《振动力学》习题集含答案docx文档格式.docx
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kAk
a
C
R
如图,令为柱体的转角,则系统的动能和势能分别为:
1IB
mR2
1mR223mR22
U21k
Ra
kRa22
利用
和T
U
可得:
4kR
4k
n3mR2R3m
转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1,k2和k3的轴约束,如图所示。
求系
统的固有频率。
J
k1k2
T1J2
k2和k3相当于串联,则有:
k3
23,k22k33
以上两式联立可得:
k2
1k1
21k222
1k332
k1k2k3
k2k32
n和T
k2k3k1
Jk2
在图所示的系统中,已知kii1,2,3,m,a和b,横杆质量不计。
求固有频率。
x1
k1
k2
F1
b
mg
ab
ax0b
x2
x
F2
答案图
对m进行受力分析可得:
mgk3x3
,即x3
如图可得:
mgb
mga
abk2
abk1
ax2
a2k1
b2k2
x0x1
xx1
ab2k1k2
xx0
x3
k0
则等效弹簧刚度为:
k1k2k3
ke
2k1k3b2k2k3
abk1k2
则固有频率为:
k1k2k3ab2
mk1k2ab2
k3k1a2
k2b2
质量m1在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2,如图所示。
确定
系统由此产生的自由振动。
x12
m2
h
k
x0
图答案图
对m1由能量守恒可得(其中v1的方向为沿斜面向下):
m1gh1m1v12,即v12gh
对整个系统由动量守恒可得:
m1v1
m2v0,即v0
2gh
令m2引起的静变形为x2,则有:
m2gsin
kx2,即x2
令m1+m2引起的静变形为
x12,同理有:
得:
m1gsin
则系统的自由振动可表示为:
xx0cosntx0sinnt
其中系统的固有频率为:
m1m2
注意到v0与x方向相反,得系统的自由振动为:
xx0cosntv0sinnt
质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统,如图所示。
以杆偏角
为广义坐标,建立系统的动力学方程,给出存在自由振动的条件。
若在弹簧原长处立即释手,
问杆的最大振幅是多少发生在何时最大角速度是多少发生在何时是否在过静平衡位置时
O
c
kacl
利用动量矩定理得:
kaacll,
1ml2
ml2
3cl2
3ka2
0,
3ka2
3cl
n,
3c
2a
mk
2m
mgl
k0aa,
mgl
2ka2
面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端,在粘性流体中振动,如图所示。
作用于
薄板的阻尼力为Fd2Sv,2S为薄板总面积,v为速度。
若测得薄板无阻尼自由振动的
周期为T0,在粘性流体中自由振动的周期为Td。
求系数。
平面在液体中上下振动时:
mx2Sxkx0
,
dn1
22
T0
Td
2S
S,
2S2
mn
2k2S2
2k
2S2
2m
Td2
T02
ST0Td
图所示系统中,已知
,k2,F0和。
求系统动力学方程和稳态响应。
mc
c2
mx
k2x
c2x
c1
k1xx1
c1xx1
答案图(a)
答案图(b)
等价于分别为x1和x2的响应之和。
先考虑x1,此时右端固结,系统等价为图(a),受
力为图(b),故:
mxk1
k2xc1
c2xk1xc1x
mxcx
kx
k1A1sin
c1A11cos
1t
(1)
cc1
c2,kk1
,n
(1)的解可参照释义(),为:
k1A1
sin1t
c1A11
cos1t
(2)
Yt
1s
2s
其中:
s
,1
tg1
s2
12s
c21
1s2
故
(2)为:
k1A1sin
c1A1
1cos
xt
A1
sin
1t1
22
tg12s
tg1c1k1k2
12m
12m
tg
1c1
考虑到x2t
的影响,则叠加后的
为:
Ai
ki
ci
i
1cii
it
i1
im
c1c2
mi
一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动,如图T2-1所示。
已知,30,m=1kg,
k=49N/cm,开始运动时弹簧无伸长,速度为零,求系统的运动规律。
mx
图T2-1答案图T2-1
mgsin
9.8
mgsin
kx0,x0
0.1cm
49
102
70rad/s
xx0cos
nt
0.1cos70tcm
如图T2-2所示,重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置,另一重物W2从
高度为h处自由下落到W1上而无弹跳。
求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
x1
x12
平衡位置
图T2-2答案图T2-2
W2h1W2v22,v22gh
2g
动量守恒:
W2v2
W1W2v12,v12
W2
W1W2
平衡位置:
故:
在图所示系统中,已知
求物块运动规律。
F0sint
W1
kx1
,x1
kx12
,x12
kg
W2g
cos
v12
nt
m,k1,k2,F0和,初始时物块静止且两弹簧均为原长。
x2k1x1k2x2x1k2x2x1
mx2
取坐标轴x1和x2,对连接点A列平衡方程:
k1x1k2x2x1F0sint0
即:
k1k2x1k2x2F0sint
对m列运动微分方程:
mx2k2x2x1
mx2k2x2k2x1
由
(1),
(2)消去x1得:
k1k2x2
F0k2sint
(3)
2k1k2
由(3)得:
mk1k2
t
F0k2
2sint
sinnt
mk1
k2n
F0
和
,且t=0时,x
x0,x
v0,求系统响应。
验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。
kF0cost
e
0t
Ccos
dt
Dsin
Acos
A
x0
Acos
x0Acos
0e
0tCcos
dsin
dt
DdcosdtA
x0v0
0C
D
v0
Asin
d
求出C,D后,代入上面第一个方程即可得。
由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支
承上,如图所示。
当齿轮转动角速度为时,偏心质量惯性力在垂直方向大小为
me
2sin
。
已知偏心重
W=
N,偏心距
=15.0
cm,支承弹簧总刚度系数
=
N/cm,
测得垂直方向共振振幅
Xm
1.07cm
,远离共振时垂直振幅趋近常值
X0
0.32cm。
求支
承阻尼器的阻尼比及在
300r
min
运行时机器的垂直振幅。
me2sint
1me2
sint,
M
s2s
s=1时共振,振幅为:
X1
远离共振点时,振幅为:
X20.32cm
(2)
由
(2)M
X2
由
(1)
me1
me1
0.15
M2X1
meX22X1
2X1
300rmin,0
,s
X
3.8103m
求图T2-7中系统的固有频率,悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3,悬臂梁的质量忽略
不计。
k3
k2k2
无质量
k4
k4
图T2-7答案图T2-7
k1和k2为串联,等效刚度为:
k12
k1k2
(因为总变形为求和)
k12和k3为并联(因为
的变形等于k3的变形),则:
k123
k1k3
k2k3
k123和k4为串联(因为总变形为求和)
,故:
k123k4
k1k2k4
k1k3k4
k2k3k4
k1k3
k1k4
k2k4
如图T2-9所示,一质量m连接在一刚性杆上,杆的质量忽略不计,求下列情况系统
作垂直振动的固有频率:
(1)振动过程中杆被约束保持水平位置;
(2)杆可以在铅锤平面内微幅转动;
(3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高,并说明理由。
l1
l2
l2
l1
k1
l1l2
图T2-9答案图T2-9
(1)保持水平位置:
(2)微幅转动:
x1l1
l2mg
l2k1
l2k2
l1k1
l2k2mg
l2k1k2
l2k2l1
l12k1
l1l2k2mg
2k1k2
l22k2mg
l12k1
l22k2
求图T2-10所示系统的固有频率,刚性杆的质量忽略不计。
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