货币的时间价值Word格式.docx

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另一方面，是计算未来时点上一定数额的资金，相当于现在多少数额的资金，这是计算现值问题。

资金时间价值的计算有两种方法：

一是只就本金计算利息的单利法；

二是不仅本金要计算利息，利息也能生利，即俗称“利上加利”的复利法。

相比较而言，复利法更能确切地反映本金及其增值部分的时间价值。

计算货币时间价值量，首先引入“现值”和“终值”两个概念表示不同时期的货币时间价值。

现值，又称本金，是指资金现在的价值。

终值，又称本利和，是指资金经过若干时期后包括本金和时间价值在内的未来价值。

通常有单利终值与现值、复利终值与现值、年金终值与现值。

（一）单利终值与现值

单利是指只对借贷的原始金额或本金支付（收取）的利息。

我国银行一般是按照单利计算利息的。

在单利计算中，设定以下符号：

P──本金（现值）；

i──利率；

I──利息；

F──本利和（终值）；

t──时间。

1.单利终值。

单利终值是本金与未来利息之和。

其计算公式为：

F＝P＋I＝P＋P×

i×

t＝P（1+i×

t）

例：

将100元存入银行，利率假设为10%，一年后、两年后、三年后的终值是多少？

（单利计算）

一年后：

100×

（1+10%）＝110（元）

两年后：

（1+10%×

2）＝120（元）

三年后：

3）＝130（元）

2.单利现值。

单利现值是资金现在的价值。

单利现值的计算就是确定未来终值的现在价值。

例如公司商业票据的贴现。

商业票据贴现时，银行按一定利率从票据的到期值中扣除自借款日至票据到期日的应计利息，将余款支付给持票人。

贴现时使用的利率称为贴现率，计算出的利息称为贴现息，扣除贴现息后的余额称为贴现值即现值。

单利现值的计算公式为：

P＝F－I＝F－F×

t＝F×

（1－i×

假设银行存款利率为10%，为三年后获得20000现金，某人现在应存入银行多少钱？

P＝20000×

（1－10%×

3）＝14000（元）

（二）复利终值与现值

复利，就是不仅本金要计算利息，本金所生的利息在下期也要加入本金一起计算利息，即通常所说的“利滚利”。

在复利的计算中，设定以下符号：

F──复利终值；

P──复利现值；

n──期数。

1．复利终值

复利终值是指一定数量的本金在一定的利率下按照复利的方法计算出的若干时期以后的本金和利息。

例如公司将一笔资金P存入银行，年利率为i，如果每年计息一次，则n年后的本利和就是复利终值。

如图1。

F=？

012n－1n

P

图1复利终值示意图

如图1所示，一年后的终值为：

F1＝P+P×

i＝P×

（1+i）

两年后的终值为：

F2＝F1+F1×

i＝F1×

（1+i）＝P×

（1+i）（1+i）＝P×

（1+i）2

┇

由此可以推出n年后复利终值的计算公式为：

F＝P×

（1+i）n

（复利计算）

（1+10%）2＝121（元）

（1+10%）3＝133.1（元）

复利终值公式中，（1+i）n称为复利终值系数，用符号（F/P，i，n）表示。

例如（F/P，8%，5），表示利率为8%、5期的复利终值系数。

复利终值系数可以通过查“复利终值系数表”（见教材附表）获得。

通过复利系数表，还可以在已知F，i的情况下查出n；

或在已知F，n的情况下查出i。

2．复利现值

复利现值是指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值。

即为取得未来一定本利和现在所需要的本金。

例如，将n年后的一笔资金F，按年利率i折算为现在的价值，这就是复利现值。

如图2。

F

012n－1n

P=？

图2复利现值示意图

由终值求现值，称为折现，折算时使用的利率称为折现率。

复利现值的计算公式为：

例：

A钢铁公司计划4年后进行技术改造，需要资金120万元，当银行利率为5%时，公司现在应存入银行的资金为：

P＝F×

（1+i）-n＝1200000×

（1+5%）-4＝1200000×

0.8227

＝987240（元）

公式中（1+i）-n称为复利现值系数，用符号（P/F，i，n）表示。

