数学运算笔记本蓝本打印Word格式文档下载.docx
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现在真题几乎很少会直接出这种比较基本类型的题目,但它始终是基础,只是在这之上的千姿百态各种变化而已。
我会拿一些简单的题目来做例子,希望大家在学习这些基本题型的时候多思考多尝试拓展,而不是简单地去把公式背下来,或者只局限于记某道题的解法,那样是绝对没用的。
其实很多时候真的不是不会,而是懒得去钻研去思考罢了。
就像电脑刚普及的那会,586的机器windows98进系统读进度条读了半天我们都不嫌慢,但是换作在今天,打开个软件如果要等个10几秒,估计都有种砸电脑的冲动了,这也许就是习惯了快节奏所形成的一种浮躁心态吧,很缺乏耐性...所以想学好数量关系的题目,信心和耐心非常重要。
一.【数学计算】:
(下面^2表示平方的意思,^3表示立方...)
需要掌握的东西:
平方差公式:
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
如:
13^2-11^2=(13+11)*(13-11)=24*2=48
完全平方和差公式:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(4+5)^2=4^2+2*4*5+5^2=16+40+25=81
立方和差公式:
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
3^3+2^3=(3+2)(3^2-3*2+2^2)=5*(9-6+4)=35
----记忆的话主要是如果是求和,那么后面就是-ab,如果是求差,那么后面就是+ab,符号相反而已。
很常见的每项分子一样,分母差也一样,然后N项相加求和的那种题目:
分数裂项公式:
(1/分母最小值-1/分母最大值)*(分子/分母差)
2/(1*4)+2/(4*7)+2/(7*10)....+2/(2001*2004)=()的这种类型题
那么套公式就是(1/1-1/2004)*(2/3)=2003/3006
分配律的应用:
(a+b)*c=ac+bc
(5+3)*2=5*2+3*2
好了,基本公式都在这里了,那么怎么去运用它们呢?
套你应该会吧。
我随便出一道:
求18.5^2-16.5^2=?
那么根据公式我们就知道应该是(18.5+16.5)(18.5-16.5)=35*2=70,简单吧?
可现在的试卷几乎不可能会这么出,那你再看这道真题:
求20.07^2+19.87^2-20.07*19.87-20.07*19.87=?
也许很多人在考场一看到这题,尼马的这么多数字,肯定算到天亮,果断放弃。
或者想了半天,我记得QZZN论坛有个叫筱月叹息的菜比说过这种计算类题的题目,但只给我说了5道公式啊,一道都用不上,这不坑我吗。
我想说,公式是死的,人的脑袋应该是活的,用句不好听的话来说就是不应该过于死脑筋了,一定要懂得灵活变通。
第一:
既然公式是个等式,那为什么你只会想到从左边推到右边,却没想过右边同样也可以推回左边呢?
比如这道题目正是完全平方差公式的倒推,公式(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,那么从右边推回左边就是:
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,把题目位置整理一下,现在是不是一样形式了:
20.07^2-2*20.07*19.87+19.87^2,就是等于(20.07-19.87)^2=0.2^2=0.04,解这道题几乎是5秒内的事。
第二:
5道公式,加上右边推左边,就变成10道,如果这10道公式再交叉混着来,那么就可以衍生出上百道“公式”出来。
比如同样一道江苏的真题:
1/(3^2-1)+1/(5^2-1)+1/(7^2-1)+....1/(17^2-1)=?
