高中数学竞赛讲义11圆锥曲线Word下载.docx
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6.双曲线的定义,第一定义:
满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<
2c=|F1F2|,a>
0)的点P的轨迹;
到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>
1)的点的轨迹。
7.双曲线的方程:
中心在原点,焦点在x轴上的双曲线方程为
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在x轴上的双曲线
(a,b>
0),
a称半实轴长,b称为半虚轴长,c为半焦距,实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为F1(-c,0),F2(c,0),对应的左、右准线方程分别为
离心率
,由a2+b2=c2知e>
1。
两条渐近线方程为
,双曲线
与
有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。
若a=b,则称为等轴双曲线。
9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线
,F1(-c,0),F2(c,0)是它的两个焦点。
设P(x,y)是双曲线上的任一点,若P在右支上,则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a;
若P(x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a.
2)过焦点的倾斜角为θ的弦长是
10.抛物线:
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫焦点,直线l叫做抛物线的准线。
若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l相交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点F坐标为
,准线方程为
,标准方程为y2=2px(p>
0),离心率e=1.
11.抛物线常用结论:
若P(x0,y0)为抛物线上任一点,
1)焦半径|PF|=
2)过点P的切线方程为y0y=p(x+x0);
3)过焦点倾斜角为θ的弦长为
12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为O,从O出发的射线为极轴记为Ox轴,这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点P,记|OP|=ρ,∠xOP=θ,则由(ρ,θ)唯一确定点P的位置,(ρ,θ)称为极坐标。
13.圆锥曲线的统一定义:
到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P,若0<
1,则点P的轨迹为椭圆;
若e>
1,则点P的轨迹为双曲线的一支;
若e=1,则点P的轨迹为抛物线。
这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为
二、方法与例题
1.与定义有关的问题。
例1
已知定点A(2,1),F是椭圆
的左焦点,点P为椭圆上的动点,当3|PA|+5|PF|取最小值时,求点P的坐标。
[解]
见图11-1,由题设a=5,b=4,c=
=3,
.椭圆左准线的方程为
,又因为
,所以点A在椭圆内部,又点F坐标为(-3,0),过P作PQ垂直于左准线,垂足为Q。
由定义知
,则
|PF|=|PQ|。
所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+
|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM
左准线于M)。
所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值,把y=1代入椭圆方程得
,又x<
0,所以点P坐标为
例2
已知P,
为双曲线C:
右支上两点,
延长线交右准线于K,PF1延长线交双曲线于Q,(F1为右焦点)。
求证:
∠
F1K=∠KF1Q.
[证明]
记右准线为l,作PD
l于D,
于E,因为
//PD,则
,又由定义
,所以
,由三角形外角平分线定理知,F1K为∠PF1P的外角平分线,所以∠
=∠KF1Q。
2.求轨迹问题。
例3
已知一椭圆及焦点F,点A为椭圆上一动点,求线段FA中点P的轨迹方程。
[解法一]
利用定义,以椭圆的中心为原点O,焦点所在的直线为x轴,建立直角坐标系,设椭圆方程:
=1(a>
0).F坐标为(-c,0).设另一焦点为
连结
,OP,则
所以|FP|+|PO|=
(|FA|+|A
|)=a.
所以点P的轨迹是以F,O为两焦点的椭圆(因为a>
|FO|=c),将此椭圆按向量m=(
0)平移,得到中心在原点的椭圆:
由平移公式知,所求椭圆的方程为
[解法二]
相关点法。
设点P(x,y),A(x1,y1),则
,即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在椭圆
上,所以
代入得关于点P的方程为
它表示中心为
,焦点分别为F和O的椭圆。
例4
长为a,b的线段AB,CD分别在x轴,y轴上滑动,且A,B,C,D四点共圆,求此动圆圆心P的轨迹。
[解]设P(x,y)为轨迹上任意一点,A,B,C,D的坐标分别为A(x-
0),B(x+
0),C(0,y-
),D(0,y+
),记O为原点,由圆幂定理知|OA|?
|OB|=|OC|?