例如（P/F，5%，4），表示利率为5%，4期的复利现值系数。

与复利终值系数表相似，通过现值系数表在已知i，n的情况下查出P；

或在已知P，i的情况下查出n；

或在已知P，n的情况下查出i。

（三）年金终值与现值

年金是指一定时期内一系列相等金额的收付款项。

如分期付款赊购，分期偿还贷款、发放养老金、支付租金、提取折旧等都属于年金收付形式。

按照收付的次数和支付的时间划分，年金可以分为普通年金、先付年金、递延年金和永续年金。

在年金的计算中，设定以下符号：

A──每年收付的金额；

F──年金终值；

P──年金现值；

1．普通年金

普通年金是指每期期末有等额的收付款项的年金，又称后付年金。

如图3所示。

01234

100100100100

图3普通年金示意图

图3，横轴代表时间，用数字标出各期的顺序号，竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额。

上图表示4期内每年100元的普通年金。

（1）普通年金的终值

普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。

例如，按图3的数据，假如i＝6%，第四期期末的普通年金终值的计算见图4。

01234

100×

（1＋6%）0=100×

1=100

100×

（1＋6%）1＝100×

1.06=106

100×

（1＋6%）2＝100×

1.1236=112.36

（1＋6%）3＝100×

1.191=119.10

4.3746=437.46

图4普通年金终值计算示意图

从4图可知，第一期期末的100元，有3个计息期，其复利终值为119.1元；

第二期期末的100元，有2个计息期，其复利终值为112.36元；

第三期期末的100元，有1个计息期，其复利终值为106元；

而第四期期末的100元，没有利息，其终值仍为100元。

将以上四项加总得437.46元，即为整个的年金终值。

从以上的计算可以看出，通过复利终值计算年金终值比较复杂，但存在一定的规律性，由此可以推导出普通年金终值的计算公式。

根据复利终值的方法计算年金终值F的公式为：

等式两边同乘（1+i），则有：

公式

（2）－公式

（1）：

公式中，通常称为“年金终值系数”，用符号（F/A，i，n）表示。

年金终值系数可以通过查“年金终值系数表”获得。

该表的第一行是利率i，第一列是计息期数n。

相应的年金系数在其纵横交叉之处。

例如，可以通过查表获得（F/A，6%，4）的年金终值系数为4.3746，即每年年末收付1元，按年利率为6%计算，到第4年年末，其年金终值为4.3746元。

某公司每年在银行存入4000元，计划在10年后更新设备，银行存款利率5%，到第10年末公司能筹集的资金总额是多少？

在年金终值的一般公式中有四个变量F，A，i，n，已知其中的任意三个变量都可以计算出第四个变量。

某公司计划在8年后改造厂房，预计需要400万元，假设银行存款利率为4%，该公司在这8年中每年年末要存入多少万元才能满足改造厂房的资金需要？

该公司在银行存款利率为4%时，每年年末存入43.41万元，8年后可以获得400万元用于改造厂房。

（2）普通年金的现值

普通年金现值是指一定时期内每期期末收付款项的复利现值之和。

例如，按图3的数据，假如i＝6%，其普通年金现值的计算如图5。

01234

（1＋6%）-1＝94.34

（1＋6%）-2＝89

（1＋6%）-3＝83.96

（1＋6%）-4＝79.21

346.51

图5普通年金现值计算示意图

从图5可知，第一期期末的100元到第一期初，经历了1个计息期，其复利现值为94.34元；

第二期期末的100元到第一期初，经历了2个计息期，其复利现值为89元；

第三期期末的100元到第一期初，经历了3个计息期，其复利现值为83.96元；

第四期期末的100元到第一期初，经历了4个计息期，其复利现值为79.21元。

将以上四项加总得346.51元，即为四期的年金现值。

从以上计算可以看出，通过复利现值计算年金现值比较复杂，但存在一定的规律性，由此可以推导出普通年金终值的计算公式。

根据复利现值的方法计算年金现值P的计算公式为：

等式两边同乘（1+i），则有：

公式中，通常称为“年金现值系数”，用符号（P/A，i，n）表示。

