学年人教A版高中数学必修5习题第三章不等式33第2课时Word文件下载.docx
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A.8B.9
C.28D.29
[答案] D
[解析] 约束条件满足的区域如图阴影部分所示,目标函数z=3x+2y在点A(5,7)处取得最大值29.
4.若x、y∈R,且,则z=x+2y的最小值等于( )
A.2B.3
C.5D.9
[解析] 不等式组表示的可行域如图所示:
画出直线l0:
x+2y=0,
平行移动l0到l的位置,
当l通过点M时,z取到最小值.
此时M(1,1),即zmin=3.
5.(2015·
南昌市一模)设x、y满足约束条件,则目标函数z=x+y( )
A.有最小值2,无最大值B.有最大值3,无最小值
C.有最小值2,最大值3D.既无最小值,也无最大值
[答案] A
[解析] 画出不等式组表示的平面区域,如下图,由z=x+y,得y=-x+z,令z=0,画出y=-x的图象.
当它的平行线经过点A(2,0)时,z取得最小值,最小值为2;
无最大值.故选A.
6.(2013·
四川文,8)若变量x、y满足约束条件
,且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是( )
A.48B.30
C.24D.16
[答案] C
[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题.作出不等式组表示的平面区域如图.
作直线l0:
y=x,平移直线l0.
当l0过点A(4,4)时可得zmax=16,∴a=16.
当l0过点B(8,0)时可得zmin=-8,∴b=-8.
∴a-b=16-(-8)=24.
二、填空题
7.若非负变量x、y满足约束条件,则x+y的最大值为________.
[答案] 4
[解析] 本题考查线性规化的最优解问题.
由题意知x、y满足的约束条件.
画出可行域如图所示.
设x+y=t⇒y=-x+t,t表示直线在y轴截距,截距越大,t越大.
x+y=0,平移直线l0,当l0经过点A(4,0)时,t取最大值4.
8.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是________.
[答案]
[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题.
不等式组所表示平面区域如图,由图可知|OM|的最小值即O到直线x+y-2=0的距离.
故|OM|的最小值为=.
三、解答题
9.求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x、y满足约束条件.
[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分.
∵目标函数为z=3x+5y,
∴作直线l0:
3x+5y=0.当直线l0向右上平移时,z随之增大,在可行域内以经过点A(,)的直线l1所对应的z最大.类似地,在可行域内,以经过点B(-2,-1)的直线l2所对应的z最小,∴zmax=17,zmin=-11,∴z的最大值为17,最小值为-11.
10.某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个与55个,所用原料为A、B两种规格金属板,每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;
用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A、B两种规格金属板各取多少张,才能完成计划,并使总的用料面积最省?
[解析] 设A、B两种金属板分别取x张、y张,用料面积为z,则约束条件为
.
目标函数z=2x+3y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域),如图所示.
z=2x+3y变为y=-x+,得斜率为-,在y轴上截距为且随z变化的一族平行直线.
当直线z=2x+3y过可行域上点M时,截距最小,z最小.解方程组,得M点的坐标为(5,5).
此时zmin=2×
5+3×
5=25(m2).
答:
当两种金属板各取5张时,用料面积最省.
拓展应用提能
11.(2015·
衡水中学三调)若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是( )
A.(-4,2)B.(-1,2)
C.(-4,0)D.(-2,4)
[解析] 作出可行域如图所示,由已知可得:
-1<
-<
2,即-4<
a<
2.
12.(2015·
洛阳市期末)实数x,y满足则z=x+2y的最小值是( )
A.-1B.
C.5D.1
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示,
平移直线x+2y=0知,当z=x+2y经过点A(1,-1)时,取得最小值,∴zmin=1-2=-1.
13.不等式组表示的平面区域内的整点个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[解析] 不等式y-2x≤0表示直线y-2x=0的右下方区域(含边界),x+2y+3>0表示直线x+2y+3=0右上方区域(不含边界),5x+3y-5<0表示直线5x+3y-5=0左下方区域,所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分,即如图所示的△ABC区域.
可求得A(-,-)、B(,)、C(,-),所以△ABC区域内的点(x,y)满足-≤x<,-<y<.
∵x、y∈Z,∴0≤x≤2,-2≤y≤0,且x、y∈Z.
经检验,共有三个整点(0,0),(1,-1),(2,-2).
14.(2015·
辽宁葫芦岛市一模)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=( )
A.5B.6
C.7D.8
[解析] 作出可行域如图
平移直线2x+y=0知,当直线z=2x+y经过点A(-1,-1)时z取得最小值,经过点B(2,-1)时,z取得最大值,
∴m=2×
2-1=3,n=2×
(-1)-1=-3,
∴m-n=3-(-3)=6.
15.在△ABC中,三个顶点分别为A(2,4)、B(-1,2)、C(1,0),点P(x,y)在△ABC的内部及其边界上运动,则y-x的取值范围为________.
[答案] [-1,3]
[解析] 画出三角形区域如图,易知kAB=<
1,
令z=y-x,则y=x+z,作出直线l0:
y=x,平移直线l0,当经过点C时,zmin=-1,当经过点B时,zmax=3,
∴-1≤z≤3.
16.已知点M、N是所围成的平面区域内的两点,则|MN|的最大值是________.
[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,
∵直线x-y+1=0与直线x+y=6垂直,
直线x=1与y=1垂直,
∴|MN|的最大值是|AB|=
=.
17.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9g,咖啡4g,糖3g;
乙种饮料每杯含奶粉4g,咖啡5g,糖10g,已知每天原料的使用限额为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元,每天在原料的使用限额内饮料能全部售出,若你是咖啡馆的经理,你将如何配制这两种饮料?
[解析] 经营咖啡馆者,应想获得最大的利润,设配制饮料甲x杯,饮料乙y杯,
线性约束条件为,
利润z=0.7x+1.2y,因此这是一个线性规划问题,作出可行域如图,因为-<
-,所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax=0.7×
200+1.2×
240=428(元),
即配制饮料甲200杯,乙240杯可获得最大利润.
18.设x、y满足条件.
(1)求u=x2+y2的最大值与最小值;
(2)求v=的最大值与最小值.
[解析] 满足条件的可行域如图所示(阴影部分).
(1)令x2+y2=u表示一组同心圆(圆心为点O),且对同一圆上的点,x2+y2的值都相等.
由图可知(x,y)在可行域内取
值,当且仅当圆O过C点时,u最大,过点(0,0)时,u最小.
由,解得.
∴C(3,8),∴umax=32+82=73,umin=02+02=0.
(2)v=表示可行域内的点(x,y)和定点D(5,0)的连线的斜率,
由图可知kBD最大,kCD最小.
∴B(3,-3).
∴vmax==,vmin==-4.
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- 学年 高中数学 必修 习题 第三 不等式 33 课时