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数列超难的
2014年1月cyyaonan8713329的高中数学组卷
2014年1月cyyaonan8713329的高中数学组卷
一.解答题(共27小题)
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:
,求数列{an}的通项.
2.(2010•门头沟区一模)若数列{an}(n∈N*)满足:
(1)an≥0;
(2)an﹣2an+1+an+2≥0;
(3)a1+a2+…+an≤1,则称数列{an}为“和谐”数列.
(Ⅰ)验证数列{an},{bn},其中,是否为“和谐”数列;
(Ⅱ)若数列{an}为“和谐”数列,证明:
.
3.(2010•湖北模拟)对于给定数列{cn},如果存在实常数p、q,使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立,我们称数列{cn}是“M类数列”;
(1)若an=2n,数列{an}是否为“M类数列”?
若是,指出它对应的实常数p、q,若不是,请说明理由;
(2)数列{an}满足a1=2,an+an+1=3•2n(n∈N*),若数列{an}是“M类数列”,求数列{an}的通项公式;
(3)记数列{an}的前n项之和为Sn,求证:
(n≥3).
4.(2008•浙江)已知数列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1﹣1=an2(n∈N•).记Sn=a1+a2+…+an..
求证:
当n∈N•时,
(Ⅰ)an<an+1;
(Ⅱ)Sn>n﹣2.
5.已知曲线f(x)=(x>0)上有一点列Pn(xn,yn)(n∈N*),点Pn在x轴上的射影是Qn(xn,0),且xn=2+1(n∈N*),x1=1.
(1)求数列{xn}的通项公式;
(2)设四边形PnQnQn+1Pn+1的面积是Sn,求证:
<4.
6.已知正项数列{an}满足:
an+1=(an+)(n∈N+).
(1)求a1的范围,使得an+1<an恒成立;
(2)若a1=,证明an<1+(n∈N+,n≥2);
(3)(理)若a1=,证明:
+++…+﹣n<+1.
7.已知无穷数列{an}为等差数列,各项均为正数,给出方程aix2+2ai+1x+ai+2=0(i=1,2,3,…).
(1)求证这些方程有一个公共根为﹣1;
(2)设这些方程除公共根以外的另一根为αi,且f(n)=(α1+1)(α2+1)+(α2+1)(α3+1)+…+(αn+1)(αn+1+1).求证:
f(n)<.(其中d为数列{an}的公差)
8.已知数列{an}中,a1=1,,且(n=2,3,4,…).
(1)求a3、a4的值;
(2)设(n∈N*),试用bn表示bn+1并求{an}的通项公式;
(3)求证:
对一切n∈N*且n≥2,有.
9.已知数列{an}中,a1=1,an+1+an=3•2n﹣1(n≥2).
(1)求a2,a3;
(2)求an的通项公式;
(3)对于n∈N*有<=2(﹣),证明:
++…+<(n≥1)
10.已知α为锐角,且,函数,数列{an}的首项.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求证:
an+1>an;
(3)求证:
.
11.(2010•顺义区二模)在数列{an}、{bn}中,已知a1=6,b1=4,且bn、an、bn+1成等比数列,an、bn+1、an+1成等差数列,(n∈N+)
(Ⅰ)求a2、a3、a4及b2、b3、b4,由此猜想{an}、{bn}的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:
.
12.已知:
正数数列an中,若关于x的方程有相等的实根
(1)若a1=1,求a2,a3的值;并证明
(2)若a1=a,bn=an﹣(3n﹣12)•2n,求使bn+1≥bn对一切n∈N+都成立的a的取值范围.
13.(2011•天津)已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(﹣2)n+1,bn=,n∈N*,且a1=2.
(Ⅰ)求a2,a3的值
(Ⅱ)设cn=a2n+1﹣a2n﹣1,n∈N*,证明{cn}是等比数列
(Ⅲ)设Sn为{an}的前n项和,证明++…++≤n﹣(n∈N*)
14.设数列{an}满足:
当n=2k﹣1(k∈N*)时,an=n;当n=2k(k∈N*)时,an=ak;记
(1)求s3;
(2)证明:
sn=4n﹣1+sn﹣1(n≥2)
(3)证明:
.
15.(2013•广州三模)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.如果函数f(x)=有且仅有两个不动点0和2.
(1)试求b、c满足的关系式.
(2)若c=2时,各项不为零的数列{an}满足4Sn•f()=1,求证:
<<.
(3)设bn=﹣,Tn为数列{bn}的前n项和,求证:
T2009﹣1<ln2009<T2008.
16.已知函数,无穷数列{an}满足an+1=f(an)(n∈N*).
(1)求a1的值使得{an}为常数列;
(2)若a1>2,证明:
an>an+1;
(3)若a1=3,求证:
.
17.(2008•佛山一模)数列{an}满足a1=,an+1=.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,证明Sn<n﹣ln().
18.(2008•广州二模)已知函数f(x)=(x>0)
(1)当x1>0,x2>0且f(x1)•f(x2)=1时,求证:
x1•x2≥3+2
(2)若数列{an}满足a1=1an>0an+1=f(an)(n∈N*)求数列{an}的通项公式.
19.(2008•广州一模)已知函数f(x)=ex﹣x(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若n∈N*,证明:
.
