42 线段角相交线与平行线.docx
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42线段角相交线与平行线
4.2线段、角、相交线与平行线
【教学目标】
1.理解线段中点和角平分线的含义,直线,线段,垂线的性质.
2.角的相关概念、角的表示、角的度量、角的平分线及其性质
3.会用平行线的性质及识别方法进行简单推理.
【重点难点】
考点一、直线、射线和线段(3分)
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:
有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
平面图形:
有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。
2、点、线、面、体
(1)几何图形的组成
点:
线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:
面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:
包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:
几何体也简称体。
(2)点动成线,线动成面,面动成体。
3、直线的概念
一根拉得很紧的线,就给我们以直线的形象,直线是直的,并且是向两方无限延伸的。
4、射线的概念
直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
这个点叫做射线的端点。
5、线段的概念
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。
这两个点叫做线段的端点。
6、点、直线、射线和线段的表示
在几何里,我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示。
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
注意:
(1)表示点、直线、射线、线段时,都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。
(2)直线和射线无长度,线段有长度。
(3)直线无端点,射线有一个端点,线段有两个端点。
(4)点和直线的位置关系有线面两种:
①点在直线上,或者说直线经过这个点。
②点在直线外,或者说直线不经过这个点。
7、直线的性质
(1)直线公理:
经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。
它可以简单地说成:
过两点有且只有一条直线。
(2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。
(4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。
8、线段的性质
(1)线段公理:
所有连接两点的线中,线段最短。
也可简单说成:
两点之间线段最短。
(2)连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。
(3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理:
和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
考点二、角(3分)
1、角的相关概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
当角的两边在一条直线上时,组成的角叫做平角。
平角的一半叫做直角;小于直角的角叫做锐角;大于直角且小于平角的角叫做钝角。
如果两个角的和是一个直角,那么这两个角叫做互为余角,其中一个角叫做另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫做互为补角,其中一个角叫做另一个角的补角。
2、角的表示
角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示,具体的有一下四种表示方法:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:
用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。
3、角的度量
角的度量有如下规定:
把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。
把1’的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。
1°=60’=360”
4、角的性质
(1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量,可以比较
(3)角可以参与运算。
5、角的平分线及其性质
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理:
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
考点三、相交线(3分)
1、相交线中的角
两条直线相交,可以得到四个角,我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。
我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。
临补角互补,对顶角相等。
直线AB,CD与EF相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截),构成八个角。
其中∠1与∠5这两个角分别在AB,CD的上方,并且在EF的同侧,像这样位置相同的一对角叫做同位角;∠3与∠5这两个角都在AB,CD之间,并且在EF的异侧,像这样位置的两个角叫做内错角;∠3与∠6在直线AB,CD之间,并侧在EF的同侧,像这样位置的两个角叫做同旁内角。
2、垂线
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。
垂线的性质:
性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
考点四、平行线(3~8分)
1、平行线的概念
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
相交或平行。
注意:
(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定
平行线的判定公理:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。
简称:
同位角相等,两直线平行。
平行线的两条判定定理:
(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。
简称:
内错角相等,两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。
简称:
同旁内角互补,两直线平行。
补充平行线的判定方法:
(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
4、平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
【考点例解】
例1(2010年河南中考模拟题4)如图,,要使,则等于()
A.B.C.D.
答案:
C
例2(2010年黑龙江一模)如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,
∠A=350,∠AOB=750,则∠C等于()
A.350B.750C.700D.800
答案:
C
例3(2010年中考模拟题5)如图,直线MA∥NB,∠A=70°,∠B=40°,则∠P=°.
答案:
30°
例4(2010年中考模拟2)如图,在等腰梯形ABCD中,∠C=60°,AD∥BC,且AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF,AF、BE交于点P.
(1)求证:
AF=BE;
(2)请你猜测∠BPF的度数,并证明你的结论.
答案:
(1)∵BA=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF,
∴△BAE≌△ADF,∴BE=AF;
(2)猜想∠BPF=120°.
∵由
(1)知△BAE≌△ADF,∴∠ABE=∠DAF.
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE,而AD∥BC,∠C=∠ABC=60°,
∴∠BPF=120
【考题选粹】
一、选择题
1.线段AB被分成2:
3:
4三部分,已知第一部分和第三部分中点的距离是5.4,线段AB的长应为()
A、8.1B、9.1C、10.8D、7.4
2.平面上有2000条直线,它们每两条都不平行,每三条都不交于一点,它们彼此相交而成的线段的条数是().
A、B、
C、D、
3.下面四个命题中正确的是().
A、相等的两个角对顶角
B、和等于的两个角互为邻补角
C、连结两点的最短线是过这两点的直线
D、两条直线相交所成的四个角相等,则这两条直线互相垂直
4.如图1所示,若平行直线EF,MN与下线AB、CD相交,则共得同旁内角().
A、4对B、8对C、12对D、16对
5.如图2,A,O,B在一条直线上,是锐角,则的余角是().
A、B、C、D、
6.如图3,AOB是一条直线,分别是的平分线,则图中互为补角关系的角共有().
A、6B、7C、8D、9
7.的和是一个平角,记,则在三个角中,锐角最多有()个.
A、0B、1C、2D、3
8.下列命题不正确的是().
A、若两相等的角有一边平行,则另一边也互相平行
B、两条直线相交,所成的两组对顶角的平分线互相垂直
C、两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直
D、经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
9.下面命题
(1)两条直线相交,一角的两邻补角相等,则这两条直线垂直;
(2)两条直线相交,一角与其邻补角直等,则这两条直线垂直;(3)内错角相等,则它们的平分线互相垂直;(4)同旁内角互补,则它们的平分线互相垂直,其中正确的有().
A、4个B、3个C、2个D、1个
10.如右图,直线都与直线相交,给出下列条件:
(1);
(2);(3);(4),其中能判断∥的是().
A、
(1)、(3)B、
(2)、(4)
C、
(1)、(3)、(4)D、
(1)、
(2)、(3)、(4)
二、填空题
11.一个角与的角之和的等于角的余角,则=
12.已知互余,且,则的补角为.
13.如图,公路上依次有A、B、C三站,上午8时,甲骑自行车从A、B之间离A站18千米的P点出发,向C站匀速前进,15分钟到达离A站22千米处.
(1)设小时后,甲离A站千米,用的代数式表示,=;
(2)若A、B和B、C间的距离分别是30千米和20千米,则在上午到的时间内,甲在B、C两站间(不包括B、C两站)
14.如图3,已知∥,.
15.如图4,为余角,的余角互补,,CP平分则的度数是.
16.在同一平面内有2002条直线,如果∥,,∥,…,那么与的位置关系是
17.如图5,A、B之间是一座山,一条铁路要通过A、B两地,在A地
测得铁路走向是北偏东,如果A、B两地同时开工,那么在B地按
北偏西施工,才能使铁路在山腹中准确接通.
18.线段AB上只有P、Q两点,AB=26,AP=14,PQ=11,那么BQ=.
19.A、B、C三点在同一直线上,若BC=2AB,且AB=,则AC=.
20.现在4点5分,再过分钟,分针和时针第一次重合.
三、解答题
21.已知互为邻补角,OD是的平分线,OE在内,求,的度数
22.如图,已知AB∥CD,P为HD上任意一点,过P点的直线交HF
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- 42 线段角相交线与平行线 线段 相交 平行线