142 乘法公式讲义 学生版Word文档下载推荐.docx

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两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

（a+b）（a-b）=a2-b2

（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．

【例题】下列算式能用平方差公式计算的是（　　）

A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣2x﹣1）（﹣2x﹣1）

C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）

【变式1】已知

是方程

的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）

A．25B．45C．﹣25D．﹣45

【变式2】已知a2﹣4b2=12，且a﹣2b=﹣3，则a+2b=　　．

知识点二：

完全平方公式（重点）

（1）完全平方公式：

（a±

b）2=a2±

2ab+b²

可巧记为：

“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

（2）完全平方公式有以下几个特征：

①左边是两个数的和的平方；

②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；

其符号与左边的运算符号相同．

（3）应用完全平方公式时，要注意：

①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；

②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；

③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．

【例题】已知实数a、b满足a+b=2，ab=

，则a﹣b=（　　）

A．1B．﹣

C．±

1D．±

【变式1】将9.52变形正确的是（　　）

A．9.52=92+0.52B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）

C．9.52=102﹣2×

10×

0.5+0.52D．9.52=92+9×

0.5+0.52

【变式2】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘方（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第三项的系数为（　　）

A．2016B．2017C．2018D．2019

知识点三：

添括号法则（难点）

（1）去括号法则：

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

（2）去括号规律：

①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；

②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号．

说明：

①去括号法则是根据乘法分配律推出的；

②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．

（3）添括号法则：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．

添括号与去括号可互相检验．

【例题】下列变形中，不正确的是（　　）

A．a﹣b﹣（c﹣d）=a﹣b﹣c﹣dB．a﹣（b﹣c+d）=a﹣b+c﹣d

C．a+b﹣（﹣c﹣d）=a+b+c+dD．a+（b+c﹣d）=a+b+c﹣d　

【变式1】已知a﹣b=﹣3，c+d=2，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（　　）

A．1B．5C．﹣5D．﹣1

【变式2】在横线内填上恰当的项：

ax﹣bx﹣ay+by=（ax﹣bx）﹣（　　）．

拓展点一：

乘法公式的应用

【例题】利用乘法公式计算：

98²

【变式1】利用平方差公式计算：

30.1×

29.9．

【变式2】写出计算结果：

（x﹣1）（x+1）=　　　

（x﹣1）（x2+x+1）=　　

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=　　

根据以上等式进行猜想，可得：

（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）=　　．

拓展点二：

完全平方公式的变形应用

【例题】已知x+y=10，xy=5，求x2+y2的值．

【变式1】已知x2﹣3x+1=0，

求

（1）

；

（2）

．

【变式2】已知x+

=4，求x﹣

的值．

拓展点三：

数形结合问题

【例题】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积=

（上底+下底）×

高）．

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．

【变式1】已知一个长方体的长为2a，宽也是2a，高为h．

（1）用a、h的代数式表示该长方体的体积与表面积．

（2）当a=3，h=

时，求相应长方体的体积与表面积．

（3）在

（2）的基础上，把长增加x，宽减少x，其中0＜x＜6，问长方体的体积是否发生变化，并说明理由．

【变式2】如图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．

（1）请用字母a和b表示出图中阴影部分的面积；

（2）将阴影部分还能拼成一个长方形，如图乙这个长方形的长和宽分别是多少？

表示出阴影部分的面积；

（3）比较

（1）和

（2）的结果，可以验证平方差公式吗？

请给予解答．

拓展点四：

乘法公式的实际应用

【例题】已知一块“十字型”纸板如图，请画出一个面积和这块纸板面积相等的长方形，并指出此长方形的长和宽．

【变式1】原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积．

【变式2】如图：

边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义．

易错点一：

平方差公式中没有找准

与

【例题】已知：

x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．

【变式1】计算：

（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）

【变式2】运用乘法公式计算：

（a﹣b﹣3）（a﹣b+3）．

易错点二：

完全平方公式中某些系数漏掉平方

【例题】如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=　　．　

【变式1】一个二次三项式的完全平方式是4x4+4x3+ax2﹣6x+b，求这个二次三项式．

【变式2】如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值．

易错点三：

运用完全平方公式时丢掉中间乘积或系数“2倍”

【例题】运用乘法公式计算（a﹣2）2的结果是（　　）

A．a2﹣4a+4B．a2﹣2a+4C．a2﹣4D．a2﹣4a﹣4

【变式1】若n满足（n﹣1）2+（2﹣n）2=1，则（n﹣1）（2﹣n）=（　　）

A．﹣1B．0C．

D．1

【变式2】若a+b=

，a﹣b=

，则ab=　　．