函数的单调性与奇偶性1Word格式文档下载.docx
- 文档编号:21306906
- 上传时间:2023-01-29
- 格式:DOCX
- 页数:39
- 大小:179.50KB
函数的单调性与奇偶性1Word格式文档下载.docx
《函数的单调性与奇偶性1Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数的单调性与奇偶性1Word格式文档下载.docx(39页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
【2020年高考全国Ⅰ卷理数12】若2a+loga=4b+2logb,则()
A.a>
2b
【答案】B
B.
a<
C.
a>
b2
D.
2
【思路导引】设f(x)=2x+logx,利用作差法结合f(x)的单调性即可得到答案.
2242
【解析】设f(x)=2x+logx,则f(x)为增函数,∵2a+loga=4b+2logb=22b+logb,
22
∴f(a)-f(2b)=2a+log
a-(22b+log2b)=22b+log
b-(22b+log2b)=log
1=-1<
0,
2222
∴f(a)<
f(2b),∴a<
2b.∴f(a)-f(b2)=2a+loga-(2b2+logb2)=22b+logb-(2b2+logb2)=
22b-2b2-logb,当b=1时,f(a)-f(b2)=2>
0,此时f(a)>
f(b2),有a>
b2;
当b=2时,
f(a)-f(b2)=-1<
0,此时f(a)<
f(b2),有a<
b2,∴C、D错误,故选B.
【专家解读】本题的特点函数与方程的灵活运用,本题考查了函数与方程,考查函数的单调性,考查数学运算、数学建模、逻辑推理等学科素养.解题关键是构造函数,应用函数的单调性解决问题.
【2020年高考全国Ⅱ卷文数12理数11】若2x-2y<
3-x-3-y,则()
A.ln(y-x+1)>
0
B.ln(y-x+1)<
C.lnx-y>
D.lnx-y<
【答案】A
【思路导引】将不等式变为2x-3-x<
2y-3-y,根据f(t)=2t-3-t的单调性知x<
y,以此去判断各个
选项中真数与1的大小关系,进而得到结果.
【解析】由2x-2y<
3-x-3-y得:
2x-3-x<
2y-3-y,令f(t)=2t-3-t,
y=2x为R上的增函数,
y=3-x为R上的减函数,∴f(t)为R上的增函数,∴x<
y,Q
y-x>
0,∴y-x+1>
1,
∴ln(y-x+1)>
0,则A正确,B错误;
Q
x-y与1的大小不确定,故CD无法确定,故选A.
【专家解读】本题的特点是函数单调性的灵活运用,本题考查了转化与化归的数学思想,考查函数的单调性,考查数式的大小比较,考查数学运算、数学建模等学科素养.解题关键是构造适当的函数,应用函数的单调性解决问题.
2.理解函数的奇偶性,会判断函数的奇偶性.
【2020年高考全国Ⅱ卷文数10】设函数f(x)=x3-1,则f(x)()
x3
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
【思路导引】根据函数的解析式可知函数的定义域为{xx≠0},利用定义可得出函数f(x)为奇函数,再根据函数的单调性法则,即可解出.
【解析】∵函数f(x)=x3-1
定义域为{xx≠0},其关于原点对称,而f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.又∵函数y=x3在(0,+?
)上单调递增,在(-?
0)上单调递增,而y=1
=x-3
在(0,+?
)上单调递减,在(-?
0)上单调递减,∴函数f(x)=x3-1
)上单调递增,在
(-?
0)上单调递增.故选A.
【专家解读】本题考查了函数的奇偶性、单调性,考查数学运算学科素养.解题关键是正确理解函数奇偶性、单调性的含义.
【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数f(x)=
ex-e-x
x2
的图像大致为
【解析】
x≠0,f(-x)=
e-x-ex
=-f(x),∴f(x)为奇函数,舍去A;
f
(1)=e-e-1
>
0,∴舍去D;
(ex+e-x)x2-(ex-e-x)2x
4
(x-2)ex+(x+2)e-x
3
∴x>
2时,f'
(x)>
0,f(x)单调
xx
递增,舍去C.因此选B.
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路:
(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)由函数的奇偶性,
判断图象的对称性;
(4)由函数的周期性,判断图象的周期性.
【2020年福建高三模拟】下列函数为奇函数的是
A.y=B.y=sinx
y=cosx
y=ex-e-x
【解析】∵函数y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以函数y=为非奇非偶函数,排除A;
因为y=|sinx|为偶函数,所以排除B;
因为y=cosx为偶函数,所以排除C;
因为y=f(x)=ex-e-x,
f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),所以y=f(x)=ex-e-x为奇函数.
