高中数学第一章导数及其应用13数中的应用132函数的极值与导数一学案新人教A版选修221022340Word文件下载.docx
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题点 不含参数的函数求极值问题
解
(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)==-.
令f′(x)=0,得x=-1或x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
+
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
由上表可以看出,当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;
当x=1时,函数有极大值,且极大值为f
(1)=-1.
(2)函数f(x)=的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=.
令f′(x)=0,解得x=e.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
(0,e)
e
(e,+∞)
因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)=,没有极小值.
反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
特别提醒:
当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然.
跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值.
(1)f(x)=x3-x2-3x+3;
(2)f(x)=x2e-x.
解
(1)f′(x)=x2-2x-3.
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3,
(-1,3)
3
(3,+∞)
由上表可以看出,当x=-1时,函数有极大值,且极大值f(-1)=,当x=3时,函数有极小值,且极小值f(3)=-6.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.
令f′(x)=0,得x=0或x=2.
(-∞,0)
(0,2)
2
(2,+∞)
由上表可以看出,当x=0时,函数有极小值,且极小值为f(0)=0.
当x=2时,函数有极大值,且极大值为f
(2)=4e-2.
例2 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当实数a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值.
题点 含参数求极值问题
解 f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2,
由a≠知-2a≠a-2.
分以下两种情况讨论:
①若a>
,则-2a<
a-2.
(-∞,-2a)
-2a
(-2a,a-2)
a-2
(a-2,+∞)
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函数,在(-2a,a-2)上是减函数,函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a,函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
②若a<
,则-2a>
(-∞,a-2)
(a-2,-2a)
(-2a,+∞)
所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函数,在(a-2,-2a)上是减函数,函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2,函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
反思与感悟 讨论参数应从f′(x)=0的两根x1,x2相等与否入手进行.
跟踪训练2 已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.
(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-(x>
0),
因而f
(1)=1,f′
(1)=-1.
所以曲线y=f(x)在点A(1,f
(1))处的切线方程为
y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1-=,x>
0,知
①当a≤0时,f′(x)>
0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>
0时,由f′(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时,f′(x)<
0,
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>
0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.
类型二 利用函数的极值求参数
例3
(1)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)B.(0,+∞)
C.(0,1)D.(-1,0)
(2)已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a=________,b=________.
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值点求参数
答案
(1)D
(2)2 9
解析
(1)若a<
-1,因为f′(x)=a(x+1)(x-a),
所以f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增,
所以f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符;
若-1<
a<
0,则f(x)在(-1,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减,从而在x=a处取得极大值.
若a>
0,则f(x)在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,与题意不符,故选D.
(2)因为f(x)在x=-1时有极值0,且f′(x)=3x2+6ax+b,
所以即
解得或
当a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,
所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去.
当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数,
当x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数,
所以f(x)在x=-1处取得极小值,因此a=2,b=9.
反思与感悟 已知函数的极值求参数时应注意两点
(1)待定系数法:
常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组,用待定系数法求解.
(2)验证:
因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.
跟踪训练3 设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
解
(1)∵f(x)=alnx+bx2+x,
∴f′(x)=+2bx+1,
∴f′
(1)=f′
(2)=0,∴a+2b+1=0且+4b+1=0,
解得a=-,b=-.
(2)由
(1)可知f(x)=-lnx-x2+x,
且定义域是(0,+∞),
f′(x)=-x-1-x+1=-.
当x∈(0,1)时,f′(x)<
0;
当x∈(1,2)时,f′(x)>
当x∈(2,+∞)时,f′(x)<
0.
故x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.
1.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是( )
A.在(1,2)上函数f(x)为增函数
B.在(3,4)上函数f(x)为减函数
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
考点 函数极值的综合应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 D
解析 根据导函数图象知,x∈(1,2)时,f′(x)>
0,x∈(2,4)时,f′(x)<
0,x∈(4,5)时,f′(x)>
0.∴f(x)在(1,2),(4,5)上为增函数,在(2,4)上为减函数,x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点.故选D.
2.设函数f(x)=+lnx,则( )
A.x=为f(x)的极大值点
B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
解析 函数f(x)=+lnx的定义域为(0,+∞).
f′(x)=-,
令f′(x)=0,即-=0得,x=2,
当x∈(0,2)时,f′(x)<
0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>
因为x=2为f(x)的极小值点,故选D.
3.函数f(x)=ax-1-lnx(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________.
题点 判断极值点的个数
答案 0
解析 因为x>
0,f′(x)=a-=,
所以当a≤0时,f′(x)<
0在(0,+∞)上恒成立,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以f(x)在(0,+∞)上没有极值点.
4.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f
(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b=________.
题点 已知极值(点)求参数
答案 -2
解析 f′(x)=3x2+2ax+b,
由题意知即
解得则a+b=-2.
5.已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值.
(1)求a,b的值;
(2)判断f(x)的单调区间,并求极值.
解
(1)f′(x)=2ax+,
由题意得 即
∴a=,b=-1.
(2)由
(1)得,
f′(x)=x-==.
又f(x)的定义域为(0,+∞),
令f′(x)=0,解得x=1.
(0,1)
∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
f(x)极小值=f
(1)=.
1.求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)解方程f′(x)=0得方程的根;
(4)利用方程f′(x)=0的根将定义域分成若干个小开区间,列表,判定导函数在各个小开区间的符号;
(5)确定函数的极值,如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正),则f(x)在x0处取得极大(小)值.
2.已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
一、选择题
1.下列函数中存在极值的是( )
A.y=B.y=x-ex
C.y=2D.y=x3
题点 极值存在性问题
答案 B
解析 对于y=x-ex,y′=1-ex,令y′=0,得x=0.
