完整版专题三导数与三次函数Word文档格式.docx
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2
△2433200
•fx0没有实数根•fx0在R上恒成立
•-fx在,上单调递增,fx没有极值
fx在0,3上的最小值为f00,最大值为f345
变式三、已知函数力t,yx33x,实数t为何值时,函数力与y的图象的交点有一个、二个、三个?
由例1画出函数y2的大致图象如图,观察图象,可得
令fx3x230Xi1,X21
x、fx、f(x)的变化情况如下表
X
(
1,1)
f
f(x
)/
f(X)的单调递减区间是1,1
当X1时,fX有极大值f
当X1时,fX有极小值f1
要使f(X)有一个零点,需且只需要使f(X)有二个零点,需且只需要使f(X)有三个零点,需且只需
1131aa2
1331aa2
a20,解得a2
a20
a20,解得2a2
f(x)的单调递增区间是,1和1,
变式五、已知函数fxX33X,a0,如果过点Aa,2可作曲线yfx的
三条切线,求a的取值范围
设切点为x0,y0,则fx3x23
•••切线方程yy0fx0xx0即y3x^3x2x0^
•••切线过点Aa,2•23xo3a2x3
即2x33ax23a20
设gxo2x;
3axo3a2,则gx6x06ax°
6x°
x°
a
当X。
变化时,gxo、gxo的变化情况如下表
Xo,0
00,a
a
a,
gXo+
0-
gXo产
3a2'
a33a2
由单调性知:
①若极大值
3a20或极小值a3
3a20,方程g
x00只
有一个实数根;
②若3a20或a33a20,方程gx。
0只有两个相异
的实数根,综上,要使方程gxo0有三个相异的实根,须且只须
①若a
2a0
a1时,函数fx的图象与x有且只有一个交点。
…%x22
则12
XjX2a
x0有两个不相等的实根,不妨设为人、X2且人X2,
当X变化时,fX、fX的取值变化情况如下表
X1
X1
X1,X2
X2
X2,
fX
一
/J
fN
xl
fx2
22
x12x1a0/.ax12x1
131
x1a2x1x1x13a2
33
12
同理fx2x2x23a2
aga23a2
9
X-IX2X-I
3a
2x23a
-X]X2
x1x2
3a2X1
x29a2
X1gfX2
2x^2
9a
-aa23a3
令f咅gfx20,解得a0
当0a1时,f0a0,f32a•••当0a1时,函数fx的图象与x轴有且只有一个交点
•fx的大致图象如图所示:
综上所述,a的取值范围是0,
综合练习题
1、已知函数fxax3bx2ex在点xo处取得极大值5,其导函数yfx的
图象经过点1,0,2,0;
如图所示,
求:
⑴xo的值;
⑵a、b、e的值。
(2006北京)
⑴由数形结合可知
当1x2时,fx0;
•••fx在1,2上递减
当x1或x2,fx0,
•••fx在,1和2,上递增
•••当xX。
1时,fX有极大值
⑵解法一、
3ax22bxe
13a2be0
由已知,
得
212a4be0
1abe5
a2
解得b9
e12
解法二、由数形结合可设
mx1
x2mx3mx2m
又f
x3ax
2bxe
m
--a——
2、若函数
3m
9,c2m12
1axa
1x1在区域
1,4内为减函数,在区间
2m5
fxx
ax
a1
令fx
0解得
x11,
x2a
i1
①当a1
1即a
2时,
在1,
上为增函数,不合题意
②当a1
函数
fx在
1上为增函数,在
减函数,在;
a1,
上为增函数,
依题意应有:
当x
1,4时,
0,
当x6,
时,fx0
所以4
6,解得5
a7
综上,
a的取值范围是
5,7
上为增函数,试求实数
(2004全国卷)
6,
解:
1,a1内为
a的取值范围。
3、已知函数fxax3bx23x在x1处取得极值,
⑴讨论f1和f1是函数fx的极大值还是极小值;
⑵过点A0,16作曲线yfx的切线,求此切线方程。
(2004天津)
Q
⑴fx3ax2bx3,依题意有
a13
解得fxx3x
b0
fx3x233x1x1
令fx0得x11,x21
若x,1U1,,贝Ufx0
•fx的单调递增区间为,1和1,
若x1,1,贝Ufx0
•fx的单调递减区间为1,1
所以,f12是极大值,f12是极小值
⑵曲线方程为yx33x,点A0,16不在曲线上,
设切点为Mx0,y0,贝点M的坐标满足y0x03
因fx03x021,故切线方程为yy03x02
•••点A在切线上
•16x033x03x0210x0
解得x02
•切点为2,2,切线方程为9xy160
变式:
若第⑵小题A0,16改为1,2,其他不变。
3x0
1xx0
32
2xo3xo10
x012x010
Xo1或x°
⑴求a、b的值及函数fx的单调区间;
⑵若对x1,2,不等式fxc2恒成立,求c的取值范围。
(2006江西)
⑴fx3x22axb,依题意,得
r212
4
b0a
39
,解得a
f132a
b
fx3x2
3x2x1
x变化时,fX、fx的变化情况如下表
J
i'
11,
0+
所以f
x的递增区间为,
2与
,递减区间为-,1
⑵fx
312_
xx2x
c,x
1,2
222
当x-时,fx-c为极大值,而f22c
2c为最大值
要使fxc,x1,2恒成立
只须c2f22c
解得c1或c2
思考:
若x1,2变为x1,2,c的取值范围怎样?
4、已知函数fxax3cxda0是R上的奇函数,当x1时,fx取得
极值2,⑴求fx的单调区间和极大值;
⑵证明:
对任意x1,x21,1,
不等式fx,fx24恒成立。
⑴解:
由奇函数的定义,应有fxfx,xR
即ax3cxdax2cxd
•••d0
注意:
可用f00d0
因此,fxaxcx
由条件f12为fx的极值,得
f1
0阳3ac
即
2ac
解得a
1,c3
•••fx
x33xf
x3x33x1x1
f10
1时,fx
0,故fx在单调区间,
1上为增函数
1,1时,fx
0,故fx在单调区间1,1
上为减函数
1,时,fx
0,故fx在单调区间1,
上为增函数
所以fx在x1处取得极大值,极大值为f12
由⑴知,fxx33x,x1,1是减函数
且fx在1,1上的最大值为Mf12
fx在1,1上的最小值为Nf12
内有极
.值点,求
衣c的取值
范围
。
(2
004湖北)
⑴依题意,令
gx,得
2x
b1
1bx
由f
1b
g
11
b,得b
4c
Vb
1,c
2匸
⑵Fx
gg
x32bx2
b2
cx
bc
•••F
x3x2
4bx
b2c
令F
x0
3x:
24bxb2
c
则厶
16b2
12
c4b2
3c
①若
0,则
F
0有一实根上,
且x
变化时,Fx的变化如下
相切。
⑴求b与c的关系式(用c表示b);
⑵设函数F
Xo
xfxggx在
②若0,则Fx
0有两个不等的实根为,
x?
X1X2
x变化时,fx的变化如下
x1x1,x2
x2x2,
由此,x
x,是函数F
x的极大值点,x
X2是函数Fx的极小值点
综上所述,
当且仅当
0时,函数Fx
在,上有极值点
由4b23c0,得
b.3c或b.3c
vb12.C
•••12jc/3c或12、,cJ3c
解得0c74-一3或c74.3
故所求c的取值范围是0,74乜U74,3,
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- 完整版 专题 导数 三次 函数