线索二叉树算法设计与实现Word文档格式.docx

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树的度：

整个树结构中拥有最大的节点数，在图1中，A节点拥有的节点数为3，B节点、C节点、D节点拥有的节点数分别为3,1,2，因此整个树结构拥有最有的节点数为3，所以树的度是3。

叶子节点：

在整个树结构中最底层的节点称为叶子节点，树形结构和现实中的树表示是相反的，树形结构中将最上层的节点成为根节点，最底层的节点称为叶子节点，连接根节点和叶子节点的其他节点成为中间节点。

图一中，A节点就是树形结构的根节点，E、F、G、H、J、I节点就是树形结构的叶子节点，B、C、D节点就是连接根节点和叶子节点的中间节点也被称为中间节点。

父节点和子节点：

在树形结构中，认为一个节点的前驱节点认为是该节点的父节点，节点的后继认为是该节点的子节点。

图1：

以B节点为例，B节点的前驱节点是A节点，因此认为A节点是B节点的父节点，B节点的后继节点有E、F、G节点，因此E、F、G节点是B节点的子节点。

堂兄弟：

不同的节点有着同一个父节点那么这些节点就被成为是堂兄弟。

图1中，B,C,D节点共有一个父节点，因此B,C,D节点之间的关系被称为堂兄弟[5]。

树的层次和深度：

树的层次在一般情况下和树的深度是相等的，将只有根节点的树形结构的层次和深度认为是1，如果根节点拥有一个或者多个子节点，这些子节点都没有后继节点，那么此时树形结构的层次和深度就是2。

每一个子节点的层次都是其父节点的层次加1。

计算树的层次和深度时就是从根节点到叶子节点所有的节点数。

图1所示的树形结构，树的层次和深度就是3[6]。

第3章传统线索二叉树和新线索二叉树的区别3.1传统二叉树二叉树的树形结构和经典的树形结构有所区别，经典的树形结构同一个节点可以有多个子节点，但是二叉树的树形结构中，一个节点最多只有两个字节点，并且这些子节点的叫法为左子节点、右子节点，如果字节只有一个子节点时，子节点被默认为左子节点。

二叉树的树形结构如图3.1.1：

图3.1.1二叉树的树形结构图3.1.1thetreestructureofabinarytree先序遍历、中序遍历、后序遍历这种三种遍历方式是二叉树的主要遍历方式。

先序遍历的遍历思想：

先序遍历首选访问的是树形结构的根节点，然后访问根节点的左子节点，继续访问根节点的左子节点的左子节点，当全部的左子节点访问完毕之后，然后访问最后一个左子节点的堂兄弟右子节点，依次访问直到所有的节点访问完成。

中序遍历法：

找到根节点的最底层的左子节点，从最底层的左子节点开始访问，然后访问这个左子节点的父节点，再访问父节点的右节点，再访问父节点的父节点，再访问父节点的父节点的右子节点，依次访问，直到树形结构的所有节点访问完毕。

后续遍历法：

先找到根节点，根据根节点找到左子叶节点，访问根节点的左子叶节点。

然后访问左子叶节点的堂兄弟右子叶节点，最后访问左子叶节点和右子叶节点的父节点。

根据这个规律二叉树存在的所有节点都访问完毕。

3.2优化的线索二叉树通过传统二叉树数据结构可以发现，在一些节点处没有办法准确找出每一个节点的前驱和后继线索。

如果找不到当前节点的线索时，需要再次遍历整个二叉树才能找出该节点的线索，因为传统二叉树的数据结构中存放的线索不连续，很多地方存在断开的情况[7]。

为了更好地处理这种现象，本文重新定义了二叉树的数据结构。

其数据结构如下：

LchildLTagDataRTagrchild本文设计的数据结构大致和传统的二叉树结构相同，只是在数据结构中新添加了一个栈，这个数据变量用来存储该节点的线索，也就是说用来指向和存储节点的前驱和后继。

这种数据结构在遍历时能够确保线索的连贯性，不比为了寻找出当前节点的前驱和后继而重新遍历整个二叉树。

这种改进的基本思想为：

先序遍历：

将栈引入，当前节点赋值为根节点，当节点不为空时，将该节点入栈，然后指向左子，入栈。

直到左子为空，当前栈顶出栈，找他的右子，右子为空则继续出栈，当有右子时，右子入栈，找右子的左子，一直到为空[8]。

如图3.2开始当前节点赋值为根节点节点是否为空？

结束指向左子树指向它的右子树打印并入栈否找左子树，取栈顶取出左子树是否为空？

是是否图3.2线索二叉树的先序遍历流程图图3.2apreordertraversalflowchartofacluebinarytree当然在实际运用中，构造的线索二叉树并不一定完全是好的，因此采用这种数据结构还有一定的缺陷，这种数据结构在主函数中较为繁琐，必须理清节点与节点之间的关系，防止出现意外的访问导致算法出现不可预知的错误。