很明显每个分母都是一道平方差的式子,所以我们先展开来看:
1/(3+1)(3-1)+1/(5+1)(5-1)+....1/(17+1)(17-1)=1/(2*4)+1/(4*6)+...1(16*18)这样是不是很眼熟了,就是裂项公式(1/2-1/18)*1/2=2/9。
这就是平方差公式和裂项公式的结合考察。
第三:
我所列的只是在公考最经常用到的几道公式而已,我似乎没义务也没这个能力为你把整个数学中所有的公式都一一罗列出来,其它的需要你不断地去寻找和挖掘。
这里用这个例子是为了说明一些在数学复习中应该有的态度和方法,在考试过程中一道题目很难,你要想办法去把它简单化。
但是在复习过程中,无论一道题目有多么简单,你都要尽可能去把它复杂化,想的越复杂,思路越多,你收获的便会越多。
下面就不这样累赘了,可以参照上面的这个思路去渐渐拓展开。
1.n×
(n+1)=[n×
(n+1)×
(n+2)-(n-1)×
n×
(n+1)]÷
3;
2.从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式:
二.
【等差数列相关问题】:
求和公式:
和=(首项+末项)*项数/2=首项*项数+项数*(项数-1)/2*公差=平均数*项数=中位数*项数
项数公式:
项数=(末项-首项)/公差
+1
首项公式:
首项=2*和/项数-末项=末项-(项数-1)*公差
末项公式:
末项=2*和/项数-首项=首项+(项数-1)*公差
公差公式:
公差=相邻两项的差=(末项-首项)/(项数-1)
推论:
如果m+n=p+q,则有m项+n项=p项+q项
公式又在这里了,我建议你根据这两道公式,自己动笔推一下每个值的求法,比如由上面公式,可以推导出首项=末项-(项数-1)*公差,等等...这样对你在做题的时候会很有帮助的,熟练了基本是看到题目求哪项,就知道应该怎么去求。
这种题目还是很好做的,首先你必须看到题目就知道它是属于等差数列这一类的,然后通过题干的已知条件,套进公式,来解出要求的条件。
最基本的是像那种金字塔型堆钢管、座位人数每个前排都比后排多X人之类的题目,
比如:
有一堆钢管,最下面一层是30根,第一层是1根,每一层比下一层少1根钢管,求整堆有多少根。
1.每一层都比下一层少1根,那可以判定它是等差数列的问题;
2.找公式已知条件:
最大也就是末项30,最小也就是首项1,公差1,项数显然是30层
3.要求的:
求整堆,显然也是要求和。
4.套公式:
和=(1+30)*30/2=465
比如这里你就可以进行N种思路拓展:
(后面同理)
如果它是已知总共有多少根,然后题目没说第一层有多少根,让你去求层数呢?
如果题目是说有两堆,第一堆是像题目所说上一层比下一层少1,出现第二堆上一层比下一层多1,再求两堆一共多少根呢?
(多重等差数列的结合)
............
三.
【工程问题】:
1道公式:
工程总量=工程效率*工作时间
1个思想:
特值
工程问题我一般都是用特值来做,不过不是假设总量为1,而是寻找相关数字的最小公倍数来设总量,这样的转化会让你很方便地去计算。
比如最简单的例子:
一项工程,甲单独完成需要3天,乙单独完成需要4天,问如果两人合作的话,完成这项工程需要多少天?
两者最小公倍数12,所以假设工程总量是12,那么甲的工作效率就是12/3=4(工程问题唯一公式的转换:
工作总量/工作时间=工作效率)乙工作效率就是12/4=3,那么两个人工作效率和就是4+3=7,也就是说两个人一起合作一天就能做7的量,那12/7就是两人一起合作所需要的天数了(工作总量/工作效率和=工作时间)
四.
如果用甲、乙、丙三根水管同时在一个空水池里灌水,1小时可以灌满,如果用甲、乙两管,1小时20分钟可以灌满,如果用乙、丙两根水管,1小时15分可以灌满,那么,用乙管单独灌水的话,灌满这一池的水需要多少小时?