|OD|,用坐标表示为
,即
当a=b时,轨迹为两条直线y=x与y=-x;
当a>
b时,轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线;
当a<
b时,轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。
例5
在坐标平面内,∠AOB=
,AB边在直线l:
x=3上移动,求三角形AOB的外心的轨迹方程。
设∠xOB=θ,并且B在A的上方,则点A,B坐标分别为B(3,3tanθ),A(3,3tan(θ-
)),设外心为P(x,y),由中点公式知OB中点为M
由外心性质知
再由
得
×
tanθ=-1。
结合上式有
tanθ=
①
又
tanθ+
=
②
所以tanθ-
两边平方,再将①,②代入得
即为所求。
3.定值问题。
例6
过双曲线
(a>
0,b>
0)的右焦点F作B1B2
轴,交双曲线于B1,B2两点,B2与左焦点F1连线交双曲线于B点,连结B1B交x轴于H点。
H的横坐标为定值。
设点B,H,F的坐标分别为(asecα,btanα),(x0,0),(c,0),则F1,B1,B2的坐标分别为(-c,0),(c,
),(c,
),因为F1,H分别是直线B2F,BB1与x轴的交点,所以
所以
由①得
代入上式得
即
(定值)。
注:
本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。
例7
设抛物线y2=2px(p>
0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在准线上,且BC//x轴。
证明:
直线AC经过定点。
设
,焦点为
由于
?
y2-
y1=0,即
=0。
因为
所以
,即直线AC经过原点。
例8
椭圆
上有两点A,B,满足OA
OB,O为原点,求证:
为定值。
设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=
,则点A,B的坐标分别为A(r1cosθ,r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。
由A,B在椭圆上有
①
①+②得
4.最值问题。
例9
设A,B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点,且OA
OB(O为原点),求|AB|的最大值与最小值。
由题设a=1,b=
记|OA|=r1,|OB|=r2,
,参考例8可得
=4。
设m=|AB|2=
,且a2>
b2,所以
,所以b≤r1≤a,同理b≤r2≤a.所以
又函数f(x)=x+
在
上单调递减,在
上单调递增,所以当t=1即|OA|=|OB|时,|AB|取最小值1;
当
或
时,|AB|取最大值
例10
设一椭圆中心为原点,长轴在x轴上,离心率为
,若圆C:
1上点与这椭圆上点的最大距离为
,试求这个椭圆的方程。
设A,B分别为圆C和椭圆上动点。
由题设圆心C坐标为
,半径|CA|=1,因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当A,B,C共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最大值
,所以|BC|最大值为
所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,
t,椭圆方程为
,并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ),则|BC|2=(2tcosθ)2+
=3t2sin2θ-3tsinθ+
+4t2=-3(tsinθ+
)2+3+4t2.
若
,则当sinθ=-1时,|BC|2取最大值t2+3t+
,与题设不符。
若t>
则当sinθ=
时,|BC|2取最大值3+4t2,由3+4t2=7得t=1.
所以椭圆方程为
5.直线与二次曲线。
例11
若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点,试求a的取值范围。
抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1),对称轴为y轴,存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y1),
(-y1,-x1),满足y1=a
且-x1=a(-y1)2-1,相减得x1+y1=a(
),因为P不在直线x+y=0上,所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1),即x1=y1+
此方程有不等实根,所以
,求得
,即为所求。
例12
若直线y=2x+b与椭圆
相交,
(1)求b的范围;
(2)当截得弦长最大时,求b的值。
[解]二方程联立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>
0,得
<
b<
设两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得|PQ|=
所以当b=0时,|PQ|最大。
三、基础训练题
1.A为半径是R的定圆⊙O上一定点,B为⊙O上任一点,点P是A关于B的对称点,则点P的轨迹是________.
2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(>
0),则动点的轨迹是________.
3.椭圆
上有一点P,它到左准线的距离是10,它到右焦点的距离是________.
4.双曲线方程
,则k的取值范围是________.
5.椭圆
,焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=600,则ΔF1PF2的面积是________.
6.直线l被双曲线
所截的线段MN恰被点A(3,-1)平分,则l的方程为________.
