弹簧问题专题1Word格式.docx
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D.若突然剪断弹簧,则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为3g和0
分析与解:
剪断细线瞬间,细线拉力突然变为零,弹簧对P的拉力仍为3mg竖直向上,因此剪断瞬间P的加速度为向上2g,而Q的加速度为向下g;
剪断弹簧瞬间,弹簧弹力突然变为零,细线对P、Q的拉力也立即变为零,因此P、Q的加速度均为竖直向下,大小均为g。
选C。
例2.如图所示,小球P、Q质量均为m,分别用轻弹簧b和细线c悬挂在天花板下,再用另一细线d、e与左边的固定墙相连,静止时细线d、e水平,b、c与竖直方向夹角均为θ=37?
。
下列判断正确的是
A.剪断d瞬间P的加速度大小为0.6g
B.剪断d瞬间P的加速度大小为0.75g
C.剪断e前c的拉力大小为0.8mg
D.剪断e后瞬间c的拉力大小为1.25mg
剪断d瞬间弹簧b对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化,因此重力和弹簧拉力的合力与剪断前d对P的拉力大小相等,为0.75mg,因此加速度大小为0.75g,水平向右;
剪断e前c的拉力大小为1.25mg,剪断e后,沿细线方向上的合力充当向心力,因此c的拉力大小立即减小到0.8mg。
选B。
二、临界问题
两个相互接触的物体被弹簧弹出,这两个物体在什么位置恰好分开?
这属于临界问题。
“恰好分开”既可以认为已经分开,也可以认为还未分开。
认为已分开,那么这两个物体间的弹力必然为零;
认为未分开,那么这两个物体的速度、加速度必然相等。
同时利用这两个结论,就能分析出当时弹簧所处的状态。
特点:
1.接触;
2.还没分开所以有共同的速度和加速度;
3.弹力为零。
这种临界问题又分以下两种情况:
1.仅靠弹簧弹力将两物体弹出,那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。
例3.如图所示,两个木块A、B叠放在一起,B与轻弹簧相连,弹簧下端固定在水平面上,用竖直向下的力F压A,使弹簧压缩量足够大后,停止压缩,系统保持静止。
这时,若突然撤去压力F,A、B将被弹出且分离。
A.木块A、B分离时,弹簧的长度恰等于原长
B.木块A.B分离时,弹簧处于压缩状态,弹力大小等于B的重力
C.木块A、B分离时,弹簧处于压缩状态,弹力大小等于A、B的总重力
D.木块A、B分离时,弹簧的长度可能大于原长
以A为对象,既然已分开,那么A就只受重力,加速度竖直向下,大小为g;
又未分开,A、B加速度相同,因此B的加速度也是竖直向下,大小为g,说明B受的合力为重力,所以弹簧对B没有弹力,弹簧必定处于原长。
选A。
此结论与两物体质量是否相同无关。
例4.如图所示,轻弹簧左端固定在竖直墙上,右端与木块B相连,木块A紧靠木块B放置,A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ。
用水平力F向左压A,使弹簧被压缩一定程度后,系统保持静止。
若突然撤去水平力F,A、B向右运动,下列判断正确的是
A.A、B一定会在向右运动过程的某时刻分开
B.若A、B在向右运动过程的某时刻分开了,当时弹簧一定是原长
C.若A、B在向右运动过程的某时刻分开了,当时弹簧一定比原长短
D.若A、B在向右运动过程的某时刻分开了,当时弹簧一定比原长长
若撤去F前弹簧的压缩量很小,弹性势能小于弹簧恢复原长过程A、B克服摩擦阻力做的功,那么撤去F后,A、B虽能向右滑动,但弹簧还未恢复原长A、B就停止滑动,没有分离。
只要A、B在向右运动过程的某时刻分开了,由于分离时A、B间的弹力为零,因此A的加速度是aA=μg;
而此时A、B的加速度相同,因此B的加速度aB=μg,即B受的合力只能是滑动摩擦力,所以弹簧必然是原长。
例5.如图所示,轻弹簧的一端固定在地面上,另一端与木块B相连,木块A放在木块B上,两木块质量均为m,在木块A上施有竖直向下的力F,整个装置处于静止状态。
(1)突然将力F撤去,若运动中A、B不分离,则A、B共同运动到最高点时,B对A的弹力有多大?
