工程数学线性代数第五版答案 第一章 行列式.docx
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工程数学线性代数第五版答案第一章行列式
第一章行列式
1利用对角线法则计算下列三阶行列式
(1)
解
2(4)30
(1)
(1)118
0132
(1)81(4)
(1)
2481644
(2)
解
acbbaccbabbbaaaccc
3abca3b3c3
(3)
解
bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(ab)(bc)(ca)
(4)
解
x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3
3xy(xy)y33x2yx3y3x3
2(x3y3)
2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数
(1)1234
解逆序数为0
(2)4132
解逆序数为441434232
(3)3421
解逆序数为532314241,21
(4)2413
解逆序数为3214143
(5)13(2n1)24(2n)
解逆序数为
32(1个)
5254(2个)
727476(3个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1个)
(6)13(2n1)(2n)(2n2)2
解逆序数为n(n1)
32(1个)
5254(2个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1个)
42(1个)
6264(2个)
(2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2)(n1个)
3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项
解含因子a11a23的项的一般形式为
(1)ta11a23a3ra4s
其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42
所以含因子a11a23的项分别是
(1)ta11a23a32a44
(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44
(1)ta11a23a34a42
(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42
4计算下列各行列式
(1)
解
(2)
解
(3)
解
(4)
解
abcdabcdad1
6证明:
(1)(ab)3;
证明
(ab)3
(2);
证明
(3);
证明
(c4c3c3c2c2c1得)
(c4c3c3c2得)
(4)
(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);
证明
=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
(5)xna1xn1an1xan
证明用数学归纳法证明
当n2时命题成立
假设对于(n1)阶行列式命题成立即
Dn1xn1a1xn2an2xan1
则Dn按第一列展开有
xDn1anxna1xn1an1xan
因此对于n阶行列式命题成立
7设n阶行列式Ddet(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得
证明D3D
证明 因为Ddet(aij)所以
同理可证
8计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)
(1),其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0
解
(按第n行展开)
anan2an2(a21)
(2);
解将第一行乘
(1)分别加到其余各行得
再将各列都加到第一列上得
[x(n1)a](xa)n1
(3);
解根据第6题结果有
此行列式为范德蒙德行列式
(4);
解
(按第1行展开)
再按最后一行展开得递推公式
D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n(andnbncn)D2n2
于是
而
所以
(5)Ddet(aij)其中aij|ij|;
解aij|ij|
(1)n1(n1)2n2
(6),其中a1a2an0
解
10用克莱姆法则解下列方程组
(1)
解因为
所以
(2)
解因为
所以
11问取何值时齐次线性方程组有非零解?
解系数行列式为
令D0得
0或1
于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解
12问取何值时齐次线性方程组有非零解?
解系数行列式为
(1)3(3)4
(1)2
(1)(3)
(1)32
(1)23
令D0得
02或3
于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解
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- 工程数学线性代数第五版答案 第一章 行列式 工程 数学 线性代数 第五 答案