20.(2008•广州一模)已知数列{an}中,a1=5且an=2an﹣1+2n﹣1(n≥2且n∈N+)
(1)求a2,a3的值;
(2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
21.(2008•深圳二模)已知首项为1的数列{an}满足:
对任意正整数n,都有:
,其中c是常数.
(Ⅰ)求实数c的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)设数列的前n项和为Sn,求证:
S2n﹣1>S2m,其中m,n∈N*.
22.(2012•南京一模)在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线y2=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设点C是抛物线上的动点,若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4,求证:
圆C过定点.
23.(2013•宁德模拟)已知函数f1(x)=x2,f2(x)=alnx(a∈R)•
(I)当a>0时,求函数.f(x)=f1(x)•f2(x)的极值;
(II)若存在x0∈[1,e],使得f1(x0)+f2(x0)≤(a+1)x0成立,求实数a的取值范围;
(III)求证:
当x>0时,lnx+﹣>0.
(说明:
e为自然对数的底数,e=2.71828…)
24.设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,B(0,﹣1).
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;
(Ⅱ)若C为椭圆上异于B一点,且,求λ的值;
(Ⅲ)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.
25.设a为非负实数,函数f(x)=x|x﹣a|﹣a.
(Ⅰ)当a=2时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的零点个数,并求出零点.
26.(2011•海珠区一模)已知椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C上的动点P引圆O:
x2+y2=b2的两条切线PA、PB,A、B分别为切点,试探究椭圆C上是否存在点P,由点P向圆O所引的两条切线互相垂直?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
27.(2011•珠海二模)函数f(x)=x2﹣(1+)x+lnx,a∈R.
(1)当a=﹣1时,求f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,讨论f(x)的单调性;
(3)g(x)=b2x2﹣3x+ln2,当a=2,1<x<3时,g(x)>f(x)恒有解,求b的取值范围.
2014年1月cyyaonan8713329的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共27小题)
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:
,求数列{an}的通项.
考点:
数列递推式.4216428
专题:
计算题;等差数列与等比数列.
分析:
由得当n≥2时,两式相减,得出数列的递推公式,再根据递推公式去推证数列的性质,求解通项.
解答:
解:
由
得①,
当n≥2②,
①﹣②得an=,化简整理得出
(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0
由已知,Sn>0,所以an>0,an+an﹣1≠0,
an﹣an﹣1﹣2=0,由等差数列的定义可知数列{an}是以2为公差的等差数列,
在中,令n=1,得2,解得a1=1,
所以数列{an}的通项an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1
点评:
本题考查数列的递推公式,通项公式.考查转化构造,推理论证,运算求解能力.
2.(2010•门头沟区一模)若数列{an}(n∈N*)满足:
(1)an≥0;
(2)an﹣2an+1+an+2≥0;
(3)a1+a2+…+an≤1,则称数列{an}为“和谐”数列.
(Ⅰ)验证数列{an},{bn},其中,是否为“和谐”数列;
(Ⅱ)若数列{an}为“和谐”数列,证明:
.
考点:
归纳推理;数列的应用;反证法.4216428
专题:
证明题.
分析:
本题考查的是演绎推理,要判断一个数列是否是“和谐”数列,关键是要看这个数列是否符号“和谐”数列的定义.
(1)中要判断数列{an}(或{bn})是否为和谐数列,则要判断①an≥0(或bn≥0)②an﹣2an+1+an+2≥0(或bn﹣2bn+1+bn+2≥0)③a1+a2+…+an≤1(或b1+b2+…+bn≤1)三个条件,如果全部符合,则为“和谐数列”对于
(2)直接证明有难度,可以使用反证法来证明,即若若an﹣an+1≥0不恒成立,则数列{an}不为“和谐”数列,这与已知相矛盾,从而得到结论恒成立.
解答:
解:
(Ⅰ)数列{an}为“和谐”数列;数列{bn}不是“和谐”数列.
数列{an}显然符合
(1)
因为所以符合
(2)
因为,所以符合(3)
所以数列{an}为“和谐”数列.
对于数列{bn},有bn>0,
所以数列{bn}不满足(3),因此数列{bn}不是“和谐”数列.
(Ⅱ)反证法:
若an﹣an+1≥0不恒成立,即存在自然数k,ak﹣ak+1<0,ak+1>ak,
由
(2)可知,ak+2﹣ak+1≥ak+1﹣ak>0,得ak+2>ak+1,
依此类推当n≥k时,{an}递增,与对任意n,与a1+a2++an≤1矛盾,
所以an﹣an+1≥0
构造数列{bn},令bn=an﹣an+1
由
(2)可知an﹣an+1≥an+1﹣an+2,∴bn≥bn+1,a1+a2++an=a1+(﹣a2+2a2)+(﹣2a3+3a3)++[﹣(n﹣1)an+nan]≥a1+(﹣a2+2a2)+(﹣2a3+3a3)++[﹣(n﹣1)an+nan]﹣nan+1
=(a1﹣a2)+2(a2﹣a3)++n(an﹣an+1)=b1+2b2++nbn≥(1+2++n)bn
=,
由(3)知
得:
即:
,所以
点评:
演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.当我们从正面证明一个结
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