7.ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上,点A(2,8),且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合,则直线BC的斜率为________.
8.已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0,一条准线方程为5y+4=0,则双曲线方程为________.
9.已知曲线y2=ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个交点的直线的倾斜角为450,那么a=________.
10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点,
的取值范围是________.
11.已知椭圆
与双曲线
有公共的焦点F1,F2,设P是它们的一个焦点,求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。
12.已知(i)半圆的直径AB长为2r;
(ii)半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足为T,设|AT|=2a(2a<
);
(iii)半圆上有相异两点M,N,它们与直线l的距离|MP|,|NQ|满足
|AM|+|AN|=|AB|。
13.给定双曲线
过点A(2,1)的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2,求线段P1P2的中点的轨迹方程。
四、高考水平测试题
1.双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程是
=0,则此双曲线的标准方程是_________.
2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若A,B在抛物线准线上的射影分别是A1,B1,则∠A1FB1=_________.
3.双曲线
的一个焦点为F1,顶点为A1,A2,P是双曲线上任一点,以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.
4.椭圆的中心在原点,离心率
,一条准线方程为x=11,椭圆上有一点M横坐标为-1,M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.
5.4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆
恰有一个公共点的_________条件.
6.若参数方程
(t为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条直线的方程是_________.
7.如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆
总有公共点,则m的范围是_________.
8.过双曲线
的左焦点,且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.
9.过坐标原点的直线l与椭圆
相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F,则直线l的倾斜角为_________.
10.以椭圆x2+a2y2=a2(a>
1)的一个顶点C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的三角形最多可作_________个.
11.求椭圆
上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。
12.设F,O分别为椭圆
的左焦点和中心,对于过点F的椭圆的任意弦AB,点O都在以AB为直径的圆内,求椭圆离心率e的取值范围。
13.已知双曲线C1:
0),抛物线C2的顶点在原点O,C2的焦点是C1的左焦点F1。
(1)求证:
C1,C2总有两个不同的交点。
(2)问:
是否存在过C2的焦点F1的弦AB,使ΔAOB的面积有最大值或最小值?
若存在,求直线AB的方程与SΔAOB的最值,若不存在,说明理由。
五、联赛一试水平训练题
1.在平面直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆,则m的取值范围是_________.
2.设O为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,ΔOPQ面积为_________.
3.给定椭圆
,如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点,且OP
OQ,则离心率e的取值范围是_________.
4.设F1,F2分别是双曲线
0)的左、右焦点,P为双曲线上的动点,过F1作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则M的轨迹为_________.
5.ΔABC一边的两顶点坐标为B(0,
)和C(0,
),另两边斜率的乘积为
,若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________.
6.长为l(l<
1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动,则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________.
7.已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一个交点分别为M1,M2,当M变动时,直线M1M2恒过一个定点,此定点坐标为_________.
8.已知点P(1,2)既在椭圆
内部(含边界),又在圆x2+y2=
外部(含边界),若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________.
9.已知椭圆
的内接ΔABC的边AB,AC分别过左、右焦点F1,F2,椭圆的左、右顶点分别为D,E,直线DB与直线CE交于点P,当点A在椭圆上变动时,试求点P的轨迹。
10.设曲线C1:
(a为正常数)与C2:
y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。
(1)求实数m的取值范围(用a表示);
(2)O为原点,若C1与x轴的负半轴交于点A,当0<
a<
时,试求ΔOAP面积的最大值(用a表示)。
11.已知直线l过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线的方程。
六、联赛二试水平训练题
1.在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证:
∠GAC=∠EAC。
2.求证:
在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为1的闭折线,它的每个顶点坐标都是有理数。
3.以B0和B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1的边ABi交于Ci(i=0,1),在AB0的延长线上任取点P0,以B0为圆心,B0P0为半径作圆弧
交C1B0的延长线于Q0;
以C1为圆心,C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1;
B1为圆心,B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1;
以C0为圆心,C0Q1为半径作圆弧Q1
,交AB0的延长线于
(1)点
与点P0重合,且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0;
(2)P0,Q0,P1,Q1共圆。
4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度v0和不同发射角(即发射方向与x轴正向之间的夹角)α(α∈[0,π],α≠
)射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这些抛物线组成一个抛物线族,若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这个交点为正交点。
此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方程(确定变量取值范围)。
5.直角ΔABC斜边为AB,内切圆切BC,CA,AB分别于D,E,F点,AD交内切圆于P点。
若CP
BP,求证:
PD=AE+AP。
6.已知BC
CD,点A为BD中点,点Q在BC上,AC=CQ,又在BQ上找一点R,使BR=2RQ,CQ上找一点S,使QS=RQ,求证:
∠ASB=2∠DRC。
高中数学竞赛讲义(十一)答案
基础训练题
1.圆。
设AO交圆于另一点
是A关于
的对称点。
则因为AB
,所以P在以
为直径的圆上。
2.圆或椭圆。
设给定直线为y=±
kx(k>
0),P(x,y)为轨迹上任一点,则
化简为2k2x2+2y2=m2(1+k2).