3.利用函数奇偶性求函数值及求参数值.
【2020年高考江苏卷7】已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x3,则f(-8)的值是.
【答案】-4
【解析】y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x3,则f(-8)=-f(8)=-83=-4.
【专家解读】本题考查了函数的奇偶性,考查数学运算学科素养.解题关键是正确应用函数的奇偶性.
【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知f(x)是奇函数,且当x<
0时,f(x)=-eax.若f(ln2)=8,则
a=.
【答案】-3
【解析】由题意知f(x)是奇函数,且当x<
0时,f(x)=-eax,又因为ln2∈(0,1),f(ln2)=8,所以-e-aln2=-8,两边取以e为底数的对数,得-aln2=3ln2,所以-a=3,即a=-3.
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性,对数的计算.
【2015新课标Ⅰ】若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=
【答案】1
【解析】由题意f(x)=xln(x+
a+x2)=f(-x)=-xln(
-x),所以
+x=1,
解得a=1.
【2012安徽】若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=.
【答案】-6
⎧-2x-ax<
-a
⎪2aa
【解析】由f(x)=⎨
⎪
⎪⎩
2x+ax…-a
可知f(x)的单调递增区间为[-,+∞),故-=3⇔a=-6.
二.命题方向预测:
1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点.
2.函数的奇偶性是高考考查的热点.
3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性求函数值及求参数值等问题是重点,也是难点.
4.题型以选择题和填空题为主,函数性质与其它知识点交汇命题.
三.课本结论总结:
1.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.注意:
确定函数的奇偶性,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法有:
定义法、图像法、性质法等.
2.若奇函数定义域中有0,则必有f(0)=0.即0∈f(x)的定义域时,f(0)=0是f(x)为奇函数的必要
非充分条件.对于偶函数而言有:
f(-x)=f(x)=f(|x|).
3.确定函数的单调性或单调区间,在解答题中常用:
定义法(取值、作差、鉴定)、导数法;
在选择、填空题中还有:
数形结合法(图像法)、特殊值法等等.
4.
若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)可以表示为f(x)=1⎡⎣f(x)+f(-x)⎤⎦+1⎡⎣f(x)-f(-x)⎤⎦,
该式的特点是:
右端为一个奇函数和一个偶函数的和.
5.既奇又偶函数有无穷多个(f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
6.复合函数的单调性特点是:
“同增异减”;
复合函数的奇偶性特点是:
“内偶则偶,内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化(即复合有意义).
7.函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于直线x=0(y轴)对称.
8.函数y=
f(x)与函数y=-f(x)的图像关于直线y=0(x轴)对称.
9.函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图像关于坐标原点中心对称.
10.
a
函数y=ax与函数y=logx(a>
0,a≠1)的图像关于直线y=x对称.
四、名师二级结论:
一个防范
函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数y=
1
分别在(-∞,0),(0,+∞)
x
内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接.
一条规律
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
注意:
分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称的两段上都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.
两个应用
1.已知函数的奇偶性求函数的解析式.
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.
2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.
常常采用待定系数法:
利用f(x)±
f(-x)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值.三种方法
判断函数单调性的三种方法方法:
(1)定义法;
(2)图象法;
(3)导数法.判断函数的奇偶性的三种方法:
(3)性质法.
在判断函数是否具有奇偶性时,为了便于判断,有时需要将函数进行化简,或应用定义的变通形式:
f(-x)=±
f(x)⇔f(-x)±
f(x)=0⇔
f(-x)
=±
1,f(x)≠0.
f(x)
五、课本经典习题:
(1)新课标人教A版必修一第36页练习第1(3)题
x2+1
判断下列函数的奇偶性:
f(x)=.
【经典理由】典型的巩固定义题,可以进行多角度变式.
(2)新课标人教A版必修一第44页复习参考题A组第八题
设f(x)=
1+x2
1-x2
,求证:
(1)f(-x)=f(x);
(2)f()=-f(x).
【经典理由】典型的巩固定义题,可以进行改编、变式或拓展.
(3)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第3题
对于函数f(x)=a-
2x+1
(a∈R).
(1)探索函数f(x)的单调性;
(2)是否存在实数a使f(x)为奇函数?
【经典理由】典型的函数性质应用题,可以进行改编、变式或拓展.
(4)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第4题
ex+e-x
g(x)=,求证:
(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1;
(2)f(2x)=2f(x)∙g(x);
(3)g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2.
【经典理由】典型的证明函数性质题,可以进行改编、变式或拓展.
六.考点交汇展示:
(1)函数的奇偶性与导函数交汇
例1.(2020·
四川高三三模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f'
(x).若
x>
0时,f'
(x)<
2x,
则不等式f(2x)-f(x-1)>
3x2+2x-1的解集是.