(2)要使A、B不分离,力F应满足什么条件?
【点拨解疑】力F撤去后,系统作简谐运动,该运动具有明显的对称性,该题利用最高点与最低点的对称性来求解,会简单的多.
(1)最高点与最低点有相同大小的回复力,只有方向相反,这里回复力是合外力.在最低点,即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间,受到的合外力应为F/2,方向竖直向上;
当到达最高点时,A受到的合外力也为F/2,但方向向下,考虑到重力的存在,所以B对A的弹力为
(2)力F越大越容易分离,讨论临界情况,也利用最高点与最低点回复力的对称性.最高点时,A、B间虽接触但无弹力,A只受重力,故此时恢复力向下,大小位mg。
那么,在最低点时,即刚撤去力F时,A受的回复力也应等于mg,但根据前一小题的分析,此时回复力为F/2,这就是说F/2=mg。
则F=2mg.因此,使A、B不分离的条件是F≤2mg。
2.除了弹簧弹力,还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。
那么两个物体分离时弹簧必然不一定是原长。
(弹簧和所连接的物体质量不计分离时是弹簧的原长,但质量考虑时一定不是弹簧的原长,)可看成连接体。
例6.一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。
如图所示。
现让木板由静止开始以加速度a(a<g=匀加速向下移动。
求经过多长时间木板开始与物体分离。
设物体与平板一起向下运动的距离为x时,物体受重力mg,弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。
据牛顿第二定律有:
mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma
当N=0时,物体与平板分离,所以此时
因为
,所以
例7.如图所示,一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计,盘内放一个物体P处于静止,P的质量m=12kg,弹簧的劲度系数k=300N/m。
现在给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在t=0.2s内F是变力,在0.2s以后F是恒力,g=10m/s2,则F的最小值是,F的最大值是。
因为在t=0.2s内F是变力,在t=0.2s以后F是恒力,所以在t=0.2s时,P离开秤盘。
此时P受到盘的支持力为零,由于盘和弹簧的质量都不计,所以此时弹簧处于原长。
在0~0.2s这段时间内P向上运动的距离:
x=mg/k=0.4m
,所以P在这段时间的加速度
当P开始运动时拉力最小,此时对物体P有N-mg+Fmin=ma,又因此时N=mg,所以有Fmin=ma=240N.
当P与盘分离时拉力F最大,Fmax=m(a+g)=360N.
例8.一弹簧秤的秤盘质量m1=1.5kg,盘内放一质量为m2=10.5kg的物体P,弹簧质量不计,其劲度系数为k=800N/m,系统处于静止状态,如图9所示。
现给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在最初0.2s内F是变化的,在0.2s后是恒定的,求F的最大值和最小值各是多少?
(g=10m/s2)
此时P受到盘的支持力为零,由于盘的质量m1=1.5kg,所以此时弹簧不能处于原长,这与例2轻盘不同。
设在0_____0.2s这段时间内P向上运动的距离为x,对物体P据牛顿第二定律可得:
F+N-m2g=m2a
对于盘和物体P整体应用牛顿第二定律可得:
令N=0,并由述二式求得
,而
,所以求得a=6m/s2.
当P开始运动时拉力最小,此时对盘和物体P整体有Fmin=(m1+m2)a=72N.
当P与盘分离时拉力F最大,Fmax=m2(a+g)=168N.
例9.如图所示,质量均为m=500g的木块A、B叠放在一起,轻弹簧的劲度为k=100N/m,上、下两端分别和B与水平面相连。
原来系统处于静止。
现用竖直向上的拉力F拉A,使它以a=2.0m/s2的加速度向上做匀加速运动。
求:
⑴经过多长时间A与B恰好分离?
