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5级数Un收敛的必要条件:
limUn0;
n1n
①级数收敛的必要条件,常用判别级数发散;
③若Un发散,则limUn0未必成立.n1n
二、常数项级数审敛法
1.正项级数及其审敛法
1定义:
若Un0,则Un称为正项级数.
2
充要条件:
正项级数
审敛法:
Un收敛的充分必要条件是其部分和数列有界
(ii)比较审敛法:
设Un①与Vn②都是正项级数,且Un%(n1,2丄),
n1n1
则若②收敛则①收敛;
若①发散则②发散•
A.若②收敛,且存在自然数N,使得当nN时有Unkvjk0)成立,则①收
敛;
若②发散,且存在自然数N,使得当nN时有Unkvn(k0)成立,则
①发散;
B.设Un为正项级数,若有p1使得un2(n1,2,L),贝UUn收敛;
若
n1nn1
1
Un(n1,2,L),贝UUn发散•
nn1
C.极限形式:
设Un①与Vn②都是正项级数,若limb|(0|),则
n1n1nVn
Un与Vn有相同的敛散性.
常用的比较级数:
a
11.
①几何级数:
arn1
1r
r1•
n1
发散
r1
②p级数:
[收敛
P
1时.
nrnp发冃攵
1时,
③调和级数:
11
1发散.
n1n
n
(iii)比值判别法(达郎贝尔判别法)设an是正项级数,若
①limr1,则an收敛;
②limr1,则发散.
nann1nann1
若lim1,或liman1,推不出级数的敛散.例丄与厶,虽然
nannn1nn1n
lim1,|imnan1,但-发散,而&
收敛•
nann■n1nn1n
(iv)根值判别法(柯西判别法)设an是正项级数,lim、,an,若1,
级数收敛,若1则级数发散.
(v)极限审敛法:
设Un0,且limnPUnl,则①limnpUnl0且p1,则级nn
数Un发散;
②如果p1,而limnpUnl(0l),则其收n1n
敛.(书上P317-2-
(1))
凡涉及证明的命题,一般不用比值法与根值法,一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件,是充分非必要
条件.
2.交错级数及其审敛法
设Un0(n1,2丄),则
(1)n1Un称为交错级数•
2审敛法:
莱布尼兹定理:
对交错级数
(1)n1Un,若UnUn1且limUn0,
‘n
贝u
(1)nu收敛•
比较Un与Un1的大小的方法有三种:
1比值法,即考察也1是否小于1;
Un
2差值法,即考察UnUn1是否大于0;
3由Un找出一个连续可导函数f(x),使Unf(n),(n1,2,)考察f(x)是否小于0.
3.一般项级数的判别法:
1若Un绝对收敛,则Un收敛.
2若用比值法或根值法判定|Un|发散,则Un必发散.
三、幕级数
anxn称为幕级数.
n0
2.收敛性
①阿贝尔定理:
设幕级数
anXn在X00处收敛,则其在满足XIX0的所
有x处绝对收敛.反之,若幕级数anxn在X1处发散,则其在满足xXin0
的所有X处发散.
②收敛半径
(i)定义:
若幕级数在XXo点收敛,但不是在整个实轴上收敛,则必存在
一个正数R,使得①当XXoR时,幕级数收敛;
②当
xXoR时,幕级数发散;
R称为幕级数的收敛半径•
(ii)求法:
设幕级数anXn的收敛半径为R,其系数满足条件lim
n0n
或nlim器丙I,则当01时,R1;
当10时,R,当I时,R0.
求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式,后一个则须分奇、偶项(有时会出现更复杂的情况)分别来求.在分成奇偶项之后,由于通项中出现缺项,由此仍不能用求半径的公式直接求,须用求函数项级数收敛性的方法.
(iii)收敛半径的类型
A.R0,此时收敛域仅为一点;
B.R,此时收敛域为(
C.R=某定常数,此时收敛域为一个有限区间.
3.幕级数的运算(略)
4.
幕级数的性质
x/,x(n!
出其假设和函数s(x)与其导数s(x)的关系),从而得到新级数的和函数;
系数为若干项代数和的幕级数,求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代数和,然后分别求出它们的和函数,最后对和函数求代数和,即得所求级数的和函数.
②数项级数求和
SnU1U2
UnUk.根据Sn的求法又可分为:
直接法、拆项法、递
推法.
A.直接法:
适用于uk为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列;
k1
B.拆项法:
把通项拆成两项差的形式,在求n项和时,除首尾两项外其余各项对
消掉.
lims(x).
x1
过逐项微分或积分求得和函数S(x)•因此an
四、傅里叶级数
1.定义
①定义1:
设f(x)是以2为周期的函数,且在[,]或[0,2]上可积,则
称为函数f(x)的傅立叶系数.
f(x)〜a。
称为函数f(x)的傅立叶级数,表示为
(ancosnxbnsinnx).
3定义3:
设f(x)是以2l为周期的函数,且在[1,1]上可积,则以
11n
anf(x)cosxdx,(n0,1,2),
l1l
bn1:
f(x)sin^xdx,(n1,2)为系数的三角级数
丄a0(ancos—xbnsinnx)称为f(x)的傅立叶级数,表示为
2n111
f(X)〜1a0
zn・n、
(ancosxbnsinx).
lI
n1ll
2.收敛定理(狄里赫莱的充分条件)设函数f(x)在区间[,]上满足条件
①除有限个第一类间断点外都是连续的;
②只有有限个极值点,
则f(x)的傅立叶级数在[,]上收敛,且有
3.函数展开成傅氏级数
①周期函数
、2
[,]上为奇函数,f(X)〜bnsinnx(正弦级数),bn0f(x)sinnxdx
(n1,2,);
f(x)0xl
B.f(x)为[0,l]上的非周期函数,则令F(x);
则F(x)除x0外
f(x),lx0
在[,]上为奇函数,f(x)〜bnsin
}x(正弦级数),bn
ln
0f(x)sinTxdx
(n1,2,).
(ii)偶延拓:
A.f(x)为[0,]上的非周期函数,令F(x)
f(x),0x
f(x),x0'
则F(x)除x
]上为偶函数,心尸号
ancosnx
弦级数),a
-°
f(x)cosnxdx(n
0,1,2,).
B.f(x)为[0,1]上的非周期函数,令F(x)
f(x)〜巴ancos^—x(余弦级数),a
2n1l
解题步骤:
f(x),0f(
l
x),l
xl0,则
0f(x)cos
—xdx(nl
1画出图形、验证狄氏条件•画图易于验证狄氏条件,易看出奇偶性;
2求出傅氏系数;
3写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于f(x).
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