《机械制图教案》第1011讲Word格式文档下载.docx

《机械制图教案》第1011讲Word格式文档下载.docx

《《机械制图教案》第1011讲Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《机械制图教案》第1011讲Word格式文档下载.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

利用直角投影定理图解空间几何问题

教具：

自制的三投影面体系模型

教学方法：

例题辅助讲解

教学过程：

一、复习旧课

1、三种位置直线（包括七种类型）的投影特性。

尤其注意：

实长和倾角的判断。

2、用直角三角形法求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的方法和步骤。

二、引入新课题

上次课我们学习了三种位置直线的投影特性，本次课我们继续学习空间直线的其他投影特性。

三、教学内容

（一）直线上点的投影

点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。

举例：

如图2－27所示直线AB上有一点C，则C点的三面投影c、c′、c″必定分别在该直线AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上。

（a）（b）

图2－27直线上点的投影

2、直线投影的定比性

直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。

在图2－27中，点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。

根据直线投影的定比性，AC：

CB=ac：

cb=a′c′：

c′b′=a″c″：

c″b″。

3、讲解例题（例2－6）如图2－28（a），已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，求K点的水平投影k。

（a）题目（b）解法1（c）解法2

图2—28求直线上点的投影

（二）两直线的相对位置

两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。

1、两直线平行

（1）特性

若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。

如图2－29所示，由于AB∥CD，则必定ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″。

反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。

图2－29两直线平行

（2）判定两直线是否平行

1）如果两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定。

2）当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。

如图2－30所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然ab∥cd、a′b′∥c′d′，但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所示两直线的侧面投影a″b″与c″d″相交，所以可判定直线AB、CD不平行。

2、两直线相交图2－30判断两直线是否平行

若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。

如图2－31所示，两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，则此两直线的各组同面投影的交点k、k′、k″必定是空间交点K的投影。

反之，若两直线的各同面投影相交，且各组同面投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间也必定相交。

（a）（b）

图2－31两直线相交

（2）判定两直线是否相交

1）如果两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定。

2）当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；

或者根据直线投影的定比性进行判断。

如图2－32所示，两直线AB、CD两组同面投影ab与cd、a′b′与c′d′虽然

相交，但经过分析判断，可判定两直线在空间不相交。

图2－32两直线在空间不相交

3、两直线交叉

两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。

若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。

反之亦然。

如图2－33（a）所示。

（2）判定空间交叉两直线的相对位置

空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。

利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。

在图2－33（b）中，判断AB和CD的正面重影点

k′（l′）的可见性时，由于K、L两点的水平投影k比l的y坐标值大，所以当从前往后看时，点K可见，点L不可见，由此可判定AB在CD的前方。

同理，从上往下看时，点M可见，点N不可见，可判定CD在AB的上方。

图2－33两直线交叉

（三）直角投影定理

1、概念

空间垂直相交的两直线，若其中的一直线平行于某投影面时，则在该投影面的投影仍为直角。

反之，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。

这就是直角投影定理。

如图2－34所示。

已知AB⊥BC，且AB为正平线，所以ab必垂直于bc。

（a）　　　　　　　　（b）

图2－34垂直相交的两直线的投影

2、讲解例题

（目的是帮助学生理解掌握利用直角投影定理图解空间几何问题的解题思路和解题方法）

（1）例2－7求点A到直线BC的距离，如图2－35（a）

（a）题目（b）解法

图2－35求点到直线的距离

（2）例2－8如图2－36（a）所示，已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影图。

图2－36求菱形的投影图

四、小结

1、平行两直线的投影特性和判别方法。

2、相交两直线的投影特性和判别方法。

3、交叉两直线的投影特性。

4、直角投影定理的应用

五、布置作业

习题集2－2（3）、（4）、（5）、（6）、（8）、（9）、（10）、（11）

第十一讲§

2—5平面的投影

1、平面的表示法

2、平面对于一个投影面的投影特性

3、各种位置平面的投影特性

1、介绍平面的两种表示法

2、讲解三种投影面平行面和三种投影面垂直面的投影特性

1、熟悉平面在投影图上的表示法

2、理解并掌握各种位置平面的投影特性，并能根据投影特性判别平面对投影面的相对位置

各种位置平面的投影特性，

自制的三投影面体系模型；

挂图：

“投影面平行面的投影特性”、“投影面垂直面的投影特性”