⑵上述过程中拉力F的最小值F1和最大值F2各多大?
⑶刚施加拉力F瞬间A、B间压力多大?
⑴设系统静止时弹簧的压缩量为x1,A、B刚好分离时弹簧的压缩量为x2。
kx1=2mg,x1=0.10m。
A、B刚好分离时,A、B间弹力大小为零,且aA=aB=a。
以B为对象,用牛顿第二定律:
kx2-mg=ma,得x2=0.06m,可见分离时弹簧不是原长。
该过程A、B的位移s=x1-x2=0.04m。
由
,得t=0.2s
⑵分离前以A、B整体为对象,用牛顿第二定律:
F+kx-2mg=2ma,可知随着A、B加速上升,弹簧形变量x逐渐减小,拉力F将逐渐增大。
开始时x=x1,F1+kx1-2mg=2ma,得F1=2N;
A、B刚分离时x=x2,F2+kx2-2mg=2ma,得F2=6N
⑶以B为对象用牛顿第二定律:
kx1-mg-N=ma,得N=4N
三、弹簧振子的简谐运动
轻弹簧一端固定,另一端系一个小球,便组成一个弹簧振子。
无论此装置水平放置还是竖直放置,在忽略摩擦阻力和空气阻力的情况下,弹簧振子的振动都是简谐运动。
弹簧振子做简谐运动过程中机械能守恒。
水平放置的弹簧振子的总机械能E等于弹簧的弹性势能Ep和振子的动能Ek之和,还等于通过平衡位置时振子的动能(即最大动能),或等于振子位于最大位移处时弹簧的弹性势能(即最大势能),即E=Ep+Ek=Epm=Ekm
简谐运动的特点之一就是对称性。
振动过程中,振子在离平衡位置距离相等的对称点,所受回复力大小、位移大小、速度大小、加速度大小、振子动能等都是相同的。
例10.如图所示,木块P和轻弹簧组成的弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,O为平衡位置,B.C为木块到达的最左端和最右端。
有一颗子弹竖直向下射入P并立即留在P中和P共同振动。
A.若子弹是在C位置射入木块的,则射入后振幅不变,周期不变
B.若子弹是在B位置射入木块的,则射入后振幅不变,周期变小
C.若子弹是在O位置射入木块的,则射入后振幅不变,周期不变
D.若子弹是在O位置射入木块的,则射入后振幅减小,周期变大
振动能量等于振子在最远点处时弹簧的弹性势能。
在B或C射入,不改变最大弹性势能,因此不改变振动能量,也不改变振幅;
但由于振子质量增大,加速度减小,因此周期增大。
振动能量还等于振子在平衡位置时的动能。
在O点射入,射入过程子弹和木块水平动量守恒,相当于完全非弹性碰撞,动能有损失,继续振动的最大动能减小,振动能量减小,振幅减小;
简谐运动周期与振幅无关,但与弹簧的劲度和振子的质量有关。
子弹射入后,振子质量增大,因此周期变大。
选D。
例11.如图所示,轻弹簧下端固定,竖立在水平面上。
其正上方A位置有一只小球。
小球从静止开始下落,在B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大小等于重力,在D位置小球速度减小到零。
小球下降阶段下列判断中正确的是
A.在B位置小球动能最大
B.在C位置小球加速度最大
C.从A→C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加
D.从B→D位置小球重力势能的减少小于弹簧弹性势能的增加
A→C小球受的合力一直向下,对小球做正功,动能增加;
C→D小球受的合力一直向上,对小球做负功,使动能减小,因此在C位置小球动能最大。
从B到D小球的运动是简谐运动的一部分,且C为平衡位置,因此在C.D间必定有一个B?
点,满足BC=B?
C,小球在B?