本文所设计的线索二叉树数据结构和传统的线索二叉树数据结构同时运用到平衡二叉树时，本文设计的线索二叉树数据结构还是占有一定的优势，即使本文所设计的线索二叉树数据结构遍历时需要判断当前节点是否为右子节点，如果是右子节点，栈中则不需要存放后继的数据线索，如果当前节点为左子节点时，则需要判断是否存在兄弟右子节点，如果不存在右子节点则出栈，如果当前节点存在兄弟右子节点，栈中则需要存放右子节点的线索，虽然本文设计的数据结构在二叉树构建时需要判断的情况较多，但是在采用遍历法遍历线索二叉树的效率却比传统的线索二叉树结构效率要高[9]。

3.3分析与比较本文所设计的二叉树结构和传统的二叉树结构相比，传统二叉树的数据结构的访问顺序如图3.3.1:

图3.3.1传统二叉树结构的先序线索指向图3.3.1preordercluesoftraditionalbinarytreestructure图3.3.1中实线箭头部分代表线索二叉树中的后继线索，虚线箭头部分代表线索二叉树中的前趋线索。

采用本文所设计内容线索之间的联系为图3.1.2:

图3.1.2优化二叉树数据结构线索指向图3.1.2optimizationofbinarytreedatastructureclues图中的实线箭头部分代表的是线索二叉树的后继线索，虚线箭头部分代表的线索的前驱线索。

判断一个算法的两个标准是时间复杂度和空间复杂度，这里将两种算法在平衡的线索二叉树进行两种标准的比较，非平衡二叉树不可控因素较多，并且不好计算其两种算法格子所需的时间复杂度[10]。

时间复杂度的定义时间复杂度是衡量算法效率的重要指标。

时间复杂度本质是指算法完成所需的时间。

但是因为计算机硬件设计有所差异，因此会造成同一算法在不同的计算机硬件上所需的时间不一致。

这样就无法直接通过算法完成所需的时间判断算法的时间复杂度。

为了统一标准，规定算法的相同单元所需的时间认为是一样的，只需要计算该单元被调用的次数，从而计算出算法的时间复杂度[11]。

时间复杂度本文研究的线索二叉树是平衡二叉树，因此不管使用传统二叉树的数据结果或者本文设计的二叉树在执行遍历、插入或者删除等操作时，所需的时间复杂度都是相同的。

而且其时间复杂度和平衡二叉树的时间复杂度相等。

二叉树处于平衡状态时，一般只有两种情况，一种是二叉树是空树，一种是二叉树由根节点下的左右子节点为基础构建的子树为平衡二叉树。

而且二叉树的左右子树的高度差的绝对值一般都保持在1以下，因此平衡二叉树的时间复杂度为O（log2n），而本文设计的线索二叉树数据结构和传统二叉树数据结构的数据类型都是在平衡二叉树的基础上，因此他们的时间复杂度和平衡二叉树的时间复杂度一致都为O（long2n）[12]。

空间复杂度的定义空间复杂度是衡量一个算法在执行过程中所需的临时空间的大小的量度，记做S（n）=O（f（n））。

一个算法所需要占用的存储空间主要分为三个部分：

1、程序本身所需要的存储空间；

2、算法输入输出变量所需要的存储空间；

3、运行代码时所需的存储空间。

算法的输入输出变量所需要的存储空间是由要解决的问题所决定的，跟算法几乎没有关系。

算法所需的存储空间是有算法的实现所决定的，因此要想减少存储代码所需的空间，在编码代码时需要注意代码的长度，使用简洁的代码可以有效的减少存储算法所需的空间[13]。

空间复杂度的计算计算算法所需的空间复杂度时，通常只需要计算算法运行时占用的空间，如采用递归调用，算法运行时所需的存储空间为算法的调用次数*算法第一次所需要的存储空间[14]。