当k≠1时,表示椭圆;
当k=1时,表示圆。
3.12.由题设a=10,b=6,c=8,从而P到左焦点距离为10e=10×
=8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。
4.-2<
k<
2或k<
5.由(|k|-2)(5-k)<
0解得k>
5或-2<
2.
5.
设两条焦半径分别为m,n,则因为|F1F2|=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即(m+n)2-3mn=144.所以
6.3x+4y-5=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则
两式相减得
-(y1+y2)(y1-y2)=0.由
,得
故方程y+1=
(x-3).
7.-4.设B(x1,y1),C(x2,y2),则
=0,所以y1+y2=-8,故直线BC的斜率为
8.
=1。
由渐近线交点为双曲线中心,解方程组
得中心为(2,1),又准线为
,知其实轴平行于y轴,设其方程为
其渐近线方程为
所以y-1=
(x-1).由题设
,将双曲线沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原点,其标准方程为
由平移公式
平移后准线为
,再结合
,解得a2=9,b2=16,故双曲线为
9.2.曲线y2=ax关于点(1,1)的对称曲线为(2-y)2=a(2-x),
由
得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,从而
=1,所以a=2.
10.(2,
]。
设P(x1,y1)及
,由|PF1|=ex1+a
|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所以
因
即2<
t≤2
.
11.解:
由对称性,不妨设点P在第一象限,由题设|F1F2|2=4
=4c2,又根据椭圆与双曲线定义
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
在ΔF1PF2中,由余弦定理
从而
又sin∠F1PF2=
12.解:
以直线AB为x轴,AT的中垂线为y轴建立直角坐标系,则由定义知M,N两点既在抛物线y2=4ax上,又在圆[x-(a+r)]2+y2=r2上,两方程联立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0,设点M,N坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a,|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r,所以
|AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|.
得证。
13.解:
若直线l垂直于x轴,因其过点A(2,1),根据对称性,P1P2的中点为(2,0)。
若l不垂直于x轴,设l的方程为y-1=k(x-2),即
y=kx+1-2k.
将①代入双曲线方程消元y得
(2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0.
这里
且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)>
0,
设x1,x2是方程②的两根,由韦达定理
③
由①,③得
y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
=k(x1+x2)+2(1-2k)=
④
设P1P2的中点P坐标(x,y),由中点公式及③,④得
消去k得
点(2,0)满足此方程,故这就是点P的轨迹方程。
高考水平测试题
1.
由椭圆方程得焦点为
,设双曲线方程
,渐近线为
由题设
,所以a2=3b2,又
c2=a2+b2.所以b2=12,a2=36.
2.900。
见图1,由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,有∠1=∠BFB1,∠2=∠AFA1,又∠1=∠3,∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3.相切,若P(x,y)在左支上,设F1为左焦点,F2为右焦点,M为PF1中点,则|MO|=
|PF2|=
(a-ex),又|PF1|=-a-ex,所以两圆半径之和
(-a-ex)+a=
(a-ex)=|MO|,所以两圆外切。
当P(x,y)在右支
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