平面投影的实质，就是平面形各顶点的同面投影依次连线。

各种位置平面的投影，讲解重点放在投影特性和有无实形的判断上；

对于每一种位置平面形的投影，重点讲解其中的一种类型，其他类型可由学生自己分析解决。

1、复习两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特性和判别方法。

2、结合作业讲解直角投影定理的应用。

平面图形具有一定的形状、大小和位置，常见的有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面形。

另外，还有一些由直线或曲线围成的平面形。

平面投影的实质，就是求平面形轮廓上的一系列的点的投影（对于多边形而言则是其顶点），然后将各点的同面投影依次连线。

（一）平面的表示法

在投影图上表示平面有两种方法。

1、一组几何元素的投影表示平面

（1）不在同一直线上的三点，如图2－37（a）

（2）一直线和直线外一点，如图2－37（b）

（3）相交两直线，如图2－37（c）

（4）平行两直线，如图2－37（d）

（5）任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等，如图2－37（e）

（a）（b）（c）（d）（e）

图2－37用几何元素表示平面

注意：

为了解题的方便，常常用一个平面图形（如三角形）表示平面。

2、迹线表示法

迹线——空间平面与投影面的交线，如图2－38（a）所示。

平面P与H面的交线称为水平迹线，用PH表示；

平面P与V面的交线称为正面迹线，用PV表示；

平面P与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示。

PH、PV、PW两两相交的交点Px、PY、PZ称为迹线集合点，它们分别位于OX、OY、OZ轴上。

由于迹线既是平面内的直线，又是投影面内的直线，所以迹线的一个投影与其本身重合，另两个投影与相应的投影轴重合。

在用迹线表示平面时，为了简明起见，只画出并标注与迹线本身重合的投影，而省略与投影轴重合的迹线投影，如图2－38（b）所示。

图2－38用迹线表示平面

（二）平面对于一个投影面的投影特性

空间平面相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。

1、真实性当平面与投影面平行时，则平面的投影为实形，如图2－39（a）所示。

2、积聚性当平面与投影面垂直时，则平面的投影积聚成一条直线，如图2－39（b）所示。

3、类似性当直线或平面与投影面倾斜时，则平面的投影是小于平面实形的类似形，如图2－39（c）所示。

（a）（b）（c）

图2－39平面的投影特性

（三）各种位置平面的投影特性

根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三类。

前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。

1、投影面垂直面

垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。

垂直于V面的称为正垂面；

垂直于H面的称为铅垂面；

垂直于W面的称为侧垂面。

平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。

α、β、γ分别表示平面对H面、V面、W面的倾角。

举例说明：

铅垂面的投影特性

强调：

（1）两个投影均为类似形；

（2）一个投影积聚为直线，并反映β、γ角。

总结投影面平行线的投影特性：

两面一线。

要求学生必须掌握表2－3中的图例。

对于投影面垂直面的辨认：

如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。

讲解例题（例2－9）如图2－39（a）所示，四边形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B点的V面投影b′，且于H面的倾角α=45°

，求作该平面的V面和W面投影。

（a）题目（b）解答

图2－40求作四边形平面ABCD的投影

2、投影面平行面

平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。

平行于V面的称为正平面；

平行于H面的称为水平面；

平行于W面的称为侧平面；

正平面的投影特性

（1）两个投影积聚为直线；

（2）一个投影反映实形。

两线一面。

要求学生必须掌握表2－4中的图例。

3、一般位置平面

与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。

例如平面△ABC与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。

其投影如图2－41所示。

一般位置平面的投影特征可归纳为：

一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为类似形。

图2－41一般位置平面

对于一般位置平面的辨认：

如果平面的三面投影都是类似的几何图形的投影，则可判定该平面一定是一般位置平面。

1、平面的两种表示法。

2、三种位置平面（包括七种类型）的投影特性，尤其注意：

有无实形的判断。

习题集2－3

（1）、（4）、（5）