当采用非递归调用时，则需要根据算法的实际情况计算。

线索二叉树的所有操作能使用递归的方式调用，因此我们在计算本文设计的线索二叉树数据结构和传统的线索二叉树数据结构时，只需要对比第一次所需要开辟的数据空间。

假设传统的二叉树数据结构所需的数据空间为n，因为本文设计的二叉树数据结构在传统的二叉树数据结构上新增了一个数据空间，因此其所需的数据空间为（n+1）。

对比两种算法的空间复杂度，本文设计的二叉树结构要比传统的二叉树在空间复杂度要略差一下。

通过对比两种算法的时间复杂度和空间复杂度，两种算法的差别并不大，但是本文设计的线索二叉树弥补了传统线索二叉树在线索上不连续的现象。

建立线索二叉树的主要目的是为了将遍历二叉树时的递归算法变为迭代算法，从而降低算法在运行过程中对系统资源的占用。

3.4线索二叉树的实用性本文中的优化线索二叉树利用了栈来进行线索二叉树的调用，大大简略了算法的复杂性，使线索二叉树的使用变的方便快捷。

虽然节省系统资源上没有达到目的，但是线索二叉树却在一些地方比使用传统的二叉树的效率要高。

比如路由器使用CIDR选择消息转发或者下一跳时，需要进行信息匹配时，采用线索二叉树能够极大的提高效率。

第4章线索二叉树设计4.1数据结构设计本文设计的线索二叉树设计如下：

传统的线索二叉树数据结构设计如下：

typedefstructoldlist{intLTag;

char*data;

intRTag;

structoldlist*Lchild;

structoldlist*Rchild;

};

typedefstructTreeNode{intdata;

structTreeNode*LeftChild;

structTreeNode*RightChild;

}TreeNode;

typedefstructMyStack{TreeNode*a[100];

inttop;

}MyStack;

设计思想，二叉树在构建上和线性列表不同，因此本文用结构的形式代表一个二叉树节点，根据结构体数据空间的算法占用的数据空间大小为24字节，比传统二叉树占用的空间多4个字节。

传统二叉树使用后序遍历方式时，左子节点中没有直接存储当前节点的后序，之后先返回该节点的父节点然后再找出左子叶节点的后继线索[15]。

为了弥补这一缺点，本文所设计的数据结构新增了一个兄弟的数据变量，从而让每一个节点的线索都是连续的。

结构体中每个变量的取值范围和定义：

Lchild和Rchild这部分区域内所存放的数据内容是受到LTag和RTag的取值所决定的：

当LTag的取值为0时，Lchild内存储的数据内容为当前节点的左孩子；

如果LTag的取值为1时，Lchild内存储的数据内容为当前节点的前趋，当RTag的取值为0时，rchild内所存储的类型为该节点的右子节点，如果RTag的取值等于1时，Rchild内所存贮的数据内容为该节点的后继。

Top指针用来指向栈中栈顶的位置。

4.2线索二叉树的创建模块4.2.1线索二叉树代码实现Bitree*crt_bt_pre（bitree*bt）{Charch;

Ch=getchar（）;

If（ch==‘＃’）Bt=null;

Else{Bt=（bitree*）malloc（sizeof（bitree））;

Bt->

data=c;

lchild=crt_bt_pre（bt->

lchild）;

rchild=crt_bt_pre（bt->

rchild）;

}Return（bt）;

}4.3线索二叉树的三种遍历#include#includetypedefstructTreeNode{intdata;

voidinitTreeNode（TreeNode*t,intval,TreeNode*leftNode,TreeNode*rightNode）{t->

data=val;

t->

LeftChild=leftNode;

RightChild=rightNode;

}typedefstructMyStack{TreeNode*a[100];

voidinitMyStack（MyStack*ms）{ms->

top=0;

}voidpush（MyStack*ms,TreeNode*n）{ms->

a[ms->

top]=n;

ms->

top++;

}intisEmpty（MyStack*ms）{if（ms->

top==0）{return1;

}else{return0;

}}TreeNode*pop（MyStack*ms）{if（isEmpty（ms））returnNULL;

else{ms->

top--;

returnms->

top];

}}TreeNode*top（MyStack*ms）{if（isEmpty（ms））returnNULL;

top-1];

}voidPreOrder（TreeNode*root）/*非递归前序遍历*/{TreeNode*temp;

MyStack*s=（MyStack*）malloc（sizeof（MyStack））;

initMyStack（s）;

temp=root;

/*当前节点赋值为根节点*/while（temp!

=NULL||!

isEmpty（s））{while（temp!

=NULL）{printf（“%d|“,temp->

data）;

/*当前节点不为空，说明是最上面的节点，那直接打印。

*/push（s,temp）;

/*将该节点入栈*/temp=temp->

LeftChild;

/*指向左子*/}/*直接打印了左子后，入栈，又指向左子的子，直到为空*/if（!

isEmpty（s））/*当没有左子后，栈顶为最后打印出来的左子*/{temp=pop（s）;

/*取出该左子*/temp=temp->

RightChild;

/*找它的右子，没有则还为空，那么不进入上面的while，将继续本操作，直到指向了右子。

*/}/*打印右子，右子入栈，找右子有没有左子，没有，那么再次进入if判断，并继续取出栈顶。

*/}}voidInOrder（TreeNode*root）/*非递归中序遍历*/{TreeNode*temp=root;

push（s,temp）;

temp=root->

/*和先序类似，他先指向左子*/while（temp!

