
.A→B├B→A
(2)BH1(→+的假设)
(3)AH2(_的假设)
(4)A(3),_
(6)B∧B(5),
(2),∧+
(7)A(3),(6),_(消去H2)
(8)B→A
(2),(7),→+(消去H1)
.B→A├A→B
(1)B→AA1
(2)AH1(→+的假设)
(3)BH2(_的假设)
(4)A
(1),(3),→_
(5)A∧A
(2),(4),∧+
(6)B(3),(5),_(消去H2)
(7)A→B
(2),(6),→+(消去H1)
(三)等值置换规则:
1.A├┤A
2.德·
摩根律(记为DeM):
(A∨B)├┤A∧B;
(A∧B)├┤A∨B。
3.蕴析律:
A→B├┤A∨B;
4.对→的否定:
(A→B)├┤A∧B;
5.对←的否定:
(A←B)├┤A∧B;
6.假言易位律:
A→B├┤B→A;
7.输入输出律:
A∧B→C├┤A→(B→C)
8.条件交换律:
A→(B→C)├┤B→(A→C)
等值置换规则使用示例:
(A∨B)→C,A→B├C
(1)(A∨B)→CA1
(3)(A→B)→C
(1),R.P.(蕴析律)
(四)关于联结词的一些逻辑规律
1.(A∨B)├A,(A∨B)├B;
2.A├(A∧B),B├(A∧B);
3.A∨B,A→C,B→C├C(二难推理,记为D.C.);
4.A→B,A→C,B∨C├A(二难推理);
5.A∧B→C├┤A∧C→B(反三段论);
6.A∧B→C├A→(B→C)(条件输出);
7.A→(B→C)├A∧B→C(条件输入);
8.A→(B→C)├┤(A→B)→(A→C)(蕴涵分配);
9.A→(B→C)├┤B→(A→C)(条件互易);
10.A→C,B→C├A∧B→C(前件合取);
11.A→B,A→C├A→B∧C(后件合取);
12.A∧B→C├┤(A→C)∨(B→C);
13.A∨B→C├┤(A→C)∧(B→C);
证明下列公式集不一致:
1.{A∨B→C,C→D,A∧D}
(1)A∨B→CA1
(2)C→DA2
(3)A∧DA3
(4)A(3),∧_
(5)D(3),∧__
(6)A∨B(4),∨+
(7)C
(1),(6),→_
(8)D
(2),(7),→_
(9)D∧D(5),(8),∧+
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