排列组合的常见题型及其解法good.docx

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排列组合的常见题型及其解法good

排列、组合问题，在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性，在“倡导创新体系，提高素质教育”的今天，该类试题是最好的体现，由于有些问题比较抽象，且题型繁多，解法独特，再加上限制条件，容易产生错误。

本文就排列、组合问题的常见题型的求解方法加以归纳，供大家参考。

1、特殊元素——优先法：

对于含有限定条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。

例1，用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

[解析]因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的特殊元素应优先安排。

①当0排在末尾时，有个；②当0不排在末尾时，有个，根据分类记数原理，其中偶数共有个。

例2，1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种。

[解析]优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有种。

剩下的位置由4名学生全排列，有种。

因此共有种不同的排法。

2、相邻问题——捆绑法：

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。

例3，5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有种。

[解析]将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有种排法；而3名老师之间又有种排法，故满足条件的排法共有种。

例4，计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？

[解析]把每种画捆绑在一起，看成一个整体，又水彩画较特殊，应优先安排。

水彩画放中间，油画和国画放两端有种排法。

再考虑油画和国画本身可全排列，故排列方法共有种。

3、不相邻问题——插空法：

对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。

例5，有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种排列次序？

[解析]先将其余6人进行排列，有种；再把不相邻的4人分别排在前6人形成的7个空隙中，有种。

所以共有种排列次序。

例6，有4名男生，3名女生站成一排，任何两名女生彼此不相邻，有多少不同的排法？

[解析]由于要求女生不相邻，应先排男生，有种；然后在男生形成的5个空隙中分别安排3名女生，有种，所以共有种。

4、正难问题——排除法：

对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转换为一个较简单的问题来处理。

例7，从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A、140种　　B、120种　　C、35种　　D、34种

[解析]先不考虑附加条件，从7名学生中选出4名共有种选法，其中不符合条件的是选出的4人都是男生，即种。

所以符合条件的选法是种，故选D。

例8，四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

A、150种　　B、147种　　C、144种　　D、141种

[解析]首先只要考虑从10个点中任取4个点的取法，有种，然后再取掉“共面”的情况：

其中一个面内的6个点中任意4点都共面，任取4点有种；又每条棱与相对棱的中点共有6种；各棱的中点中4点共面的有3种。

故10个点中4点不共面的取法，共有种。

故选D项。

5，多元问题——合理分类与准确分步：

对于约束条件较多的排列组合问题，可能的情况也较多，可根据结果要求，按元素性质进行分类，按时间发生的连续过程分步，做到分类标准明确、分布层次清楚，不重不漏的原则。

例9，如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，

要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，

则不同的着色方法共有多少种？

[解析]区域1与其它4个区域相邻，而其它器每个区域都与3个区域相邻，因此可以涂3种或4种颜色。

①涂3种颜色有种方法；②涂4种颜色有种方法。

因此共有24+48=72种不同的着色方法。

例10，平面上4条平行直线与另5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有个

[解析]按构成矩形的过程可分为如下两步：

第一步，先在4条平行直线中取两条，有种；

第二步，再在5条平行线中取两条，有种，这样取出的4条直线构成一个矩形。

根据乘法原理，构成的矩形共有个。

6，定序问题——除法：

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个数的全排列数。

例11，由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的共有

A、210种　　B、300种　　C、464种　　D、600种

[解析]：

若不考虑附加条件，组成的六位数共有个，而其中个位数与十位数的种排法中只有一种符合要求，故符合要求的六位数共有个，故选B项。

若将题干中条件改为“个位数小于十位数且千位小于百位”则应为种。

再例：

有1、2、3，...，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？

解析：

思路一：

1－9，组成5位数有。

假设后三位元素是（A和B和C，不分次序，ABC任取）时（其中B>C>A）,则这三位是排定的。

假设B、C、A这个顺序，五位数有X种排法，那么其它的-1个顺序，都有X种排法。

则X*（-1+1）=,即X=/.

思路二：

分步。

第一步，选前两位，有种可能性。

第二步，选后三位。

因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有种。

即后三位有C3/7种可能性。

则答案为*.

