5第五节二次函数图象的平移旋转翻折与解析式的确定Word格式.docx
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5第五节二次函数图象的平移旋转翻折与解析式的确定Word格式.docx
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5.(2018牡丹江)将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后,所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是( )
A.(0,3)或(-2,3)B.(-3,0)或(1,0)
C.(3,3)或(-1,3)D.(-3,3)或(1,3)
6.(2019淄博)将二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是( )
A.a>
3B.a<
3C.a>
5D.a<
5
7.将二次函数y=2x2+bx+c沿x轴翻折,得到新函数的顶点为P,绕点P将新函数旋转180°
,得到二次函数y=ax2-8x+5,则a、b、c的取值分别是( )
A.2,-8,11B.2,-8,5
C.-2,-8,11D.-2,-8,5
8.(2018玉林改编)如图,一段抛物线y=-x2+4(-2≤x≤2)为C1,与x轴交于A0,A1两点,顶点为D1;
将C1绕点A1旋转180°
得到C2,顶点为D2;
C1与C2组成一个新的图象,垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),与线段D1D2交于点P3(x3,y3),设x1,x2,x3均为正数,t=x1+x2+x3,则t的最大值只能是( )
A.9B.10C.13D.12
第8题图
9.(2019资阳)如图是函数y=x2-2x-3(0≤x≤4)的图象,直线l∥x轴且过点(0,m).将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折,在直线l下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是( )
A.m≥1B.m≤0
C.0≤m≤1D.m≥1或m≤0
第9题图
10.(2019江西逆袭卷)把抛物线y=-x2向上平移1个单位,那么所得抛物线与x轴两个交点之间的距离是 .
11.(2019凉山州改编)将抛物线y=(x-3)2-2向左平移 个单位后恰好经过点A(2,2).
12.(2019徐州)已知二次函数的图象经过点P(2,2),顶点为O(0,0),将该图象向右平移,当它再次经过点P时,所得抛物线的函数表达式为 .
能力提升
1.(2019福建)若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(
,y2),E(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2
C.y3<y2<y1D.y2<y3<y1
2.(2019德阳)对于二次函数y=x2-6x+a,在下列几种说法中:
①当x<2时,y随x的增大而减小;
②若函数的图象与x轴有交点,则a≥9;
③若a=8,则二次函数y=x2-6x+a(2<x<4)的图象在x轴的下方;
④若将此函数的图象绕坐标原点旋转180°
,则旋转后的函数图象的顶点坐标为(-3,9-a).其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
3.(2019玉林)已知抛物线C:
y=
(x-1)2-1,顶点为D,将C沿水平方向向右(或向左)平移m个单位得到抛物线C1,顶点为D1,C与C1交于点Q,若∠DQD1=60°
,则m等于( )
A.±
4
B.±
2
C.-2或2
D.-4或4
第3题图
满分冲关
1.(2019大连)定义:
将函数C1:
y=ax2-2ax-3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°
得到函数C2,称函数C2是函数C1关于P(m,0)的相关函数.函数C2的图象的对称轴与x轴交于点(t,0).
(1)填空:
t的值为 ;
(2)若a=-1,当
≤x≤t时,C1的最大值为y1,最小值为y2,且y1-y2=1,求函数C2的解析式;
(3)当m=0时,C2交x轴于A,B两点(A点在B点的右侧),交y轴于点D.将线段AD绕点O逆时针旋转90°
得到线段A′D′,若C2与线段A′D′有交点,求a的取值范围.
2.(2019广州)已知抛物线G:
y=mx2-2mx-3有最低点.
(1)求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值(用含m的式子表示);
(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1,经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)记
(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围.
参考答案
1.B 【解析】将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=2x2+3,再向右平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=2(x-2)2+3.
2.A 【解析】抛物线y=x2+6x+7经变形为y=(x+3)2-2,故可由抛物线y=x2先向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到.