解:
这种工程问题都可以设个总值的,首先要把题目里面的时间值都转化成分钟,那样比较容易算,分别是60分钟,80分钟和75分钟,那么根据这3个数的最小公倍数,可以设工程总量是1200,那么甲乙丙三人的效率就是20,甲乙两人是15,乙丙两人是16,这样就很明显的:
甲效率是20-16=4,那乙的效率就是15-4=11了。
所以他需要(1200/11)/60=20/11小时。
6.(2007.湖南)一个容器里有若干克盐水。
往容器里加入一些水,溶液的浓度变为3%,再加入同样多的水,溶液的浓度变为2%,问第三次加入同样多的水后,溶液的浓度是:
A.1.8%
B.1.5%
C.1%
D.0.5%
设盐6,则第一次溶液为200,第二次为300,再加100后浓度是6/(300+100)=0.015,选B。
设整思想运用的好好。
四.【行程问题】:
按公式做题,不要没有头绪乱想。
同样也只有1道公式:
路程=速度*时间。
但它可以衍生出N道公式,比如:
相遇的:
速度和*时间=总路程,
追击的:
追上的时间=路程/两人速度差
然后那些什么列车过桥过山洞,钟面问题、数车、数间隔时间,顺流逆流、漂流瓶等等乱七八糟的题型,全部都是基于上面的那道公式所推导出来的,所以一定要自己多动笔去写写...
几个思想:
方程、画线段图、比例法。
其中画图是最重要的,线段图画得好画得熟练,可以让你的思路一下子清晰很多。
下午看到论坛几位朋友提到比例法,那今天就弄道关于比例法的题目来展开说下:
这个方法是解决很多路程、工程、效率、利润等等题目的利器,务必熟练掌握,如果你真有心要参加考试的话,建议你拼死也得弄明白...为了方便不太明白的朋友,解析部分可能都会罗嗦一大堆。
但如果你熟练了来做,我觉得一般的题30秒左右就可以搞定了。
这是我自己出的一道题,可以说是比例法最基本的原型,我会稍微讲多一点,毕竟不是老师,所以很多用词也许很不专业,文笔也有限,反正大家凑合着看吧:
【路程比=速度比=时间反比(工程啦什么的都是如此)
小张和小王同时骑摩托车从A地向B地出发,小张的车速是每小时40公里,小王的车速是每小时48公里,小王到达B地后立即向回返,又骑了15分钟后与小张相遇。
那么AB距离多少公里?
144
136
132
128
小王15分钟走了12公里
S+12:
S-12=48:
40,解得S=132
甲乙同时从A地步行出发往B地,甲60米/分钟,乙90米/分钟,乙到达B地折返与甲相遇时,甲还需再走3分钟才能到达B地,求AB两地距离?
(
)
A.1350米B.1080米C.900米D.750米
甲3分钟走180米
S+180:
S-180=90:
60,解得S=900】
1.一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%,可以比原定时间提前一小时到达,则它走完全程需要多久?
假如它是一辆自行车,就那样一直走全程需要5个小时,那现在换成车了,重新从起点走到终点,需要多久呢?
显然就算是一辆拖拉机,也跑得比自行车快吧?
也许连1小时都不用...这就是速度的不同,而导致时间的变化(或变长或变短),因此也就有了比例法,实际题目里面经常是各种车故障换车啦、老板心情好了换设备提高效率啦、“如果加快/减慢速度....”这些提法。
在路程问题中通常有三个量:
路程,时间,速度。
起码要有一个保持不变,才能拿另外两个来对比,这也是用比例法的最基本原则。
比如在这道题,甲到乙的距离就是固定的,所以才能做前后的对比。
回过头来这道题:
第一,“提高20%”,也就是前后速度比是5:
6,怎么转化的就不用我教了吧,自己好好想一下...一定要做到看到任何一个百分数或者分数,立马就得反应过来,在草稿纸写出它所转化的比例。
第二,“提前一小时”,前面说了因为速度的加快,才导致时间的缩短,既然说到时间,那么我们就需要找时间:
路程比=速度比=时间反比(工程啦什么的都是如此),所以前后所用的时间比就是6:
5,其实很好理解:
本来你慢悠悠走路回家,突然碰到条狗蹦出来追你,肯定是跑得越快,时间反而就用得越短。
第三,6:
5差了1个比例点,对应的正是那提前的一小时,所以1个比例点就是1小时,(如果差3个比例点,那么1个比例点就是1/3小时了,依次类推)
第四,到了这一步就可以知道原来需要多少小时了,1个比例点是1小时,那么原来要6个比例点,显然就是6小时啦...(注意谁比谁,前后顺序别搞错就行了)
这第一题是最简单的,但也是重中之重,所以的变化都是基于这之上,希望不是太熟悉的朋友先把这一题完全弄清楚再看其它的题目。
在一般的题目中,比例点增加了N,对用的数目增加了M个。
总数就是M*N关键是找到增加的比例点和增加的数目之间的关系
接下来此题升级版:
2.一辆车从甲地开往乙地需要5小时,如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到达,那么甲、乙两地相距多少千米?