【答案】⎛-1,1⎫
3⎪
【分析】构造g(x)=f(x)-x2,先利用定义判断g(x)的奇偶性,再利用导数判断其单调性,转化
f(2x)-f(x-1)>
3x2+2x-1为g(2x)>
g(x-1),结合奇偶性,单调性求解不等式即可.
【详解】令g(x)=f(x)-x2,则g(x)是R上的偶函数,g'
(x)=f'
(x)-2x<
0,则g(x)在(0,+∞)上递
减,于是在(-∞,0)上递增.由f(2x)-f(x-1)
3x2+2x-1
得f(2x)-(2x)2>
f(x-1)-(x-1)2,即
g(2x)>
g(x-1)
,于是g(|2x|)>
g(|x-1|),则|2x|<
|x-1|,解得-1<
x<
1.故答案为:
⎛-1,1⎫
3ç
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.
(2)函数的奇偶性与函数的零点交汇
2x-1-1,0<
x≤2
,
例2.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)⋃(0,+∞)上的偶函数,当x>
0时,f(x)={1
f(x-2),x>
2
则函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为()A.4B.6C.8D.10
【答案】D
【解析】求函数g(x)=4f(x)-1的零点个数只需考查方程f(x)=1的实根个数,当0<
x≤2时,
2x-1-1,1<
f(x)=2x-1-1={⎛1⎫x-1
,f(x)在(0,1]上递减,在(1,2]上递增,f
(2)=1,值域为
⎪-1,0<
x≤1
[0,1].当x>
2时,f(x)=1f(x-2),当2<
x≤4时,函数f(x)的值域为⎡0,1⎤,当4<
x≤6时,
2⎢⎣2⎥⎦
函数f(x)的值域为⎡0,1⎤,当6<
x≤8时,函数f(x)的值域为⎡0,1⎤,f(x)=1在x>
0上有5个
⎢⎣4⎥⎦
⎢⎣16⎥⎦4
实根,又函数为偶函数,f(x)=1在(-∞,0)⋃(0,+∞)上有10个实根,函数g(x)=4f(x)-1的零点
个数为10个,选D.
(3)函数的奇偶性、单调性与特称命题交汇
例3.(2020·
河北正定中学高三月考)已知定义域为I的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且∃x0∈I,
f(x0)<
0,则下列函数中符合上述条件的是()
A.f(x)=x2+|x|B.f(x)=2x-2-x
C.f(x)=log2|x|
f(x)=x-3
【答案】C
【解析】由题意,函数f(x)=x
2+|x|的图象关于y轴对称,但在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,
不满足题意;
函数f(x)=2x-2-x的图象关于原点对称,所以函数为奇函数,不满足题意;
函数
-41
f(x)=x
3=≥0,即函数的值域为[0,+∞),不满足题意,故选C.
【考点分类】
热点一函数的单调性
1.【2017北京,理5】已知函数f(x)=3x-
(1)x,则f(x)
(A)是奇函数,且在R上是增函数(B)是偶函数,且在R上是增函数
(C)是奇函数,且在R上是减函数(D)是偶函数,且在R上是减函数
【答案】A
2.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数,∀x≥0,∀x≥0,若x≠x,则
f(x2)-f(x1)<
0.如
1212
13
x2-x1
果f(3)=4,4f(log1x)>
3,那么x的取值范围为
()
(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(1,1]⋃(2,+∞)(D)(0,1)⋃(1,2)
22282
【答案】B
【解析】∵∀x≥0,∀x≥0,x≠x
,则f(x2)-f(x1)<
0,∴定义在实数集R上的偶函数f(x)
在[0,+∞)上是减函数.∵4f(log1
8
x)>
3,∴f(log1
,即f(log
f().
⎧log1x≥0,⎧log1x<
0,
∴⎪8,或⎪8,解得1<
x≤1或1<
2.∴1<
2.故选B.
⎨
⎪log1
⎩8
x<
1
-122
3.(2020·
辽宁高三开学考试)已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对任意x∈(0,+∞),都有
f[f(x)-
1]=2,则f()的值是().
x7
A.5B.6C.7D.8
【解析】设f(x)-1=t,所以f(t)=2,那么f(x)=t+1,当x=t(t>
0)时,t+1=2,解得t=1,
xxt
所以f(x)=1+1,那么f⎛1⎫=1+7=8,故选D.
xç
7⎪
4.(2020·
河南鹤壁高中高三月考)已知,函数
,若在上是单调减函数,则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】在
上上是单调减函数,
,
,设,,则.
【方法规律】
1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 调性 奇偶性