3.B 【解析】∵y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,顶点坐标为(-1,-16),变换后的抛物线为y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点坐标为(1,-16),∴点(-1,-16)到点(1,-16)相当于将原抛物线向右平移2个单位,故选B.
4.D 【解析】∵y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,∴
,解得
.
5.D 【解析】∵抛物线y=x2+2x+3向下平移,∴原解析式中的二次项系数和一次项系数都不变,故可设平移后的解析式为y=x2+2x+c,又∵抛物线y=x2+2x+3上的点(0,3)沿y轴向下平移3个单位长度后的对应点为(0,0),故c=0,∴平移后的解析式为y=x2+2x,当y=3时,即x2+2x=3,解得x=-3,或x=1,∴交点坐标为(-3,3)或(1,3).
6.D 【解析】二次函数y=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,图象向左平移1个单位,变为y=(x-1)2+a-4,再向上平移1个单位,变为y=(x-1)2+a-3,若得到的函数图象与y=2有两个交点,∴顶点纵坐标a-3<2,解得a<
5.
7.A 【解析】∵二次函数y=2x2+bx+c关于x轴对称的图象,再绕图象的顶点旋转180度,所得抛物线与抛物线y=2x2+bx+c的开口方向相同,∴a=2,∴y=2x2-8x+5=2(x-2)2-3,即抛物线y=ax2-8x+5的顶点坐标为(2,-3),而点(2,-3)关于x轴的对称点的坐标为(2,3),∴原抛物线的解析式为y=2(x-2)2+3=2x2-8x+11,∴b=-8,c=11.
8.D 【解析】令C1:
y=-x2+4=0,解得x=-2或x=2,∴A0(-2,0),A1(2,0),∵将C1绕点A1旋转180°
得到C2,∴C2的解析式为y=(x-4)2-4,∴D2(4,-4),对称轴为直线x=
=4,则x1+x2=8,∵x1,x2,x3均为正数,∴点P3(x3,y3)在线段A1D2上,∴2≤x3≤4,∴10≤x1+x2+x3≤12,即10≤t≤12,t最大只能是12.
9.C 【解析】当x=4时,y=5,抛物线配方成y=(x-1)2-4,顶点的坐标为(1,-4),当m=0时,函数的最大值是0,最小值是-5,∴m≥0,当m=1时,函数的最大值是1,最小值是-4,∴m的取值范围是0≤m≤1,故选C.
10.2
11.3 【解析】设抛物线向左平移m个单位,则平移后的解析式为y=(x-3+m)2-2,将点A(2,2)代入,有2=(2-3+m)2-2,解得m1=-1(舍去),m2=3,∴m=3.
12.y=
x2-4x+8 【解析】设顶点为(0,0)的二次函数的表达式为y=ax2,将(2,2)代入,解得a=
,则二次函数的表达式为y=
x2,易知,图象向右平移4个单位后再次经过点P,由二次函数平移性质得,向右平移4个单位,即得到抛物线的表达式为y=
(x-4)2=
x2-4x+8.
1.D 【解析】∵抛物线y=|a|x2+bx+c,|a|>0,∴抛物线的开口向上,∵A(m,n),C(3-m,n),∴对称轴是直线x=
,∵0<
<
<2,|
-
|<|2-
|<|0-
|,∴y2<y3<y1,故选D.
2.C 【解析】原二次函数可化为y=(x-3)2+a-9,该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=3.①当x<
2时,y随x的增大而减小,正确;
②若函数的图象与x轴有交点,则a-9≤0,即a≤9,错误;
③当a=8时,函数化为y=(x-3)2-1,令y=(x-3)2-1=0,解得x1=2,x2=4,则交点分别为(2,0)和(4,0),∴当2<
x<
4时,图象在x轴的下方,正确;
④∵原函数的顶点坐标为(3,a-9),绕坐标原点旋转180°
后,函数图象的顶点坐标为(-3,9-a),正确.综上所述,说法正确的是①③④,共3个.