这是走了一段路后的变速,如果列线段图就是这样:
原速
变速
[<
---->
--------------------->
]
120
B
走了120千米后,在B点才开始变的速,速度加快,自然也就能提前到达。
做路程题要始终围绕那3个量,问什么量我们就需要找出另外两个量,通过他们才求,比如这里问的是全程,那就得找:
全程所用的时间*速度。
时间知道,需要求速度,已知的只有一小段120千米,所以需要找这120千米所需要的时间。
但前面那120千米我们暂时先不管,既然要用比例法,对比的就是变速的部分:
1.速度提高25%,所以速度前后比为4:
5,时间反比5:
4(这两个简单吧?
不管用不用得着,都列出来再说)
2.这下有时间了吧?
是不是跟第一题很像了呢,5:
4,差1个比例点,对应的是“提前40分钟”,所以1个比例点就是40分钟(2/3小时),原来所用时间是5个比例,那么就是10/3小时。
3.这里就要注意了,刚刚说了,我们对比的只是变速的部分,所以这10/3小时实际上就是在B点开始用原速走完全程所用的时间(有点拗口,好好体会下,注意原来时间与提速后时间的不同...)
4.全程要5小时,B点后的那段用了10/3小时,那前面120千米就是用了5-10/3=5/3小时了,
5.速度也就可以求出来:
120/(5/3)=72------->
(路程除以时间=速度)
6.全程距离就是72*5=360千米。
备用对比角度题小明每天早晨6:
50从家出发,7:
20到校,老师要求他明天提早6分钟到校。
如果明明天早晨还是6:
50从家出发,那么,每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求时到校。
问:
小明家到学校多远?
方法二:
用时间比来求速度比来求速度来求路程。
时间比是30:
24=5:
4
所以速度就是时间比的反比4:
5
5-4=1,1个比例点对应25米,所以4个比例点对应4*25=100米(正常的速度)
所以S=100*30=3000米
方法一:
(小学生的做法,也就是列式计算法)
要提前6分钟到校,所以用时是30-6=24分钟
而这6分钟走的路程正好就是小明每分钟加快多走25米,走了24分钟才走好的
因此小明用正常速度走6分钟的路程就是:
24*25=600米
所以小明正常的速度就是:
600/6=100米/分钟(怎么这么慢捏?
继续升级~~,还是差不多的题目:
3.一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%,可以比原定时间提前一小时到达;
如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?
这道题就等于是把前面两题并在一起了,这才是一般考试的正常版,也是最常见的题型之一。
其实前面两题要是弄懂了,这道题也是很简单的。
所以我就不说太多了,直接把解题过程写出来:
既然是两种情况(两个如果),那首先列出两种情况的速度变化比。
第一种:
速度比5:
6,时间反比6:
5,差1个比例点,对应提前1小时,那么原来速度走全程要6小时;
第二种:
速度比4:
4,差1个比例点,对应提前40分钟,那么走了120千米后的这段路,用原来速度走需要花费2/3*5=10/3小时。
所以这120千米就是用了6-10/3=8/3小时,速度为120/(8/3)=45
全程就为45*6=270千米。
---------记得要相对应,不能前面用提速的,后面用原速来相加减。
推广到工程问题:
4.王师傅加工一批零件,每天加工20个,可以提前一天完成,工作4天后,每天多加工5个,结果提前三天完成。
问这批零件有多少个?