年金现值系数可以通过查“年金现值系数表”获得。

相应的年金现值系数在其纵横交叉之处。

例如，可以通过查表获得（P/A，6%，4）的年金现值系数为3.4651，即每年末收付1元，按年利率为6%计算，其年金现值为3.4651元。

某公司预计在8年中，从一名顾客处收取6000的汽车贷款还款，贷款利率为6%，该顾客借了多少资金，即这笔贷款的现值是多少？

在年金现值的一般公式中有四个变量P，A，i，n，已知其中的任意三个变量都可以计算出第四个变量。

2．先付年金

先付年金是指每期期初有等额的收付款项的年金，又称预付年金。

如图6所示。

01234

100100100100

图6先付年金示意图

图6，横轴代表时间，用数字标出各期的顺序号，竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额。

上图表示4期内每年100元的先付年金。

（1）先付年金的终值

先付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利终值之和。

例如，按图6的数据，假如i＝6%，第4期期末的年金终值的计算见图7。

01234

100×

（1＋6%）=100×

100×

（1＋6%）4＝100×

1.2625=126.25

4.6371=463.71

图7先付年金终值计算示意图

从图7可知，第一期期初的100元，有4个计息期，其复利终值为126.25元；

第二期期初的100元，有3个计息期，其复利终值为119.1元；

第三期期初的100元，有2个计息期，其复利终值为112.36元；

而第四期期初的100元，有1个计息期，其复利终值为106元。

将以上四项加总得463.71元，即为整个的先付年金终值。

从以上的计算可以看出，先付年金与普通年金的付款期数相同，但由于其付款时间的不同，先付年金终值比普通年金终值多计算一期利息。

因此，可在普通年金终值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的终值。

先付年金的终值F的计算公式为：

公式中常称为“先付年金终值系数”，它是在普通年金终值系数的基础上，期数加1，系数减1求得的，可表示为［（F/A，i，n+1）－1］，可通过查“普通年金终值系数表”，得（n+1）期的值，然后减去1可得对应的先付年金终值系数的值。

例如［（F/A，6%，4+1）－1］，（F/A，6%，4+1）的值为5.6371，再减去1，得先付年金终值系数为4.6371。

某公司租赁写字楼，每年年初支付租金5000元，年利率为8%，该公司计划租赁12年，需支付的租金为多少？

或：

F＝A×

［（F/A，i，n+1）－1］

＝5000×

［（F/A，8%，12+1）－1］

查“年金终值系数表”得：

（F/A，8%，12+1）＝21.495

F＝5000×

（21.495－1）＝102475（元）

（2）先付年金的现值

先付年金现值是指一定时期内每期期初收付款项的复利现值之和。

例如，按图6的数据，假如i＝6%，其先付年金现值的计算如图8。

01234

（1＋6%）0＝100

367.3

图8先付年金现值计算示意图

从图2—8可知，第一期期初的100元，没有计息期，其复利现值仍然为100元；

第二期期初的100元到第一期初，经历了1个计息期，其复利现值为94.34元；

第三期期初的100元到第一期初，经历了2个计息期，其复利现值为89元；

第四期期初的100元到第一期初，经历了3个计息期，其复利现值为83.96元。

将以上四项加总得367.3元，即为四期的先付年金现值。

从以上的计算可以看出，先付年金与普通年金的付款期数相同，但由于其付款时间的不同，先付年金现值比普通年金现值少折算一期利息。

因此，可在普通年金现值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的现值。

先付年金的现值P的计算公式为：

公式中，通常称为“先付年金现值系数”，

先付年金现值系数是在普通年金现值系数的基础上，期数减1，系数加1求得的，可表示为［（P/A，i，n－1）+1］，可通过查“年金先现值系数表”，得（n－1）期的值，然后加上1可得对应的先付年金现值系数的值。