3.A 【解析】如解图①,当向右平移m个单位时,∵抛物线C的顶点D的坐标为(1,-1),∴抛物线C1的顶点坐标为(1+m,-1),过点Q作QP⊥DD1于点P,则由抛物线对称性可知,QD=QD1,DP=D1P.∵∠DQD1=60°
,∴△DQD1是等边三角形,∴DP=
,QP=
m,∴点Q的坐标为(1+
,
m-1).∵点Q在抛物线C上,∴
(1+
-1)2-1=
m-1,解得m=4
或m=0(舍);
同理如解图②,当抛物线C向左平移m个单位时,点Q的坐标为(1-
m-1),∴
(1-
.综上所述,m的值为±
图①图②
第3题解图
1.解:
(1)2m-1
【解法提示】C1:
y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,顶点(1,-4a)绕点P(m,0)旋转180°
的对应顶点为(2m-1,4a),∴C2:
y=-a(x-2m+1)2+4a,函数图象的对称轴为直线x=2m-1,即t=2m-1.
(2)当a=-1时,
C1:
y=-(x-1)2+4,
①当
≤x≤t<1时,
x=
时,有最小值y2=
x=t时,有最大值y1=-(t-1)2+4,
则y1-y2=-(t-1)2+4-
=1,无解;
②当1≤t≤
时,
x=1时,有最大值y1=4,
y1-y2=
≠1(不符合题意,舍去);
③当t>
x=t时,有最小值y2=-(t-1)2+4,
∴y1-y2=(t-1)2=1,
解得t=0(不符合题意,舍去)或t=2,
∴C2:
y=(x-2)2-4=x2-4x;
(3)当m=0时,C2:
y=-a(x+1)2+4a,如解图,A(1,0)、B(-3,0)、D(0,3a)、A′(0,1)、D′(-3a,0),
第1题解图
当a>0时,a越大,则OD越大,则点D′越靠左,
当C2过点A′时,y=-a(0+1)2+4a=1,解得a=
当C2过点D′时,同理可得a=1或a=-
(不符合题意,舍去),
故0<a≤
或a≥1;
当a<0时,
当C2过点D′时,-3a=1,解得a=-
,a=1(舍),
故a≤-
;
综上所述,a的取值范围为0<a≤
或a≥1或a≤-
2.解:
(1)y=mx2-2mx-3=m(x-1)2-m-3.
∵抛物线G有最低点,∴m>0,
∴当x=1时,y取最小值,最小值为-m-3;
(2)由
(1)得抛物线G顶点坐标为(1,-m-3),
∵抛物线G向右平移m个单位得到G1,
∴G1顶点坐标为(1+m,-m-3).
则顶点横坐标x,纵坐标y有
则可得m=x-1,将其代入y=-m-3,
得y=-(x-1)-3=-x-2.
∵m>0,∴x=1+m>1.
即函数关系式为y=-x-2(x>
1);
(3)解法一:
∵抛物线G:
y=mx2-2mx-3,
∴抛物线G恒过定点(0,-3),
∵对称轴为直线x=-
=1,
∴抛物线G也恒过定点(2,-3).
如解图,当x=1时,抛物线G过点M(1,-m-3),
第2题解图
对于函数H:
y=-x-2(x>1),当x=1时y=-3,设点P1(1,-3),
∵-3>-m-3,∴点P1在M上方.
当x=2时,抛物线G过点N(2,-3),
函数H:
y=-x-2过点P2(2,-4),
∵-4<-3,∴点P2在N下方.
∴抛物线G与函数H的交点P在线段P1P2上(不包括端点),
∴交点P的纵坐标yp的取值范围为-4<yp<-3.
解法二:
对于抛物线G:
y=(x2-2x)m-3=x(x-2)m-3,
∴当x=0或x=2时,
无论m为何值,y总为-3,
∴抛物线G恒过定点(0,-3)和(2,-3).
下同解法一.
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- 5第五节 二次函数图象的平移旋转翻折与解析式的确定 五节 二次 函数 图象 平移 旋转 解析 的确