7，大小排列问题——字典法：

对于数的大小顺序排列问题，可以采用“查字典”的方法，逐位依次确定。

例12，在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43512的数共有

　　　A、56种　　B、57种　　C、58种　　D、60种

[解析]从高位向低位依次考虑，分3类：

①当首位是2时，若千位是4、5，则有个；若千位是3，百位是4、5，则有个；若千位是3，百位是1，则只有一个数即23154，故当首位是2时，共有12+4+1=17个。

②当首位是3时，有个。

③当首位是4时，若千位是1、2，则有个；若千位是3，百位是1、2，则有个；若千位是3，百位是5，则只有一个数即43512，故当首位是4时，共有12+4+1=17个数。

因此满足题意的数共有17+24+17=58个。

故选C项。

例13，用0、1、2、3、4五个数组成无重复数字的四位数，若按从小到大排列，3204是第几个数？

[解析]从高位向低位依次考虑，分3类：

①当千位是1、2时，有个。

②当千位是3时，若百位排0、1，有个；若百位排2时，比3204小的仅有3201一个。

故比4304小的四位数共有48+12+1=61个，所以3204是第62个。

8，名额分配问题——隔板法：

对某些复杂的排列问题，可通过构造相应的模型来处理。

　　例14，某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少一人，名额分配方案共有多少种？

[解析]处理次类问题一般构造一个隔板模型。

取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个空隙中选取9个插入隔板，将18个棋子分隔成10个部分，第i（1≤i≤10）个部分的棋子数对应第i个班级学生的名额，因此分配方案的种数与隔板的插入种数相等，即为种。

例15，某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，其中有些班级可能选不上，每班人数都在18人以上，名额分配方案共有多少种？

[解析]同样是名额分配问题，但与前面问题有所不同，由于名额可空，即同一空隙中可插多个隔板，前面模型不再适用，应另建模型。

取18枚棋子排成一列需要18个位置，分10部分需要9个隔板，每个隔板占用一个位置，共需18+9=27个位置。

现在在这27个位置上安排9个隔板，把27个位置分成10部分。

当两个隔板相邻时，表示这两个位置之间没有棋子，即此班没有名额。

因此，分配方案的种数与隔板的插入种数相等，即为种。

9，混合问题——先选后排法：

对于排列、组合的混合问题，可采取先选取元素，再进行排列的策略。

例16，某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班且每班安排2人，则不同的安排方案种数为

A、B、C、D、

[解析]先将4名学生平均分成两组（属平均分组），有=种分法；再将这两组学生安排到该年级6个班中的两个班有种。

所以不同的安排方法有，故选B项。

10，复杂问题——转换法：

对于有些较为复杂的排列、组合问题，若不能用以上方法解决，可以采取等价转换的方法，转化为其它问题然后解决。

例17，从正方体的八个顶点中任取三个点作三角形，其中直角三角形的个数为

A、56B、52　　C、48　　D、40

[解析]首先考虑到任意一个矩形可得到四个直角三角形，于是问题转化为先求出所有可能的矩形。

分为两类：

⑴表面上的矩形有6个；⑵对角面有6个，因此所有可能的矩形有6+6=12个，相应的直角三角形共有412=48个。

故选C项。

例18，一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不小于7的取法有多少种？

[解析]设红球取x个，白球取5-x个，依题设有2x+（5-x）≥7。

其中x∈N,且。

解得2、3、4，对应3、2、1。

故取法种数为=186种。

数学运算题型之排列、组合、二项式定理·排列组合应用问题 

（第一讲）

目标

1．掌握有关排列组合问题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力．

2．通过对典型错误的剖析，学生克服解题中的“重复”与“遗漏”等常见错误．培养思维的深刻性与批判性品质．

重点与难点

有条件限制的排列组合应用问题．

排列数公式：

组合数公式

（一）有条件限制的排列问题

例15个不同的元素a，b，c，d，e每次取全排列．

（1）a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？

（2）a，e既不在首位也不在末位，有多少种排法？

（3）a，e排在一起有多少种排法？

（4）a，e不相邻有多少种排法？

（5）a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？

（教师出题后向学生提出要求；开动脑筋，积极思维，畅所欲言，鼓励提出不同解法，包括错误的解法）

师：

请同学回答

（1）并说出解题思路．

师：

很好！

问题

（1）是排列问题中某几个元素必须“在”某些位置的问题．处理这类问题的原则是：

有条件限制的元素或位置优先考虑．

师：

请同学回答

（2），并说出解题思路．

师：

在上面解题过程中，很好的运用了有条件限制的位置优先的原则，这种解法是直接法还有其他方法吗？

分别在排头、排尾的4种情况．

大家讨论研究．这时学生的思维活跃起来．

生丙：

前一种解法对，后一种解法排列数少了．

师：

遗漏在什么地方呢？

减去a排头，即a××××；减去a排尾，即××××a；减去e排头，即e××××；减去e排尾，即××××e．

具体一排可以看出，在这四