同样的,效率比:
20:
25=4:
4,差1个比例点,对应2天(因为原来就已经是提前1天了),则工作4天后,用原来每天加工20个的效率来做,剩下的需要10天,总共就是14天,全部有14*20=280个零件。
--------这里的“工作4天后”是不是跟前面的“走120千米后”很像呢?
一旦有这些字眼,就记得务必别弄错需要做对比的范围了。
继续升级:
5.小王从家开车上班,其实行驶10分钟后发生了故障,小王从后备箱中取出自行车继续赶路,由于自行车的车速只有汽车的3/5,小王比预计时间晚了20分钟到达单位,如果汽车再多行驶6公里,他就能少迟到10分钟,从小王家到单位的距离是多少?
今天论坛的一道题,也是非常典型的适用比例法的题目,其实前面这4道题你琢磨明白了,这道题也是非常简单的...
第一种情况:
又见“行驶10分钟后”,上一题已经说了,首先要知道对比的是10分钟后面的路程。
速度比3:
3,差2个比例点,对应“晚到20分钟”,则1个比例点10分钟,用原来开车的速度走后面那段路需要10*3=30分钟,全程用车开需要40分钟。
----------(注意粉红色这两个东西,还有谁比谁的位置)
第二种情况:
“再多走6公里”,又多了一个被我们鄙视的东西,继续不管,考察走6公里之后的路程。
同样的时间反比5:
3(速度比没变过),差2个比例点,对应后面的“少迟到10分钟”,1个比例点5分钟,则用原来开车的速度走再后面那段路需要5*3=15分钟,
则那6公里走了15分钟,车速为6/15,
全程(6/15)*40=16公里。
最后不升级了:
6.小王从家开车上班,其实行驶10分钟后发生了故障,小王从后备箱中取出自行车继续赶路,由于自行车的车速只有汽车的3/5,小王比预计时间晚了20分钟到达单位,如果汽车再多行驶6公里,他就能少迟到10分钟,从小王家到单位的距离是多少?
还是同样的题目,但要求用自行车速度来求全程距离,这也是比例法快速提高非常有用的方法。
时间反比5:
3,差2个,1个10分--->
50分;
1个5分--->
25分,
则自行车速度6/25,
前面10分钟自行车走50/3分,
距离(50+50/3)*6/25=16公里。
这6道题又是罗嗦了一堆,但哪怕像最后一道稍微复杂点的,而且故意用自行车速度来求,来绕弯的,真要做起来也就是列几个数字的时间,所以比例法还是相当简便的,当然前提是你得熟练,所以不管怎样一定要反复练习,如果你本来基础就不好,然后光看这几题就觉得已经弄懂比例法,去上考场。
那题目只要稍微一变,我估计你还是会骂爹的...
专题全部汇总帖:
三十.
一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高20%,可以提前1小时到达。
如果按原速行驶一段距离后,再将速度提高30%,也可以提前1小时到达。
那么按原速行驶了全部路程的几分之几?
原速:
后速=5:
6,时间比6:
5,相差1个比例点,对应提前那1小时,所以按原速走完全程需要6小时;
后速=10:
13,时间比13:
10,相差3个比例点,对应提前1小时,1个比例点为1/3小时,所以按原速走后半段需要13/3小时,则前面行驶的那部分需要6-13/3=5/3小时。
【设前面路程走X,则后面为1-X,有:
】s原:
s总=v原t一段:
v原t原总=t一段:
t原总=5/3:
6=5/18.
X/(5/3)=(1-X)/(13/5)】
解得X=5/18】
比例法与十字相乘法的结合
某
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