在区间(-∞,0)上,y′>
在区间(0,+∞)上,y′<
故x=0为函数y=x-ex的极大值点.
2.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e)上的极大值为( )
A.-eB.1-e
C.-1D.0
答案 C
解析 f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-1.
令f′(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,f′(x)>
0,当x∈(1,e)时,f′(x)<
故f(x)在x=1处取得极大值f
(1)=ln1-1=0-1=-1.
3.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
A.(2,3)B.(3,+∞)
C.(2,+∞)D.(-∞,3)
解析 因为f′(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值,
所以f′
(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15,
所以f′(x)=6x2-30x+36
=6(x-2)(x-3),
由f′(x)>
0,得x<
2或x>
3.
4.设三次函数f(x)的导函数为f′(x),函数y=xf′(x)的图象的一部分如图所示,则( )
A.f(x)极大值为f(),极小值为f(-)
B.f(x)极大值为f(-),极小值为f()
C.f(x)极大值为f(-3),极小值为f(3)
D.f(x)极大值为f(3),极小值为f(-3)
解析 当x<
-3时,y=xf′(x)>
0,即f′(x)<
当-3<
x<
3时,f′(x)≥0;
当x>
3时,f′(x)<
∴f(x)的极大值是f(3),f(x)的极小值是f(-3).
5.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于点(1,0),则f(x)的( )
A.极大值为,极小值为0
B.极大值为0,极小值为
C.极小值为-,极大值为0
D.极大值为-,极小值为0
考点 函数某点处取得极值的条件
答案 A
解析 f′(x)=3x2-2px-q.
由函数f(x)的图象与x轴切于点(1,0),得p+q=1,
∴q=1-p,①
3-2p-q=0,②
联立①②,解得p=2,q=-1,
∴函数f(x)=x3-2x2+x,
则f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)=0得x=1或x=.
当x≤时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,
当<
1时,f′(x)<
0,f(x)单调递减,
当x≥1时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,
∴f(x)极大值=f
=,
f(x)极小值=f
(1)=0.故选A.
6.设a<
b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( )
解析 y′=(x-a)(3x-a-2b),由y′=0得x1=a,x2=.
当x=a时,y取得极大值0,
当x=时,y取得极小值且极小值为负,故选C.
7.已知函数f(x)=ex(sinx-cosx),x∈(0,2017π),则函数f(x)的极大值之和为( )
A.B.
C.D.
解析 f′(x)=2exsinx,令f′(x)=0得sinx=0,
∴x=kπ,k∈Z,
当2kπ<
2kπ+π时,f′(x)>
0,f(x)单调递增,
当(2k-1)π<
2kπ时,f′(x)<
∴当x=(2k+1)π时,f(x)取到极大值,
∵x∈(0,2017π),∴0<
(2k+1)π<
2017π,
∴0≤k<
1008,k∈Z.
∴f(x)的极大值之和为
S=f(π)+f(3π)+f(5π)+…+f(2015π)
=eπ+e3π+e5π+…+e2015π
==,故选B.
二、填空题
8.函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.
答案 y=-
解析 令y′=ex+xex=(1+x)ex=0,
得x=-1,∴y=-,
∴在极值点处的切线方程为y=-.
9.若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,则函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为________.
答案 -5
解析 ∵函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,
∴f′(x)=(x2+c)+(x-2)×
2x,
令f′
(2)=0,∴(c+4)+(2-2)×
2×
2=0,∴c=-4,
∴f′(x)=(x2-4)+(x-2)×
2x.
∴函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为
f′
(1)=(1-4)+(1-2)×
2=-5.
10.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为________.
答案 -1
解析 函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1,
则f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)·
ex-1
=ex-1·
[x2+(a+2)x+a-1].
由x=-2是函数f(x)的极值点,得
f′(-2)=e-3·
(4-2a-4+a-1)=(-a-1)e-3=0,
所以a=-1.
所以f(x)=(x2-x-1)ex-1,
f′(x)=ex-1·
(x2+x-2).
由ex-1>
0恒成立,得当x=-2或x=1时,f′(x)=0,且x<
-2时,f′(x)>
当-2<
1时,f′(x)>
所以x=1是函数f(x)的极小值点.
所以函数f(x)的极小值为f
(1)=-1.
11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f(-1)=________.
答案 30
解析 由题意知即
经检验知,当时,f′(x)≥0,不合题意.
∴f(x)=x3+4x2-11x+16,则f(-1)=30.
三、解答题
12.设函数f(x)=alnx++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
题点 不含参数函数求极值
解
(1)f′(x)=-+.
由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0,即f′
(1)=0,
从而a-+=0,解得a=-1.
(2)由
(1)知f(x)=-lnx++x+1(x>
f′(x)=--+
==.
令f′(x)=0,解得x1=1,x2=-(舍去).
0,故f(x)在(0,1)上为单调递减函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>
0,故f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数.
故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f
(1)=3.
13.已知函数f(x)=x3+mx2-2m2x-4(m为常数,且m>
0)有极大值-,求m的值.
解 ∵f′(x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m),
令f′(x)=0,得x=-m或x=m.
(-∞,-m)
-m
m
∴f(x)有极大值f(-m)=-m3+m3+2m3-4
=-,
∴m=1.
四、探究与拓展
14.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
解析 由题意可得f′(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<
0,此时xf′(x)>
排除B,D,
当x∈(-2,+∞)时,f′(x)>
0,此时若x∈(-2,0),xf′(x)<
0,若x∈(0,+∞),xf′(x)>
所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.
15.已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?
若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由
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