=NULL）{push（s,temp）;

/*左子不为空那么入栈，继续找左子，直到没有左子*/temp=temp->

}temp=pop（s）;

/*这时打印栈顶，即为最下层的左子*/printf（“%d|“,temp->

temp=temp->

/*找右子，没有右子还将继续取栈顶，直到有了右子，那么在进行入栈操作。

*/}}voidPostOrder（TreeNode*root）//非递归后序遍历{TreeNode*temp=root;

intTag[20];

/*栈操作依然类似，但是要比先序和中序多一步，要有标记*/MyStack*s=（MyStack*）malloc（sizeof（MyStack））;

while（temp!

Tag[s->

top]=0;

/*当前栈顶标记为没有打印，只做了入栈*/temp=temp->

/*指向左子，继续入栈，直到没有左子*/}while（!

isEmpty（s）&

&

top]==1）/*如果发现栈顶的标记为1了，那么就取出栈顶，并打印。

*/{temp=pop（s）;

printf（“%d|“,temp->

}if（!

isEmpty（s））/*没有左子后，光标定位到栈顶，看栈顶有没有右子，并将栈顶的标记为1，准备打印*/{Tag[s->

top]=1;

temp=top（s）;

}else{break;

}}}intmain（）{structTreeNode*rootNode=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

structTreeNode*node1=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

structTreeNode*node2=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

structTreeNode*node3=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

structTreeNode*node4=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

structTreeNode*node5=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

structTreeNode*node6=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

structTreeNode*node7=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

structTreeNode*node8=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

structTreeNode*node9=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

structTreeNode*node10=（TreeNode*）malloc（sizeof（TreeNode））;

initTreeNode（rootNode,0,node1,node2）;

initTreeNode（node1,1,node3,node4）;

initTreeNode（node2,2,node5,node6）;

initTreeNode（node3,3,node7,node8）;

initTreeNode（node4,4,node9,node10）;

initTreeNode（node5,5,NULL,NULL）;

initTreeNode（node6,6,NULL,NULL）;

initTreeNode（node7,7,NULL,NULL）;

initTreeNode（node8,8,NULL,NULL）;

initTreeNode（node9,9,NULL,NULL）;

initTreeNode（node10,10,NULL,NULL）;

printf（“原始数据：

0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|＼n“）;

printf（“＼n先序输出：

“）;

PreOrder（rootNode）;

printf（“＼n中序输出：

InOrder（rootNode）;

printf（“＼n后序输出：

PostOrder（rootNode）;

getchar（）;

}4.4遍历结果显示图4.4.1构建的线索二叉树图4.4.1constructthebinarytree对于构造的如图4.4.1的线索二叉树的遍历结果如下图4.4.2所示：

图4.4.2遍历结果图4.4.2iteratethroughtheresult4.5线索二叉树的插入模块4.5.1线索二叉树的插入模块的设计思想线索二叉树的插入模块中，假设需要插入的节点为P，需要插入在节点s下面：

节点P要成为节点S的右孩子首先需要判断节点S的右孩子是否为空，如果为空则可以将节点P插入到节点S下面，将S的右孩子节点置位P，其余线索不会发生变化，此时右子节点的插入完成[16]。

如果节点S的右孩子不为空，表示节点P不在成为节点S的右孩子。

只能一次遍历节点S的右孩子，直到有节点的右孩子为空，才能完成插入动作。

节点P要成为节点S的左孩子需要先判断节点S的左孩子是否为空，如果为空，则可以将节点P插入到节点S的左孩子中。

此时节点S还没有右孩子，所以节点P的后继线索为节点S，节点P是节点S的前驱线索，只需要将节点P的线索添加到节点S的左孩子中，其余线索不变，此时左子节点的插入完成[17]。

4.5.2线索二叉树的插入模块的代码实现voidinitTreeNode（TreeNode*t,intval,TreeNode*leftNode,TreeNode*rightNode）{t->

}4.5.3线索二叉树的插入模块的结果图4.5.3插入模块的结果图4.5.3theresultofinsertingamodule4.6线索二叉树的删除模块4.6.1线索二叉树删除模块的设计思想删除线索二叉树时，需要考虑一下几种情况，分别为删除的节点为叶节点还是中间节点亦或者是根节点。

当删除的节点为叶节点时，需要判断删除的节点是否为右节点，如果当前的节点为右节点需要将该父节点的右孩子节点的变量置为空，其余线索不需要进行更改将节点删除[18]。

当删除的叶节点为左节点时，可以将该父节点的左孩子置为空，然后直接将节点删除。

4.6.2线索二叉树删除模块的代码实现voidRemoveTreeNode（TreeNode*t,intflag）{if（1==flag）{t->

LeftC