例如［（P/A，6%，4－1）+1］，（P/A，6%，4－1）的值为2.673，再加上1，得先付年金现值系数为3.673。

某人分期付款购买住宅，每年年初支付6000元，20年还款期，假设银行借款利率为5%，该项分期付款如果现在一次性支付，需支付现金是多少？

或：

P＝A×

［（P/A，i，n－1）+1］

＝6000×

［（P/A，5%，20－1）+1］

查“年金现值系数表”得：

（P/A，5%，20－1）＝12.0853

P＝6000×

（12.0853+1）＝78511.8（元）

3、递延年金

递延年金是指第一次收付款发生时间是在第二期或者第二期以后的年金。

递延年金的收付形式如图9。

0123456

100100100100

图9递延年金示意图

从图9可以看出，递延年金是普通年金的特殊形式，第一期和第二期没有发生收付款项，一般用m表示递延期数，m＝2。

从第三期开始连续4期发生等额的收付款项，n＝4。

（1）延年金终值

递延年金终值的计算方法与普通年金终值的计算方法相似，其终值的大小与递延期限无关。

（2）递延年金现值

递延年金现值是自若干时期后开始每期款项的现值之和。

其现值计算方法有两种：

方法一，第一步把递延年金看作n期普通年金，计算出递延期末的现值；

第二步将已计算出的现值折现到第一期期初。

如图9所示数据，假设银行利率为6%，其递延年金现值为多少？

第一步，计算4期的普通年金现值。

第二步，已计算的普通年金现值，折现到第一期期初。

0123456

100100100100

308.39346.51

图10

方法二，第一步计算出（m+n）期的年金现值；

第二步，计算m期年金现值；

第三步，将计算出的（m+n）期扣除递延期m的年金现值，得出n期年金现值。

的计算步骤为：

0123456

183.34100100100100

491.73

308.39＝491.73－183.34

图11

1．永续年金

永续年金是指无限期支付的年金，如优先股股利。

由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。

永续年金可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。

其现值的计算公式可由普通年金现值公式推出。

永续年金现值P计算公式为：

在企业价值评估和企业并购确定目标企业价值时用到。

三、货币时间价值的应用

（一）不等额系列现金流量

01234

100200150300

图12不等额系列现金流量示意图

从图12中看出，每期的收入或付出是不等额的。

不等额现金流量的终值为各期终值之和；

其现值也是各期现值之和。

（一）不等额现金流量终值的计算

方法一，见图13计算。

01234

300×

（1＋5%）=300×

1.05=315

150×

（1＋5%）2＝150×

1.1025=165.38

200×

（1＋5%）3＝200×

1.1576=231.52

（1＋5%）4＝100×

1.2155=121.55

833.45（万元）

图13不等额系列现金流量终值计算示意图

01234

（1＋5%）0＝100

200×

（1＋5%）-1＝190.48

150×

（1＋5%）-2＝136.05

300×

（1＋5%）-3＝295.14

721.67（万元）

图14不等额现金流量现值计算示意图

（二）分段年金现金流量

在公司现金流入和流出中，某个时期现金流量保持在一个水平上，而过一时期又保持在另一水平上，通常称为分段年金现金流量。

其收入或付出形式如图2—13。

0123456

100100100200200200

图15分段年金现金流量示意图

终值的计算：

先计算前三年年金终值，然后将计算结果乘以三年期的复利终值系数；

再

计算后三年的年金终值，最后将二者加总。

现值的计算：

先计算前三年100元年金现值；

再计算后三年的年金现值。

（后三年的年

金现值是先计算后三年普通年金，再折现3年）；

最后将二者加总。

（三）年金和不等额系列现金流量

年金和不等额现金流量是指每次收入或付出的款项既有年金又有不等额的混合情况。

如下图所示:

0123456789

100100150180200200300300300

四、货币时间价值的特殊问题

（一）复利计息频数

复利计息频数是指利息在一年中复利多少次。

在前面的终值与现值的计算中，都是假定利息是每年支付一次的，因为在这样的假设下，最容易理解货币的时间价值。

但是在实际理财中，常出现计息期以半年、季度、月，甚至以天为期间的计息期，相应复利计息频数为每年2次、4次、12次、360次。

如贷款买房按月计息，计息为12个月。

如果给出年利率，则

计息期数和计息率均可按下列公式进行换算：

公式中，r为期利率，i为年利率，m为每年的计息次数，n为年数，t为换算后的计息期数。

其终值和现值的计算公式分别为：

存入银行1000元，年利率为12%，计算按年、半年、季、月的复利终值。

1．按年复利的终值

F1＝1000×

（1+12%）＝1120（元）

2．按半年复利的终值

F2＝1000×

［1+（12%/2）］2＝1123.6（元）

3．按季复利的终值

F3＝1000×

［1+（12%/4）］4＝1125.51（元）

4．按月复利的终值

F4＝1000×

［1+（12%/12）］12＝1126.83（元）

从以上计算可以看出，按年复利终值为1120元，按半年复利终值为1123.6元，按季复利终值为1125.51元，按月复利终值为1126.83元，

一年中计息次数越多，其终值就越大。

一年中计息次数越多，其现值越小。

这二者的关系与终值和计息次数的关系恰好相反。

（二）、求解折现率、利息率

内插法或插值法计算折现率、利息率。

某人现在向银行存入7000元，按复利计算，在利率为多少时，才能在8年后每年得到1000元？

P/A＝（P/A，i，n）

7000/1000＝（P/A，i，8）

7=（P/A，i，8）

查“年金现值系数表”，当利率为3%时