点的速度和加速度大小都和在B点时相同;
从C到D位移逐渐增大,回复力逐渐增大,加速度也逐渐增大,因此小球在D点加速度最大,且大于g。
从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和,因此重力势能的减少大于动能的增大。
从B→D小球重力势能减小,弹性势能增加,且B点动能大于D点动能,因此重力势能减少和动能减少之和等于弹性势能增加。
四、弹性势能问题
机械能包括动能、重力势能和弹性势能。
其中弹性势能的计算式
高中不要求掌握,但要求知道:
对一根确定的弹簧,形变量越大,弹性势能越大;
形变量相同时,弹性势能相同。
因此关系到弹性势能的计算有以下两种常见的模式:
1.利用能量守恒定律求弹性势能。
例12.如图所示,质量分别为m和2m的A.B两个木块间用轻弹簧相连,放在光滑水平面上,A靠紧竖直墙。
用水平力F将B向左压,静止后弹簧储存的弹性势能为E。
若突然撤去F,那么A离开墙后,弹簧的弹性势能最大值将是多大?
A离开墙前A、B和弹簧组成的系统机械能守恒,弹簧恢复原长过程,弹性势能全部转化为B的动能,因此A刚离开墙时刻,B的动能为E。
A离开墙后,该系统动量守恒,机械能也守恒。
当A、B共速时,系统动能最小,因此弹性势能最大。
A刚离开墙时刻B的动量和A、B共速时A、B的总动量相等,由动能和动量的关系Ek=p2/2m知,A刚离开墙时刻B的动能和A、B共速时系统的动能之比为3:
2,因此A、B共速时系统的总动能是2E/3,这时的弹性势能最大,为E/3。
2.利用形变量相同时弹性势能相同。
例13.如图所示,质量均为m的木块A、B用轻弹簧相连,竖直放置在水平面上,静止时弹簧的压缩量为l。
现用竖直向下的力F缓慢将弹簧再向下压缩一段距离后,系统再次处于静止。
此时突然撤去压力F,当A上升到最高点时,B对水平面的压力恰好为零。
⑴F向下压缩弹簧的距离x;
⑵压力F在压缩弹簧过程中做的功W。
⑴如图①、②、③、④分别表示未放A,弹簧处于原长的状态、弹簧和A相连后的静止状态、撤去压力F前的静止状态和撤去压力后A上升到最高点的状态。
撤去F后,A做简谐运动,②状态A处于平衡位置。
②状态弹簧被压缩,弹力等于A的重力;
④状态弹簧被拉长,弹力等于B的重力;
由于A、B质量相等,因此②、④状态弹簧的形变量都是l。
由简谐运动的对称性,③、④状态A到平衡位置的距离都等于振幅,因此x=2l
⑵②到③过程压力做的功W等于系统机械能的增加,由于是“缓慢”压缩,机械能中的动能不变,重力势能减少,因此该过程弹性势能的增加量ΔE1=W+2mgl;
③到④过程系统机械能守恒,初、末状态动能都为零,因此弹性势能减少量等于重力势能增加量,即ΔE2=4mgl。
由于②、④状态弹簧的形变量相同,系统的弹性势能相同,即ΔE1=ΔE2,因此W=2mgl。
五、解决弹簧问题的一般方法
解决与弹簧相关的问题,一定要抓住几个关键状态:
原长、平衡位置、简谐运动的对称点。
把这些关键状态的图形画出来,找到定性和定量的关系,进行分析。
例14.如图,质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连,弹簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态。
一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端连一轻挂钩。
开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向。
现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放,已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。
若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B刚离地面时D的速度的大小是多少?
已知重力加速度为g。
画出未放A时弹簧的原长状态和挂C后刚好使B离开地面的状态。
以上两个状态弹簧的压缩量和伸长量分别为x1=m1g/k和x2=m2g/k,该过程A上升的高度和C下降的高度都是x1+x2,且A.C的初速度、末速度都为零。
设该过程弹性势能的增量为ΔE,由系统机械能守恒:
m1g(x1+x2)-m3g(x1+x2)+ΔE=0
将C换成D后,A上升x1+x2过程系统机械能守恒:
m1g(x1+x2)-(m1+m3)g(x1+x2)+ΔE+(2m1+m3)v2/2=0
由以上两个方程消去ΔE,得
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